歡迎進入物理課堂 一 單擺做簡諧運動 1 單擺的回復(fù)力如圖所示 重力G沿圓弧切線方向的分力G1 mgsin 是沿擺球運動方向的力 正是這個力提供了使擺球振動的回復(fù)力 F G1 mgsin 2 單擺做簡諧運動的推證在偏角很小時 sin 又回復(fù)力 mgsin 所以單擺的回復(fù)力為F 式中x表示擺球偏離平衡位置的位移 l表示單擺的擺長 負(fù)號表示回復(fù)力F與位移x的方向相反 由此知回復(fù)力符合F kx 單擺做簡諧運動 1 小球的重力在沿圓弧切線方向上的分力提供回復(fù)力 而不是小球的合力 2 單擺做簡諧運動的條件是偏角很小 通常應(yīng)在5 以內(nèi) 誤差不超過0 5 典例1 下列有關(guān)單擺運動過程中的受力說法 正確的是 A 單擺運動的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力B 單擺運動的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個分力C 單擺經(jīng)過平衡位置時合力為零D 單擺運動的回復(fù)力是擺線拉力的一個分力 解題指導(dǎo) 單擺的回復(fù)力由擺球重力沿圓弧切線方向的分力提供 在平衡位置處 擺球位移為零 水平加速度為零 標(biāo)準(zhǔn)解答 選B 單擺運動是在一段圓弧上運動 因此單擺運動過程不僅有回復(fù)力 而且有向心力 即單擺運動的合外力不僅要提供回復(fù)力 還要提供向心力 故選項A錯誤 單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個分力 而不是擺線拉力的分力 故選項B正確 D錯誤 單擺經(jīng)過平衡位置時 回復(fù)力為零 向心力最大 故其合外力不為零 所以選項C錯誤 變式訓(xùn)練 關(guān)于單擺擺球在運動過程中的受力 下列結(jié)論正確的是 A 擺球受重力 擺線的張力 回復(fù)力 向心力作用B 擺球受的回復(fù)力最大時 向心力為零 回復(fù)力為零時 向心力最大C 擺球受的回復(fù)力最大時 擺線中的張力大小比擺球的重力大D 擺球受的向心力最大時 擺球的加速度方向沿擺球的運動方向 解析 選B 單擺在運動過程中 擺球受重力和擺線的拉力作用 故A錯 重力垂直于擺線的分力提供回復(fù)力 當(dāng)回復(fù)力最大時 擺球在最大位移處 速度為零 向心力為零 拉力等于重力沿擺線的分力大小 則拉力小于重力 在平衡位置處 回復(fù)力為零 速度最大 向心力最大 擺球的加速度方向沿擺線指向懸點 故C D錯 B對 二 對單擺周期公式的理解由公式T 2 知 某單擺做簡諧運動 擺角小于5 的周期只與其擺長l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭有關(guān) 而與振幅和擺球質(zhì)量無關(guān) 故又叫做單擺的固有周期 1 擺長l 1 實際的單擺擺球不可能是質(zhì)點 所以擺長應(yīng)是從懸點到擺球球心的長度 即l l0 l0為擺線長 d為擺球直徑 2 等效擺長 圖 a 中甲 乙在垂直紙面方向擺起來效果是相同的 所以甲擺的擺長為l sin 這就是等效擺長 其周期T 圖 b 中 乙在垂直紙面方向擺動時 與甲擺等效 乙在紙面內(nèi)小角度擺動時 與丙等效 2 重力加速度g 1 若單擺系統(tǒng)只處在重力場中且懸點處于靜止?fàn)顟B(tài) g由單擺所處的空間位置決定 即g 式中R為物體到地心的距離 M為地球的質(zhì)量 g隨所在位置的高度的變化而變化 另外 在不同星球上M和R也是變化的 所以g也不同 g 9 8m s2只是在地球表面附近時的取值 2 等效重力加速度 若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài) 如加速 減速 完全失重狀態(tài) 則一般情況下 g值等于擺球相對靜止在自己的平衡位置時 擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值 例如 此場景中的等效重力加速度g gsin 球靜止在O時 FT mgsin 等效加速度g gsin 1 單擺的擺長是指從懸點到球心的距離 不能把繩子的長度看成擺長 2 公式中的重力加速度指的是在地球表面的單擺 如果是類單擺 與單擺的形式相同 但回復(fù)力不是重力的分力 要找出等效重力加速度 典例2 一個單擺的長為l 在其懸點O的正下方0 19l處有一釘子P 如圖所示 現(xiàn)將擺球向左拉開到A 使擺線偏角 5 放手后使其擺動 求出單擺的振動周期 解題指導(dǎo) 1 題中給出 擺線偏角 5 說明小球的運動為簡諧運動 2 從圖中看出這不是一個完整的單擺 是由兩個單擺構(gòu)成 所以周期應(yīng)是兩個單擺周期的合成 標(biāo)準(zhǔn)解答 釋放后擺球到達右邊最高點B處 由機械能守恒可知B和A等高 則擺球始終做簡諧運動 擺球做簡諧運動的擺長有所變化 它的周期為兩個不同單擺的半周期的和 小球在左邊的周期為小球在右邊的周期為則整個單擺的周期為答案 規(guī)律方法 求單擺周期的規(guī)律總結(jié)1 明確單擺的運動過程 看是否符合簡諧運動的條件 2 在運用T 時 要注意l和g是否發(fā)生變化 如果發(fā)生變化 則分別求出不同l和g時的運動時間 3 改變單擺振動周期的途徑是 1 改變單擺的擺長 2 改變單擺的重力加速度 如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重 4 明確單擺振動周期與單擺的質(zhì)量和振幅沒有任何關(guān)系 變式訓(xùn)練 2011 池州高二檢測 將秒擺的周期變?yōu)?s 下面哪些措施是正確的 A 只將擺球質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼? 4B 只將振幅變?yōu)樵瓉淼?倍C 只將擺長變?yōu)樵瓉淼?倍D 只將擺長變?yōu)樵瓉淼?6倍 解析 選C 由T 可知 單擺的周期與擺球的質(zhì)量和振幅均無關(guān) A B均錯 對秒擺 對周期為4s的單擺 T 4s 故l 4l0 故C對 D錯 三 利用單擺測重力加速度1 儀器和器材擺球2個 鐵質(zhì)和銅質(zhì)并穿有中心孔 秒表 物理支架 米尺或鋼卷尺 游標(biāo)卡尺 細(xì)線等 2 實驗步驟 1 做單擺 如圖所示 把擺球用細(xì)線懸掛在物理支架上 擺長最好能有1米左右 這樣可使測量結(jié)果準(zhǔn)確些 2 測擺長 用毫米刻度尺量出懸線長l 精確到毫米 用游標(biāo)卡尺測量出擺球的直徑d 精確到毫米 則l l 即為單擺的擺長 3 測周期 將單擺從平衡位置拉開一個角度 且滿足擺角小于10 然后釋放擺球 過平衡位置時用秒表開始計時 測量30次 50次全振動的時間 計算出平均擺動一次的時間 即為單擺的振動周期T 4 變擺長 將單擺的擺長變短 或變長 重復(fù)實驗三次 測出相應(yīng)的擺長l和周期T 3 數(shù)據(jù)處理 1 平均值法 每改變一次擺長 將相應(yīng)的l和T 代入公式中求出g值 最后求出g的平均值 設(shè)計如下所示實驗表格 2 圖象法 由T 2 得T2 作出T2 l圖象 即以T2為縱軸 以l為橫軸 其斜率k 由圖象的斜率即可求出重力加速度g 3 作T2 l圖象的優(yōu)點用圖象法處理數(shù)據(jù)既直觀又方便 同時也能最大限度地減小偶然誤差對實驗結(jié)果造成的影響 由于T l的圖象不是直線 不便于進行數(shù)據(jù)處理 所以采用T2 l的圖象 目的是為了將曲線轉(zhuǎn)換為直線 便于利用直線的斜率計算重力加速度 1 選擇材料時應(yīng)選擇細(xì)而不易伸長的線 長度一般在1m左右 小球應(yīng)選密度較大 直徑較小的 2 線應(yīng)夾在鐵夾的下面 防止因擺動而改變擺線的長度 3 注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的角度應(yīng)很小 