5.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1.(2021·寶雞模擬)ABCD的頂點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),那么頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 【解析】設(shè)D(x,y),由=得(4,1)=(5-x,6-y),即解得答案:(1,5)2.O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(2,3),=(4,-1),且=3,那么|=. 【解析】設(shè)P(x,y),由A(2,3),B(4,-1),由=3得解得所以|=.答案:1.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法那么來(lái)進(jìn)行求解的.假設(shè)有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),那么應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過(guò)程中,常利用“向量相等,那么其坐標(biāo)相同這一原那么,通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.2.向量坐標(biāo)運(yùn)算的考前須知(1)向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)形式相似,實(shí)質(zhì)不同.(2)向量坐標(biāo)形式的線(xiàn)性運(yùn)算類(lèi)似多項(xiàng)式的運(yùn)算.(3)向量平行與垂直的坐標(biāo)表達(dá)形式易混淆,需清楚結(jié)論推導(dǎo)過(guò)程與結(jié)果,加以區(qū)分.【秒殺絕招】中點(diǎn)法解T1,設(shè)D(x,y),AC中點(diǎn)與BD中點(diǎn)相同,所以解得平面向量根本定理解T2,將,作為基底,那么=3,即+=3(+),即=(+3),所以|=|+3|=.考點(diǎn)二平面向量根本定理及其應(yīng)用 【典例】1.(2021·鄭州模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),=3,F為AE的中點(diǎn),那么=()A.-B.-C.-+D.-+2.在A(yíng)BC中,點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且=3,點(diǎn)O在線(xiàn)段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),假設(shè)=x+(1-x)(xR),那么x的取值范圍是()A.B.C.D.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由“那么=及選項(xiàng),想到運(yùn)用平面向量根本定理,向量的代數(shù)運(yùn)算2設(shè)=,其中1<<,找到與x的關(guān)系再求解【解析】1.選C.如圖,取AB中點(diǎn)G,連接DG,CG,易知四邊形DCBG為平行四邊形,所以=-=-,所以=+=+=+=+,所以=-=-=-=-+.2.選D.設(shè)=,其中1<<,那么=+=+=+(-)=(1-) +.又=x+(1-x),不共線(xiàn),所以x=1-,即x的取值范圍是.平面向量根本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量根本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法那么或三角形法那么進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量根本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.1.在A(yíng)BC中,P,Q分別是AB,BC的三等分點(diǎn),且AP=AB,BQ=BC,假設(shè)=a,=b,那么=()A.a+bB.-a+bC.a-bD.-a-b【解析】選A.由=+=+=+(-)=+=a+b.2.在A(yíng)BC中,點(diǎn)O滿(mǎn)足+=0,點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),且=m+n,那么m+n的取值范圍是.【解析】設(shè)= (0<<1),由+=0,知=-(+),所以=-,由平面向量根本定理知,m+n=-2,所以m+n(-2,0).答案:(-2,0)考點(diǎn)三共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)向量共線(xiàn)求參數(shù),含參數(shù)的綜合問(wèn)題等;(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合的思想.2.怎么考:與向量共線(xiàn),三角函數(shù),不等式等結(jié)合考查求點(diǎn)或向量坐標(biāo),參數(shù),最值等.學(xué)霸好方法1.向量共線(xiàn)求參數(shù)的方法:利用向量共線(xiàn)的充要條件得出關(guān)于參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.2.與共線(xiàn)向量的綜合問(wèn)題,其關(guān)鍵點(diǎn)是如何利用共線(xiàn)的條件.向量共線(xiàn)求參數(shù)【典例】1.(2021·全國(guó)卷)向量a=,b=,c=.假設(shè)c,那么=. 【解析】因?yàn)?a+b=(4,2),c=(1,),且c(2a+b),所以4×=2×1,解得=.答案:2.向量a=(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B為直線(xiàn)y=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),假設(shè)a,那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為.【解析】設(shè)B(x,2x),那么=(x-3,2x),因?yàn)閍,所以x-3-2x=0,解得x=-3,所以B(-3,-6).答案:(-3,-6)兩平面向量共線(xiàn)問(wèn)題涉及哪些定理公式?提示:(1)假設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab的充要條件是x1y2-x2y1=0;(2)假設(shè)ab(b0),那么a=b.含參數(shù)的綜合問(wèn)題【典例】設(shè)向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,nR,O為坐標(biāo)原點(diǎn),假設(shè)A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),那么m+n的最大值為 ()A.-3B.-2C.2D.3【解析】選A.易知,其中=-=(2m-1,1),=-=(-2n-1,2),所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),得2m+1+2n=1.又2m+1+2n2,所以2m+n+12-2,即m+n-3.兩平面向量共線(xiàn)問(wèn)題如何求解?提示:(1)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù).運(yùn)用公式a=b或x1y2-x2y1=0求解.(2)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.1.(2021·臨汾模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(1,0),B(0,1),C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點(diǎn),且AOC=,|OC|=2,假設(shè)=+,那么+=()A.2B.C.2D.4【解析】選A.因?yàn)閨OC|=2,AOC=,所以C(,),又因?yàn)?+,所以(,)=(1,0)+(0,1)=(,),所以=,+=2.2.向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且ab,假設(shè)x,y均為正數(shù),那么+的最小值是()A.24B.8C.D.【解析】選B.因?yàn)閍b,所以-2x-3(y-1)=0,化簡(jiǎn)得2x+3y=3,又因?yàn)閤,y均為正數(shù),所以+=×(2x+3y)=××=8,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立.所以+的最小值是8.1.(2021·唐山模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三點(diǎn)共線(xiàn)且向量與向量a=(1,-1)共線(xiàn),假設(shè)=+(1-),那么=()A.-3B.3C.1D.-1【解析】選D.設(shè)=(x,y),那么由a知x+y=0,所以=(x,-x).假設(shè)=+(1-),那么(x,-x)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2),即所以4-1+3-2=0,解得=-1.2.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為90°,如下圖,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng),假設(shè)=x+y,其中x,yR,那么x+y的最大值是()A.1B.C.D.2【解析】選B.方法一:設(shè)AOC=,那么.過(guò)點(diǎn)C作CDOA于D,CEOB于E,那么四邊形ODCE是平行四邊形,所以=+,又=x+y.所以x=cos ,y=sin ,所以x+y=cos +sin =sin.又因?yàn)?那么+,所以1x+y,即x+y的最大值是.方法二:因?yàn)辄c(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上,所以|2=|x+y|2=x2+y2+2xy·=x2+y2,所以x2+y2=1,那么2xyx2+y2=1.又(x+y)2=x2+y2+2xy2,所以x+y的最大值為.- 7 -