七年級(jí)數(shù)學(xué),上?？萍汲霭嫔?/h3>

第一章 有理數(shù) 一 正數(shù)和負(fù)數(shù) 正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念 負(fù)數(shù) 比 0 小的數(shù) 正數(shù) 比 0 大的數(shù) 0 既不是正數(shù) 也不是負(fù)數(shù) 注意 字母 a 可以表示任意數(shù) 當(dāng) a 表示正數(shù)時(shí) a 是負(fù)數(shù) 當(dāng) a 表示負(fù)數(shù)時(shí) a 是正 數(shù) 當(dāng) a 表示 0 時(shí) a 仍是 0 如果出判斷題為 帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù) 帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù) 這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的 例如 a a 就不能做出簡(jiǎn)單判斷 正數(shù)有時(shí)也可以在前面加 有時(shí) 省略不寫 所以省略 的正數(shù)的符號(hào)是正 號(hào) 2 具有相反意義的量 若正數(shù)表示某種意義的量 則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量 比如 零上 8 表示為 8 零下 8 表示為 8 支出與收入 增加與減少 盈利與虧損 北與南 東與西 漲與跌 增長(zhǎng)與降低等等是相對(duì)相反 量 它們計(jì)數(shù) 比原先多了的數(shù) 增加增長(zhǎng)了的數(shù)一般記為正數(shù) 相反 比原先少了的數(shù) 減少降低了的數(shù) 一般記為負(fù)數(shù) 3 0 表示的意義 0 表示 沒(méi)有 如教室里有 0 個(gè)人 就是說(shuō)教室里沒(méi)有人 0 是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線 0 既不是正數(shù) 也不是負(fù)數(shù) 二 有理數(shù) 1 有理數(shù)的概念 正整數(shù) 0 負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) 0 和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù) 正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù) 正整數(shù) 0 負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式 這樣的數(shù)稱為有理數(shù) 理解 只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù) 是無(wú)限不循環(huán)小數(shù) 不能寫成分?jǐn)?shù)形式 不 是有理數(shù) 有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù) 都是有理數(shù) 注意 引入負(fù)數(shù)以后 奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了 像 2 4 6 8 也是偶數(shù) 1 3 5 也是奇數(shù) 2 1 凡能寫成 形式的數(shù) 都是有理數(shù) 正整數(shù) 0 負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整 pq p 為 整 數(shù) 且 數(shù) 正分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù) 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) 注意 0 即不是正數(shù) 也不是負(fù)數(shù) a 不一定是負(fù)數(shù) a 也不一定是正數(shù) 不是有理數(shù) 2 有理數(shù)的分類 按正 負(fù)分類 負(fù) 分 數(shù)負(fù) 整 數(shù)負(fù) 有 理 數(shù)零 正 分 數(shù)正 整 數(shù)正 有 理 數(shù)有 理 數(shù) 按有理數(shù)的意義來(lái)分 負(fù) 分 數(shù)正 分 數(shù)分 數(shù) 負(fù) 整 數(shù)零正 整 數(shù)整 數(shù)有 理 數(shù) 總結(jié) 正整數(shù) 0 統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù) 也叫自然數(shù) 負(fù)整數(shù) 0 統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù) 0 統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù) 負(fù)有理數(shù) 0 統(tǒng)稱為非正有理數(shù) 3 注意 有理數(shù)中 1 0 1 是三個(gè)特殊的數(shù) 它們有自己的特性 這三個(gè)數(shù)把數(shù)軸上 的數(shù)分成四個(gè)區(qū)域 這四個(gè)區(qū)域的數(shù)也有自己的特性 4 自然數(shù) 0 和正整數(shù) a 0 a 是正數(shù) a 0 a 是負(fù)數(shù) a 0 a 是正數(shù)或 0 a 是非負(fù)數(shù) a 0 a 是負(fù)數(shù)或 0 a 是非正數(shù) 三 數(shù)軸 數(shù)軸的概念 規(guī)定了原點(diǎn) 正方向 單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸 注意 數(shù)軸是一條向兩端無(wú)限延伸的直線 原點(diǎn) 正方向 單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素 三者缺一不可 同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一 