4 擺球擺動時 要使之保持在同一個豎直平面內(nèi) 不要形成圓錐擺 方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放 5 計算單擺的振動次數(shù)時 應(yīng)以擺球通過最低位置時開始計時 以后擺球應(yīng)從同一方向通過最低點時計數(shù) 要多測幾次 如30次或50次 全振動的時間 用取平均值的辦法求周期 典例3 2011 福建高考 某實驗小組在利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊膶嶒炛?1 用游標(biāo)卡尺測定擺球的直徑 測量結(jié)果如圖所示 則該擺球的直徑為 cm 2 小組成員在實驗過程中有如下說法 其中正確的是 填選項前的字母 A 把單擺從平衡位置拉開30 的擺角 并在釋放擺球的同時開始計時B 測量擺球通過最低點100次的時間t 則單擺周期為C 用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長 代入單擺周期公式計算得到的重力加速度值偏大D 選擇密度較小的擺球 測得的重力加速度值誤差較小 解題指導(dǎo) 解答本題時應(yīng)注意以下幾個方面游標(biāo)卡尺讀數(shù)時應(yīng)注意游標(biāo)卡尺的零刻度線和邊界線的區(qū)別 測重力加速度時應(yīng)注意單擺的模型以及擺長和周期的測量 標(biāo)準(zhǔn)解答 1 游標(biāo)卡尺讀數(shù) 主尺 游標(biāo) 0 9cm 7 0 01cm 0 97cm 2 要使擺球做簡諧運動 擺角應(yīng)小于10 應(yīng)選擇密度較大的擺球 阻力的影響較小 測得重力加速度誤差較小 A D錯 擺球通過最低點100次 完成50次全振動 周期是B錯 擺長應(yīng)是L 若用懸線的長度加直徑 則測出的重力加速度值偏大 答案 1 0 97 2 C 變式訓(xùn)練 某同學(xué)利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣?發(fā)現(xiàn)單擺靜止時擺球重心在球心的正下方 他仍將從懸點到球心的距離當(dāng)作擺長L 通過改變擺線的長度 測得6組L和對應(yīng)的周期T 畫出L T2圖線 然后在圖線上選取A B兩個點 坐標(biāo)如圖所示 他采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理方法 則計算重力加速度的表達式應(yīng)為g 請你判斷該同學(xué)得到的實驗結(jié)果與擺球重心就在球心處的情況相比 將 填 偏大 偏小 或 相同 解析 由單擺的周期公式由此式可知測得的g與某一次的擺長無關(guān) 與兩次實驗中的擺長差有關(guān) 所以g值與擺球重心在不在球心處無關(guān) 答案 相同 變式備選 某同學(xué)利用如圖所示的裝置測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?實驗步驟如下 A 按裝置圖安裝好實驗裝置B 用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑dC 用米尺測量懸線的長度lD 讓小球在豎直平面內(nèi)小角度擺動 當(dāng)小球經(jīng)過最低點時開始計時 并計數(shù)為0 此后小球每經(jīng)過最低點一次 依次計數(shù)1 2 3 當(dāng)數(shù)到20時 停止計時 測得時間為tE 多次改變懸線長度 對應(yīng)每個懸線長度都重復(fù)實驗步驟C DF 計算出每個懸線長度對應(yīng)的t2G 以t2為縱坐標(biāo) l為橫坐標(biāo) 作出t2 l圖線 結(jié)合上述實驗 完成下列任務(wù) 1 用游標(biāo)為10分度 測量值可準(zhǔn)確到0 1mm 的卡尺測量小球的直徑 某次測量的示數(shù)如圖所示 