證明不等式的根本方法考點一綜合法證明不等式 【典例】(2021·全國卷)a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1,證明:(1)+a2+b2+c2.(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.【證明】(1)因為a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=+.當且僅當a=b=c時,取等號.所以+a2+b2+c2.(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33=3(a+b)(b+c)(a+c)3×(2)×(2)×(2)=24.當且僅當a=b=c時,取等號.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.1.綜合法證明不等式,要分析清與求證之間,不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進行轉(zhuǎn)換,恰中選擇不等式,這是證明的關(guān)鍵.2.在用綜合法證明不等式時,不等式的性質(zhì)和根本不等式是最常用的.在運用這些性質(zhì)時,要注意性質(zhì)和不等式成立的條件.考點二分析法證明不等式 【典例】函數(shù)f(x)=|x+1|.(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M.(2)設(shè)a,bM,證明:f(ab)>f(a)-f(-b).【解題導思】聯(lián)想解題(1)根據(jù)絕對值的性質(zhì)去絕對值,解不等式(2)用綜合法證明不等式不好證明時,考慮分析法證明【解析】(1)由題意,得|x+1|<|2x+1|-1,當x-1時,不等式可化為-x-1<-2x-2,解得x<-1;當-1<x<-時,不等式可化為x+1<-2x-2,此時不等式無解;當x-時,不等式可化為x+1<2x,解得x>1.綜上,M=x|x<-1或x>1.(2)因為f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|a+1-(-b+1)|=|a+b|,所以要證f(ab)>f(a)-f(-b),只需證|ab+1|>|a+b|,即證|ab+1|2>|a+b|2,即證a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,即證a2b2-a2-b2+1>0,即證(a2-1)(b2-1)>0.因為a,bM,所以a2>1,b2>1,所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.1.當要證的不等式不知從何入手時,可考慮用分析法去證明,特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效.2.分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的根本性質(zhì)、的重要不等式和邏輯推理的根本理論.3.分析法證明不等式的思維方向是“逆推,即由待證的不等式出發(fā), 逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因),最后得到的充分條件是(或已證)的不等式.a>b>c,且a+b+c=0,求證:<a.【證明】由a>b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0.要證<a,只需證b2-ac<3a2.因為a+b+c=0,只需證b2+a(a+b)<3a2,只需證2a2-ab-b2>0,只需證(a-b)(2a+b)>0,只需證(a-b)(a-c)>0.因為a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,所以(a-b)(a-c)>0顯然成立,故原不等式成立.考點三比擬法證明不等式  命題精解讀考什么:(1)考查數(shù)、代數(shù)式的大小比擬(2)考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)和轉(zhuǎn)化化歸、放縮等數(shù)學思想方法怎么考:與根本初等函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)等數(shù)學知識交叉考查大小比擬問題新趨勢:以不等式為載體,與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)等結(jié)合考查為主學霸好方法比擬法證明不等式的思路:當題目中出現(xiàn)多項式的大小比擬時,一般采用作差法;當題目中出現(xiàn)正的單項式大小比擬時,一般采用作商法作差法【典例】當p,q都是正數(shù)且p+q=1時,試比擬(px+qy)2與px2+qy2的大小.【解析】(px+qy)2-(px2+qy2)=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因為p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因為p,q為正數(shù),所以-pq(x-y)20,所以(px+qy)2px2+qy2.當且僅當x=y時,不等式中等號成立.作商法【典例】a,bR+,證明:aabbabba.【證明】因為=,當a>b時,>1,a-b>0,故>1;當a=b時,=1,a-b=0,故=1;當a<b時,<1,a-b<0,故>1.綜上,aabbabba.- 5 -