數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定 的 2 數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系 所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示 正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示 負(fù)有理數(shù) 可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示 0 用原點(diǎn)表示 所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái) 但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù) 也就是說(shuō) 有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 如 數(shù)軸上的點(diǎn) 不是有理數(shù) 3 利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小 在數(shù)軸上數(shù)的大小比較 右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大 正數(shù)都大于 0 負(fù)數(shù)都小于 0 正數(shù)大于負(fù)數(shù) 兩個(gè)負(fù)數(shù)比較 距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小 4 數(shù)軸上特殊的最大 小 數(shù) 最小的自然數(shù)是 0 無(wú)最大的自然數(shù) 最小的正整數(shù)是 1 無(wú)最大的正整數(shù) 最大的負(fù)整數(shù)是 1 無(wú)最小的負(fù)整數(shù) 5 a 可以表示什么數(shù) a 0 表示 a 是正數(shù) 反之 a 是正數(shù) 則 a 0 a 0 表示 a 是負(fù)數(shù) 反之 a 是負(fù)數(shù) 則 a0 時(shí) a 0 正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù) 當(dāng) a0 負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù) 當(dāng) a 0 時(shí) a 0 0 的相反數(shù)是 0 6 多重符號(hào)的化簡(jiǎn) 多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律 號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果 可以直接省略 號(hào)的個(gè)數(shù)決 定最后化簡(jiǎn)結(jié)果 即 的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí) 結(jié)果為負(fù) 的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí) 結(jié)果為正 五 絕對(duì)值 絕對(duì)值的幾何定義 一般地 數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做 a 的絕對(duì)值 記作 a 2 絕對(duì)值的代數(shù)定義 一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身 一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù) 0 的絕對(duì)值是 0 可用字母表示為 如果 a 0 那么 a a 如果 a 0 那么 a a 如果 a 0 那么 a 0 可歸納為 a 0 a a 非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身 絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù) 數(shù) a 0 a a 非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù) 絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正 數(shù) 3 絕對(duì)值的性質(zhì) 任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù) 也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性 所以 a 取任何有理 數(shù) 都有 a 0 即 1 正數(shù)的絕對(duì)值是其本身 0 的絕對(duì)值是 0 負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它 的相反數(shù) 注意 絕對(duì)值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離 絕對(duì)值是 0 的 數(shù)是 0 即 a 0 a 0 一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù) 絕對(duì)值最小的數(shù)是 0 絕對(duì)值可表示為 或 即 a 0 絕對(duì)值的問(wèn)題經(jīng)常分類討論 0a 0a 任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù) 即 a a 0a1 0a1 絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè) 它們互為相反數(shù) 即 若 x a a 0 則 x a 互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等 即 a a 或若 a b 0 則 a b a 是 重要的非負(fù)數(shù) 即 a 0 注意 a b a b ba 絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù) 即 a b 則 a b 或 a b 