讀出小球直徑d的值為 cm 2 該同學(xué)根據(jù)實驗數(shù)據(jù) 利用計算機作出t2 l圖線如圖所示 根據(jù)圖線擬合得到方程t2 404 0l 3 5 由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭 m s2 取 2 9 86 結(jié)果保留3位有效數(shù)字 3 從理論上分析圖線沒有過坐標(biāo)原點的原因 下列分析正確的是 A 不應(yīng)在小球經(jīng)過最低點時開始計時 應(yīng)該在小球運動到最高點時開始計時B 開始計時后 不應(yīng)記錄小球經(jīng)過最低點的次數(shù) 而應(yīng)記錄小球做全振動的次數(shù)C 不應(yīng)作t2 l圖線 而應(yīng)作t l圖線D 不應(yīng)作t2 l圖線 而應(yīng)作t2 l d 圖線 解析 1 依據(jù)游標(biāo)卡尺讀數(shù)原理知 d 15 0 1 2 mm 15 2mm 1 52cm 2 根據(jù)實驗操作可知單擺周期T 由單擺周期公式得 3 根據(jù)實驗操作和實驗原理可知D選項說法正確 答案 1 1 52 2 9 76 3 D 典例 將在地球上校準(zhǔn)的擺鐘拿到月球上去 若此鐘在月球記錄的時間是1h 那么實際上的時間應(yīng)是 h 月球表面的重力加速度是地球表面的1 6 若要把此擺鐘調(diào)準(zhǔn) 應(yīng)使擺長L0調(diào)節(jié)為 解題指導(dǎo) 解答本題應(yīng)注意以下兩點 1 擺鐘的周期只與擺長L和當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭有關(guān) 2 一定時間內(nèi)振動次數(shù)與振動周期成反比 指示時間與振動次數(shù)成正比 標(biāo)準(zhǔn)解答 設(shè)在地球上校準(zhǔn)的擺鐘周期為T0 指示時間為t0 月球上周期為T 指示時間為t 由于指示時間t與振動次數(shù)N成正比 即t N 一定時間內(nèi)振動次數(shù)N與振動周期T成反比 即N 由單擺周期公式可知T 由以上推知 t 則有所求實際時間為要把它調(diào)準(zhǔn) 需將擺長調(diào)為L0 6 答案 L0 6 一 選擇題1 用空心鐵球內(nèi)部裝滿水做擺球 若球正下方有一小孔 水不斷從孔中流出 從球內(nèi)裝滿水到水流完為止的過程中 其振動周期的大小是 A 不變B 變大C 先變大后變小再回到原值D 先變小后變大再回到原值 解析 選C 單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān) 但當(dāng)水從球中向外流出時 等效擺長是先變長后變短 因而周期先變大后變小再回到原值 故選項C正確 2 如圖所示 光滑軌道的半徑為2m C點為圓心正下方的點 A B兩點與C點相距分別為6cm與2cm a b兩小球分別從A B兩點由靜止同時放開 則兩小球相碰的位置是 A C點B C點右側(cè)C C點左側(cè)D 不能確定 解析 選A 由于半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)地大于運動的弧長 小球都做簡諧運動 類似于單擺 因此周期只與半徑有關(guān) 與運動的弧長無關(guān) 故選項A正確 3 如圖所示 一擺長為l的單擺 在懸點的正下方的P處有一釘子 P與懸點相距為l l 則這個擺做小幅度擺動時的周期為 解析 選C 單擺的一個周期包含兩個階段 以l為擺長擺動半個周期 以l 為擺長擺動半個周期 則C選項正確 4 2011 宿州高二檢測 把在北京調(diào)準(zhǔn)的擺鐘 由北京移到赤道上時 擺鐘的振動 A 變慢了 要使它恢復(fù)準(zhǔn)確 應(yīng)增加擺長B 變慢了 要使它恢復(fù)準(zhǔn)確 應(yīng)縮短擺長C 變快了 要使它恢復(fù)準(zhǔn)確 