壓軸大題搶分練(建議用時(shí)： 60 分鐘 )(對應(yīng)學(xué)生用書第144 頁 )x2y21已知橢圓 C： a2b2 1(a b 0)的焦距為 2 6，設(shè)右焦點(diǎn)為 F，過原點(diǎn) O 的直線 l 與橢圓 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，線段 AF 的中點(diǎn)為 M，線段 BF 的中點(diǎn)為 N，且1OM·ON 4.(1)求弦 AB 的長；1(2)當(dāng)直線 l 的斜率 k2，且直線 l l 時(shí)， l交橢圓于 P，Q，若點(diǎn) A 在第一象限，求證：直線 AP，AQ 與 x 軸圍成一個(gè)等腰三角形解(1)由題意可知： 2c26， c6，設(shè) F(6，0)， A(x0，y0)，B( x0，0y )，x0 6y0，N x0 6y0 ，則 M，2，222 22122226 xy由OM·ON004，則 x0y05，則 |AB|2x0y02 5.41(2)證明：當(dāng)直線 l 的斜率 k2時(shí)，且 l l ，111則 l ：y2x，設(shè) l ：y2x m，y02x0，225，則 A(2,1)，由 c6，代入橢圓方程解得 a22，c2， 由 x y00x2y2橢圓的方程為8 2 1，x2 4y2 8，聯(lián)立1整理得 x2 2mx2m240，y2x m，設(shè)直線 AP， AQ 的斜率分別為 k ，k ，121/6y 1y 112設(shè) P(x1，y1)， Q(x2，y2)，則 k1，k2.x12x22由 x2 2mx2m240，可得 x1x2 2m， x1x2 2m24，12y 1y 112所以 kk x22x1 2y1 1 x2 2 y2 1 x1 2x12x221x1m 121x2x2 m 1 1222xx12 x2 2x1x2 m2 x1x2 4 m1x12 x222m242m2 4m 4 m120.12xx 2即 k1 k2 0.所以直線 AP，AQ 與 x 軸圍成一個(gè)等腰三角形2 (2018 ·石家莊市一模 )已知函數(shù) f(x)(x b)(exa)(b0)，在 (1，f(1)處的切線方程為 (e 1)x eye10.(1)求 a， b；2(2)若 m0，證明： f(x) mx x.1所以 f( 1)(1 b) ea 0，又 f(x) (xb1)exa，b1所以 f(1) ea 1 e，2/61若 a e，則 b2 e 0，與 b0 矛盾，故 a1，b1.(2)由(1)可知 f(x)(x1)(ex1)， f(0)0，f(1)0，由 m 0，可得 xmx2 x，令 g(x) (x1)(ex1)x, g (x)(x 2)ex2，令 t(x)g(x)，則 t(x)(x 3)ex，當(dāng) x 3 時(shí)， t (x) 0， t(x)單調(diào)遞減，且 g (x) 0；當(dāng) x 3 時(shí)， t (x) 0， t(x)單調(diào)遞增，且 g (0) 0，所以 g(x)在( ，0)上單調(diào)遞減，在 (0， )上單調(diào)遞增，且g(0)0，故 g(x) g(0)0? (x1)(ex1) x mx2x，故 f(x)mx2 x.3 (2018 ·衡水金卷 )已知拋物線 C 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F 在 x 軸的正半軸上，過焦點(diǎn) F 作斜率為 k 的直線交拋物線 C 于 A，B 兩點(diǎn)，且 OA·OB 3，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線 C 的方程；(2)設(shè)點(diǎn) D(1,2)，直線 AD，BD 分別交準(zhǔn)線 l 于點(diǎn) G，H，問：在 x 軸的正半軸上是否存在定點(diǎn) M，使 GMHM ，若存在，求出定點(diǎn) M 的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由解(1)由題意知 k0，2p設(shè)拋物線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為y 2px(p 0)，直線AB 的方程為x my 21m k，且 m0 ，3/6y2 2px，消去 x，得 y22pmyp2 0.聯(lián)立pxmy2，y12y22設(shè) A 2p，y1 B 2p， y2 ，則 y1 y2 2pm， y1 y2 p2. 221 2 2y1y2所以 OA·OB 4p2y y 4p p 3，12解得 p 2.所以拋物線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2 4x.(2)假設(shè)在 x 軸上存在定點(diǎn) M(a,0)，使 GMHM ，設(shè) G(1，yG)，H( 1， yH )，由(1)知 y1y2 4m， y1y2 4.又 D(1,2)，設(shè)直線 AD，BD 的斜率分別為 k1，k2，y 2y 21 42 4則 k1 2，k2 2，y1y1 2y2y2 24 14 1則直線 AD 的方程為 y24(x 1)，y1 2令 x 1，得 yG 2 8 2 y12 ，y12 y12同理，得 yH 28 2 y22.y 2y 2222 y12 2 y22故 yGyH ·y12y224y1y22 y1y2 44 42×4m44.y1y22 y1y2 442×4m44/6由 GMHM，得MG·MH 0，即( 1 a， yG) ·(1 a，yH)(a 1)2 yGyH 0，故 (a1)240，解得 a 1 或 a 3(負(fù)值舍去 )，即在 x 軸的正半軸上存在定點(diǎn)M，使 GMHM ，且定點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1,0)4已知函數(shù) f(x)xln xax.(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；x k，kZ ， e2.718 28 為自然對數(shù)的底數(shù)當(dāng) a(2)設(shè)函數(shù) g(x)(xk)e1 時(shí)，若 ? x1(0， )， ? x2(0， )，不等式 g(x2)10成立，求5f(x )k 的最大值解(1)對函數(shù)求導(dǎo)得 f (x)ln x 1 a(x 0)，令 f(x) 0，得 xea1，當(dāng) 0xea1 時(shí)， f(x) 0，此時(shí)函數(shù) f(x)單調(diào)遞減；當(dāng) xea1 時(shí)， f(x)0，此時(shí)函數(shù) f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (0，ea 1)，單調(diào)遞增區(qū)間是 (ea1 ， )(2)當(dāng) a 1 時(shí)，由 (1)可知 f(x)f(ea1)f(1) 1，? x1(0， )，? x2 (0， )，不等式 5f(x1)g(x2) 0 成立等價(jià)于當(dāng)x(0， )時(shí)， 5(xk)ex k0 恒成立，即 5xexk(ex1)對 x(0， )恒成立，因?yàn)?x(0， )時(shí) ex10，5xex所以 k ex1 對 x (0， )恒成立，x5即 kx x對 x (0， )恒成立，e 15/6x 5設(shè) h(x) x x ， e 1ex ex x 6則 h(x)ex1 2 ，令 F(x)exx6，則 F (x)ex 1，當(dāng) x(0， )時(shí)， F(x)0，所以函數(shù) F(x) exx6 在(0， )上單調(diào)遞增，而 F(2)e280，F(xiàn)(3) e390，所以 F(2)F(3)0，x0所以存在唯一的 x0 (2,3)，使得 F(x0)0，即 e x06，當(dāng) x(0， x0)時(shí)， F(x)0，h(x)0，所以函數(shù) h(x)單調(diào)遞減；當(dāng) x(x0， )時(shí)， F(x)0，h(x)0，所以函數(shù) h(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng) x x0 時(shí)，函數(shù) h(x)有極小值 h(x0)，同時(shí)也為最小值，x05因?yàn)?h(x0)x0 x0x0 1 (3,4)，e 1又 kh(x0)，且 k Z，所以 k 的最大整數(shù)值是 3.6/6