若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于 0 則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為 0 即 a b 0 則 a 0 且 b 0 非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì) 若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為 0 則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為 0 4 有理數(shù)大小的比較 利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小 數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較 左邊的數(shù)總比右邊的數(shù)小 或者 右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大 利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小 兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小 絕對(duì)值大的反而小 異號(hào)兩數(shù)比 較大小 正數(shù)大于負(fù)數(shù) 3 正數(shù)的絕對(duì)值越大 這個(gè)數(shù)越大 4 正數(shù)永遠(yuǎn)比 0 大 負(fù)數(shù)永遠(yuǎn)比 0 小 5 正數(shù)大于一切負(fù)數(shù) 6 大數(shù) 小數(shù) 0 小數(shù) 大數(shù) 0 5 絕對(duì)值的化簡(jiǎn) 當(dāng) a 0 時(shí) a a 當(dāng) a 0 時(shí) a a 6 已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值 求這個(gè)數(shù) 一個(gè)數(shù) a 的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 一般地 絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù) 的有理數(shù)有兩個(gè) 它們互為相反數(shù) 絕對(duì)值為 0 的數(shù)是 0 沒(méi)有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù) 六 有理數(shù)的加減法 1 有理數(shù)的加法法則 同號(hào)兩數(shù)相加 取相同的符號(hào) 并把絕對(duì)值相加 絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加 取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào) 并用較大的絕對(duì)值減去較 小的絕對(duì)值 互為相反數(shù)的兩數(shù)相加 和為零 一個(gè)數(shù)與 0 相加 仍得這個(gè)數(shù) 2 有理數(shù)加法的運(yùn)算律 加法交換律 a b b a 加法結(jié)合律 a b c a b c 在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí) 一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用 以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的 通常有下列規(guī)律 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加 相反數(shù)結(jié)合法 符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加 同號(hào)結(jié)合法 分母相同的數(shù)先相加 同分母結(jié)合法 幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù) 先相加 湊整法 整數(shù)與整數(shù) 小數(shù)與小數(shù)相加 同形結(jié)合法 3 加法性質(zhì) 一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大 加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)小 加 0 后的和等于原數(shù) 即 當(dāng) b 0 時(shí) a b a 當(dāng) b 0 時(shí) a b a 當(dāng) b 0 時(shí) a b a 4 有理數(shù)減法法則 減去一個(gè)數(shù) 等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù) 用字母表示為 a b a b 5 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義 在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中 根據(jù)有理數(shù)減法法則 可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后 再按照加 法法則進(jìn)行計(jì)算 在和式里 通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫 寫成省略加號(hào)的和的形式 如 8 7 6 5 8 7 6 5 和式的讀法 按這個(gè)式子表示的意義讀作 負(fù) 8 負(fù) 7 負(fù) 6 正 5 的和 按運(yùn)算意義讀作 負(fù) 8 減 7 減 6 加 5 6 有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時(shí)的一些技巧 把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合 同號(hào)結(jié)合法 33 18 15 1 23 原式 33 18 15 1 23 將減法轉(zhuǎn)換成加法 