應(yīng)增加擺長D 變快了 要使它恢復(fù)準(zhǔn)確 應(yīng)縮短擺長 解析 選B 把標(biāo)準(zhǔn)擺鐘從北京移到赤道上 重力加速度g變小 則周期擺鐘顯示的時間小于實際時間 因此變慢了 要使它恢復(fù)準(zhǔn)確 應(yīng)縮短擺長 B正確 5 2011 郴州高二檢測 擺長為l的單擺做簡諧運動 若從某時刻開始計時 即取t 0 當(dāng)振動至?xí)r 擺球恰具有負(fù)向最大速度 則單擺的振動圖象是圖中的 解析 選D 最大速度時 單擺應(yīng)在平衡位置 y 0 v方向為 y 即沿y軸負(fù)方向 故D選項正確 6 如圖所示 兩單擺擺長相同 平衡時兩擺球剛好接觸 現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在平面內(nèi)向左拉開一小角度后釋放 碰撞后 兩擺球分開各自做簡諧運動 以mA mB分別表示擺球A B的質(zhì)量 則 A 如果mA mB 下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)B 如果mA mB 下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側(cè)C 無論兩球的質(zhì)量之比是多少 下一次碰撞都不可能在平衡位置右側(cè)D 無論兩球的質(zhì)量之比是多少 下一次碰撞都不可能在平衡位置左側(cè) 解析 選C D 因為兩者的擺長相等 所以做簡諧運動的周期相同 所以應(yīng)在最低點相碰 選項C D正確 7 2011 淮南高二檢測 有一天體半徑為地球半徑的2倍 平均密度與地球相同 在地球表面走時準(zhǔn)確的擺鐘移到該天體的表面 秒針走一圈的實際時間為 解析 選B 擺鐘的周期可借助單擺的周期公式來討論 由于是同一單擺 其擺長可認(rèn)為不變 則其周期與重力加速度的平方根成反比 由萬有引力定律得 即在 相同時 g R 由以上推理可得所以秒針在該天體上走一圈的實際時間為min 所以擺鐘的周期可以應(yīng)用單擺的周期公式來分析 而單擺的周期與重力加速度有關(guān) 在不同的天體上 由于重力加速度不同 所以同一擺鐘在不同的天體上的周期是不相同的 故B正確 8 若單擺的擺長不變 擺球的質(zhì)量增加為原來的4倍 擺球經(jīng)過平衡位置時的速度減小為原來的1 2 則單擺振動的 A 頻率不變 振幅不變B 頻率不變 振幅改變C 頻率改變 振幅改變D 頻率改變 振幅不變 解析 選B 由單擺的周期公式T 因l不變 故T不變 f 不變 當(dāng)l一定時 單擺的振幅A取決于偏角 根據(jù)機械能守恒定律 擺球從最大位移處到平衡位置mgl 1 cos mv2得v2 2gl 1 cos 與m無關(guān) 由擺球通過最低點的速度減小知單擺的偏角 減小 所以振幅減小 所以正確選項為B 二 非選擇題9 2011 江蘇高考 將一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧豎直懸掛 下端系上質(zhì)量為m的物塊 將物塊向下拉離平衡位置后松開 物塊上下做簡諧運動 其振動周期恰好等于以物塊平衡時彈簧的伸長量為擺長的單擺周期 請由單擺的周期公式推算出該物塊做簡諧運動的周期T 解析 單擺周期公式為由力的平衡條件知道kl mg聯(lián)立解得T 答案 見解析 10 有一單擺 其擺長l 1 02m 擺球的質(zhì)量m 0 10kg 已知單擺做簡諧運動 單擺振動30次用的時間t 60 8s 試求 當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣仁嵌啻?解析 當(dāng)單擺做簡諧運動時 其周期公式由此可得g 4 2l T2 只要求出T值代入即可 因為所以g 4 2l T2 9 79m s2答案 9 79m s2 Thankyou 同學(xué)們 來學(xué)校和回家的路上要注意安全 同學(xué)們 來學(xué)校和回家的路上要注意安全