33 18 15 1 23 省略加號(hào)和括號(hào) 33 15 1 18 23 把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合 49 41 運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算 8 運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算 把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合 湊整法 6 6 5 2 3 8 2 6 4 8 原式 6 6 5 2 3 8 2 6 4 8 將減法轉(zhuǎn)換成加法 6 6 5 2 3 8 2 6 4 8 省略加號(hào)和括號(hào) 6 6 2 6 5 2 4 8 3 8 把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合 4 10 3 8 運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算 7 8 10 把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合 并進(jìn)行運(yùn) 算 2 2 得出結(jié)論 把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合 同分母結(jié)合法 5321487 原式 2143 1 0 8 11 既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合 先統(tǒng)一后結(jié)合 0 125 3 3 10 1 25 438132 原式 3 3 10 1 8141 3 3 10 143241 3 1 3 1083 2 3 10213 3 13 6 101 把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合 先拆分后結(jié)合 3 10 12 45162157 原式 3 10 12 4 621 1 1542 1 308 7 分組結(jié)合 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 原式 2 3 4 5 6 7 8 9 66 67 68 69 0 先拆項(xiàng)后結(jié)合 1 3 5 7 99 2 4 6 8 100 七 有理數(shù)的乘除法 1 有理數(shù)的乘法法則 法則一 兩數(shù)相乘 同號(hào)得正 異號(hào)得負(fù) 并把絕對(duì)值相乘 同號(hào)得正 異號(hào)得負(fù) 專指 兩數(shù)相乘 的情況 如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè) 就必須運(yùn)用法則三 法則二 任何數(shù)同 0 相乘 都得 0 法則三 幾個(gè)不是 0 的數(shù)相乘 負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí) 積是正數(shù) 負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù) 時(shí) 積是負(fù)數(shù) 法則四 幾個(gè)數(shù)相乘 如果其中有因數(shù)為 0 則積等于 0 2 倒數(shù) 乘積是 1 的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù) 其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù) 用式子表示為 a 1 a 0 就是說(shuō) a 和 互為倒數(shù) 即 a 是 的倒數(shù) 是 a 的倒數(shù) a11 互為倒數(shù) 乘積為 1 的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù) 注意 0 沒(méi)有倒數(shù) 若 a 0 那么 的倒數(shù)是 aa1 倒數(shù)是本身的數(shù)是 1 若 ab 1 a b 互為倒數(shù) 若 ab 1 a b 互為負(fù)倒數(shù) 注意 0 沒(méi)有倒數(shù) 求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù) 只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子 分母點(diǎn)顛倒位置即可 求帶分?jǐn)?shù)的 倒數(shù)時(shí) 先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù) 再把分子 分母顛倒位置 正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù) 負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù) 求一個(gè)數(shù)的倒數(shù) 不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì) 倒數(shù)等于它本身的數(shù)是 1 或 1 不包括 0 3 有理數(shù)的乘法運(yùn)算律 乘法交換律 一般地 有理數(shù)乘法中 兩個(gè)數(shù)相乘 交換因數(shù)的位置 積相等 即 ab ba 乘法結(jié)合律 三個(gè)數(shù)相乘 先把前兩個(gè)數(shù)相乘 或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘 積相等 即 ab c a bc 乘法分配律 一般地 一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘 等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘 在把積相加 即 a b c ab ac 4 有理數(shù)的除法法則 1 除以一個(gè)不等 0 的數(shù) 等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù) 注意 零不能做除數(shù) 無(wú) 意 義即 0a 2 兩數(shù)相除 同號(hào)得正 異號(hào)得負(fù) 并把絕對(duì)值相除 0 除以任何一個(gè)不等于 0 的數(shù) 都得 0 5 有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算 1 乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法 然后確定積的符號(hào) 最后求出結(jié)果 2 有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算 如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算 則按照 先乘除 后加 減 的順序進(jìn)行 八 有理數(shù)的乘方 1 乘方的概念 求 n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算 叫做乘方 乘方的結(jié)果叫做冪 在 中 a 叫做底數(shù) n n 叫做指數(shù) 1 a 2是重要的非負(fù)數(shù) 即 a2 0 若 a2 b 0 a 0 b 0 2 據(jù)規(guī)律 底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)一位 平方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)二位 10 2 2 乘方的性質(zhì) 1 負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù) 負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù) 注意 當(dāng) n 為正奇數(shù)時(shí) a n an或 a b n b a n 當(dāng) n 為正偶數(shù)時(shí) a n an 或 a b n b a n 2 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù) 0 的任何正整數(shù)次冪都是 0 九 有理數(shù)的混合運(yùn)算 做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí) 應(yīng)注意以下運(yùn)算順序 1 先乘方 再乘除 最后加減 2 同級(jí)運(yùn)算 從左到右進(jìn)行 3 如有括號(hào) 先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算 按小括號(hào) 中括號(hào) 大括號(hào)依次進(jìn)行 十 科學(xué)記數(shù)法 把一個(gè)大于 10 的數(shù)表示成 的形式 其中 n 是正整數(shù) 這種記數(shù)法na10 10 a 是科學(xué)記數(shù)法 近似數(shù)的精確位 一個(gè)近似數(shù) 四舍五入到那一位 就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位 有效數(shù)字 從左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起 到精確的位數(shù)止 所有數(shù)字 都叫這個(gè)近似 數(shù)的有效數(shù)字 混合運(yùn)算法則 先乘方 后乘除 最后加減 注意 怎樣算簡(jiǎn)單 怎樣算準(zhǔn)確 是數(shù)學(xué) 計(jì)算的最重要的原則 特殊值法 是用符合題目要求的數(shù)代入 并驗(yàn)證題設(shè)成立而進(jìn)行猜想的一種方法 但不能 用于證明 等于本身的數(shù)匯總 相反數(shù)等于本身的數(shù) 0 倒數(shù)等于本身的數(shù) 1 1 絕對(duì)值等于本身的數(shù) 正數(shù)和 0 平方等于本身的數(shù) 0 1 立方等于本身的數(shù) 0 1 1 第二章 整式的加減 一 用字母表示數(shù) 代數(shù)初步知識(shí) 1 代數(shù)式 用運(yùn)算符號(hào) 連接數(shù)及表示數(shù)的字母的式子稱為代數(shù) 式 注意 用字母表示數(shù)有一定的限制 首先字母所取得數(shù)應(yīng)保證它所在的式子有意義 其次字母所取得數(shù)還應(yīng)使實(shí)際生活或生產(chǎn)有意義 單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式 用基本運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和字母連接而成的式子叫做代數(shù)式 如 n 1 2n 500 abc 2 代數(shù)式書(shū)寫規(guī)范 1 數(shù)與字母相乘 或字母與字母相乘中通常使用 乘 或省略不寫 2 數(shù)與數(shù)相乘 仍應(yīng)使用 乘 不用 乘 也不能省略乘號(hào) 3 數(shù)與字母相乘時(shí) 一般在結(jié)果中把數(shù)寫在字母前面 如 a 5 應(yīng)寫成 5a 4 帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí) 要把帶分?jǐn)?shù)改成假分?jǐn)?shù)形式 如 a 應(yīng)寫成 a 213 5 在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí) 一般用分?jǐn)?shù)線將被除式和除式聯(lián)系 如 3 a 寫成 的 形式 6 a 與 b 的差寫作 a b 要注意字母順序 若只說(shuō)兩數(shù)的差 當(dāng)分別設(shè)兩數(shù)為 a b 時(shí) 則應(yīng)分類 寫做 a b 和 b a 出現(xiàn)除式時(shí) 用分?jǐn)?shù)表示 7 若運(yùn)算結(jié)果為加減的式子 當(dāng)后面有單位時(shí) 要用括號(hào)把整個(gè)式子括起來(lái) 3 幾個(gè)重要的代數(shù)式 m n 表示整數(shù) 1 a 與 b 的平方差是 a 2 b2 a 與 b 差的平方是 a b 2 2 若 a b c 是正整數(shù) 則兩位整數(shù)是 10a b 則三位整數(shù)是 100a 10b c 3 若 m n 是整數(shù) 則被 5 除商 m 余 n 的數(shù)是 5m n 偶數(shù)是 2n 奇數(shù)是 2n 1 三個(gè)連續(xù)整數(shù)是 n 1 n n 1 4 若 b 0 則正數(shù)是 a 2 b 負(fù)數(shù)是 a 2 b 非負(fù)數(shù)是 a 2 非正數(shù)是 a 2 二 整式 1 單項(xiàng)式 表示數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式 單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式 2 單項(xiàng)式的系數(shù) 單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù) 單項(xiàng)式中不為零的數(shù)字因數(shù) 叫單項(xiàng)式的數(shù)字系 數(shù) 簡(jiǎn)稱單項(xiàng)式的系數(shù) 3 單項(xiàng)式的次數(shù) 一個(gè)單項(xiàng)式中 所有字母的指數(shù)和 4 多項(xiàng)式 幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式 每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng) 不含字母的項(xiàng)叫做 常數(shù)項(xiàng) 多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù) 叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù) 常數(shù)項(xiàng)的次數(shù)為 0 注意 若 a b c p q 是常數(shù) ax 2 bx c 和 x2 px q 是常見(jiàn)的兩個(gè)二次三項(xiàng)式 5 整式 單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式 即凡不含有除法運(yùn)算 或雖含有除法運(yùn)算但除式中 不含字母的代數(shù)式叫整式 整式分類為 多 項(xiàng) 式單 項(xiàng) 式整 式 注意 分母上含有字母的不是整式 6 多項(xiàng)式的升冪和降冪排列 把一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)按某個(gè)字母的指數(shù)從小到大 或從 大到小 排列起來(lái) 叫做按這個(gè)字母的升冪排列 或降冪排列 注意 多項(xiàng)式計(jì)算的最 后結(jié)果一般應(yīng)該進(jìn)行升冪 或降冪 排列 三 整式的加減 1 合并同類項(xiàng) 2 同類項(xiàng) 所含字母相同 并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng) 3 合并同類項(xiàng)的法則 同類項(xiàng)的系數(shù)相加 所得的結(jié)果作為系數(shù) 字母和字母的指數(shù)不變 4 合并同類項(xiàng)的步驟 1 準(zhǔn)確的找出同類項(xiàng) 2 運(yùn)用加法交換律 把同類項(xiàng)交換位 置后結(jié)合在一起 3 利用法則 把同類項(xiàng)的系數(shù)相加 字母和字母的指數(shù)不變 4 寫出合并后的結(jié)果 5 去括號(hào) 去括號(hào)的法則 1 括號(hào)前面是 號(hào) 把括號(hào)和它前面的 號(hào)去掉 括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都不變 2 括號(hào)前面是 號(hào) 把括號(hào)和它前面的 號(hào)去掉 括號(hào)里各項(xiàng)的符號(hào)都要改變 6添括號(hào)法則 添括號(hào)時(shí) 若括號(hào)前邊是 號(hào) 括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào) 若括號(hào)前邊 是 號(hào) 括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào) 7 整式的加減 進(jìn)行整式的加減運(yùn)算時(shí) 如果有括號(hào)先去括號(hào) 再合并同類項(xiàng) 整式的加 減 實(shí)際上是在去括號(hào)的基礎(chǔ)上 把多項(xiàng)式的同類項(xiàng)合并 8 整式加減的步驟 1 列出代數(shù)式 2 去括號(hào) 3 添括號(hào) 4 合并同類項(xiàng) 第三章 一元一次方程 1等式與等量 用 號(hào)連接而成的式子叫等式 注意 等量就能代入 2等式的性質(zhì) 等式性質(zhì) 1 等式兩邊都加上 或減去 同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式 所得結(jié)果仍是等式 等式性質(zhì) 2 等式兩邊都乘以 或除以 同一個(gè)不為零的數(shù) 所得結(jié)果仍是等式 3方程 含未知數(shù)的等式 叫方程 4 一元一次方程的概念 只含有 一個(gè)未知數(shù) 元 含未知數(shù)項(xiàng)的系數(shù)不是零 且未知數(shù)的 指數(shù)是 1 次 的整式方程叫做一元一次方程 一般形式 ax b 0 x 是未知數(shù) a b 是 已知數(shù) 且 a 0 最簡(jiǎn)形式 ax b x 是未知數(shù) a b 是已知數(shù) 且 a 0 注意 未知數(shù)在分母中時(shí) 它的次數(shù)不能看成是 1 次 如 它不是一元一次方程 x 3 5 解一元一次方程 方程的解 能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解 注意 方程的解就能代 入 驗(yàn)算 解方程 求方程的解的過(guò)程叫做解方程 等式的性質(zhì) 1 等式兩邊都加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式 所得結(jié)果仍是等式 2 等式兩邊都乘或除以同一個(gè)不等于 0 的數(shù) 所得結(jié)果仍是等式 6 移項(xiàng) 移項(xiàng) 方程中的某些項(xiàng)改變符號(hào)后 可以從方程的一邊移到另一邊 這樣的變形叫做移項(xiàng) 移項(xiàng)的依據(jù) 1 移項(xiàng)實(shí)際上就是對(duì)方程兩邊進(jìn)行同時(shí)加減 根據(jù)是等式的性質(zhì) 1 2 系數(shù)化為 1 實(shí)際上就是對(duì)方程兩邊同時(shí)乘除 根據(jù)是等式的性質(zhì) 2 移項(xiàng)的作用 移項(xiàng)時(shí)一般把含未知數(shù)的項(xiàng)向左移 常數(shù)項(xiàng)往右移 使左邊對(duì)含未知數(shù)的項(xiàng) 合并 右邊對(duì)常數(shù)項(xiàng)合并 注意 移項(xiàng)時(shí)要跨越 號(hào) 移過(guò)的項(xiàng)一定要變號(hào) 7 解一元一次方程的一般步驟 整理方程 去分母 去括號(hào) 移項(xiàng) 合并同類項(xiàng) 未知數(shù) 的系數(shù)化為 1 檢驗(yàn)方程的解 注意 去分母時(shí)不可漏乘不含分母的項(xiàng) 分?jǐn)?shù)線有括號(hào)的作用 去掉分母后 若分子是多 項(xiàng)式 要加括號(hào) 解下列方程 1 2 3 xx43 9 76 20 34xx 4 1652 x 5 10 1 8 用方程解決問(wèn)題 列一元一次方程解應(yīng)用題的基本步驟 審清題意 設(shè)未知數(shù) 元 列出方程 解方程 寫 出答案 關(guān)鍵在于抓住問(wèn)題中的有關(guān)數(shù)量的相等關(guān)系 列出方程 解決問(wèn)題的策略 利用表格和示意圖幫助分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系 9列一元一次方程解應(yīng)用題 1 讀題分析法 多用于 和 差 倍 分問(wèn)題 仔細(xì)讀題 找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字 例如 大 小 多 少 是 共 合 為 完成 增加 減少 配套 利用這些關(guān)鍵字列出文字等式 并且據(jù)題意設(shè) 出未知數(shù) 最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式 得到方程 2 畫(huà)圖分析法 多用于 行程問(wèn)題 利用圖形分析數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn) 仔細(xì)讀題 依照題意畫(huà)出 有關(guān)圖形 使圖形各部分具有特定的含義 通過(guò)圖形找相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 從 而取得布列方程的依據(jù) 最后利用量與量之間的關(guān)系 可把未知數(shù)看做已知量 填入有 關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ) 10 實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型 1 行程問(wèn)題 路程 時(shí)間 速度 時(shí)間 速度 速 度路 程 時(shí) 間路 程 單位 路程 米 千米 時(shí)間 秒 分 時(shí) 速度 米 秒 米 分 千米 小 時(shí) 2 工程問(wèn)題 工作總量 工作時(shí)間 工作效率 工 作 時(shí) 間工 作 總 量工 作 效 率 工作總量 各部分工作量的和 工 作 效 率工 作 總 量工 作 時(shí) 間 3 利潤(rùn)問(wèn)題 利潤(rùn) 售價(jià) 進(jìn)價(jià) 利潤(rùn)率 售價(jià) 標(biāo)價(jià) 1 折扣 進(jìn) 價(jià)利 潤(rùn) 4 商品價(jià)格問(wèn)題 售價(jià) 定價(jià) 折 利潤(rùn) 售價(jià) 成本 10 10 成 本 成 本售 價(jià)利 潤(rùn) 率 5 利息問(wèn)題 本息和 本金 利息 利息 本金 利率 6 比率問(wèn)題 部分 全體 比率 全 體部 分比 率 比 率部 分全 體 7 順逆流問(wèn)題 順流速度 靜水速度 水流速度 逆流速度 靜水速度 水流速度 8 等積變形問(wèn)題 長(zhǎng)方體的體積 長(zhǎng) 寬 高 圓柱的體積 底面積 高 鍛造前的體積 鍛造后的體積 9 周長(zhǎng) 面積 體積問(wèn)題 C 圓 2 R S 圓 R 2 C 長(zhǎng)方形 2 a b S 長(zhǎng)方形 ab C 正方形 4a S 正方形 a2 S 環(huán)形 R 2 r2 V 長(zhǎng)方體 abc V 正方體 a3 V 圓柱 R 2h V 圓錐 R 2h 31 10 列一元一次方程解應(yīng)用題 1 讀題分析法 多用于 和 差 倍 分問(wèn)題 仔細(xì)讀題 找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字 例如 大 小 多 少 是 共 合 為 完成 增加 減少 配套 利用這些關(guān)鍵字列出文字等式 并且據(jù)題意設(shè) 出未知數(shù) 最后利用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式 得到方程 2 畫(huà)圖分析法 多用于 行程問(wèn)題 利用圖形分析數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn) 仔細(xì)讀題 依照題意畫(huà)出 有關(guān)圖形 使圖形各部分具有特定的含義 通過(guò)圖形找相等關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 從 而取得布列方程的依據(jù) 最后利用量與量之間的關(guān)系 可把未知數(shù)看做已知量 填入有 關(guān)的代數(shù)式是獲得方程的基礎(chǔ) 第 4 章直線與角 三視圖 物體的三視圖指主視圖 俯視圖 左視圖 主視圖 從正面看到的圖 叫做主視圖 左視圖 從左面看到的圖 叫做左視圖 俯視圖 從上面看到的圖 叫做俯視圖 平面圖形的認(rèn)識(shí) 線段 射線 直線 不同點(diǎn) 名稱 延伸性 端點(diǎn)數(shù) 聯(lián)系 共同點(diǎn) 線段 不能延伸 2 射線 只能向一方延伸 1 直線 可向兩方無(wú)限延 伸 無(wú) 線段向一方延長(zhǎng) 就成射線 向兩 方延長(zhǎng)就成直線 都是直的線 點(diǎn) 直線 射線和線段的表示 在幾何里 我們常用字母表示圖形 一個(gè)點(diǎn)可以用一個(gè)大寫字母表示 如點(diǎn) A 一條直線可以用一個(gè)小寫字母表示或用直線上兩個(gè)點(diǎn)的大寫字母表示 如直線 l 或者直線 AB 一條射線可以用一個(gè)小寫字母表示或用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來(lái)表示 端點(diǎn)字母寫在前面 如射線 l 射線 AB 一條線段可以用一個(gè)小寫字母表示或用它的端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來(lái)表示 如線段 l 線段 AB 點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有兩種 點(diǎn)在直線上 或者說(shuō)直線經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn) 點(diǎn)在直線外 或者說(shuō)直線不經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn) 線段的性質(zhì) 1 線段公理 兩點(diǎn)之間的所有連線中 線段最短 2 兩點(diǎn)之間的距離 兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度 叫做這兩點(diǎn)之間的距離 3 線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等 4 線段的大小關(guān)系和它們的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是一致的 5 線段的比較 1 目測(cè)法 2 疊合法 3 度量法 線段的中點(diǎn) 點(diǎn) M 把線段 AB 分成相等的兩條相等的線段 AM 與 BM 點(diǎn) M 叫做線段 AB 的中點(diǎn) M 是線段 AB 的中點(diǎn) AM BM AB 或者 AB 2AM 2BM 21 直線的性質(zhì) 1 直線公理 經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)有且只有一條直線 2 過(guò)一點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條 3 直線是是向兩方面無(wú)限延伸的 無(wú)端點(diǎn) 不可度量 不能比較大小 4 直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn) 5 兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn) 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線 并且只有一條直線 兩點(diǎn)確定一條直線 點(diǎn) C 線段 AB 分 成相等的兩條線段 AM 與 MB 點(diǎn) M 叫做線段 AB 的中點(diǎn) 類似的還有線段的三等 分點(diǎn) 四等分點(diǎn)等 直線桑一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線 兩點(diǎn)的所有連線中 線段最短 簡(jiǎn) 單說(shuō)成 兩點(diǎn)之間 線段最短 角 有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角 兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂 點(diǎn) 這兩條射線叫做這個(gè)角的邊 或 角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的 平角和周角 一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí) 所形成的角 叫做平角 終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn) 當(dāng)它又和始邊重合時(shí) 所形成的角叫做周角 角的表示 用數(shù)字表示單獨(dú)的角 如 1 2 3 等 用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角 如 等 用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立 在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角 的角 如 B C 等 用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角 如 BAD BAE CAE 等 注意 用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí) 一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間 邊上的字母寫在兩側(cè) 余角和補(bǔ)角 x0001 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角等于 90 這兩個(gè)角叫做互為余角 簡(jiǎn)稱互余 其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為如果 90 那么 與 互余 反過(guò)來(lái) 如果 與 互余 那么 90 如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角等于 180 這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角 簡(jiǎn)稱互補(bǔ) 其中一個(gè) 角是另一個(gè)角的補(bǔ)角 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為如果 180 那么 與 互補(bǔ) 反過(guò)來(lái)如果 與 互補(bǔ) 那么 180 同角 或等角 的余角相等 同角 或等角 的補(bǔ)角相等 對(duì)頂角 一對(duì)角 如果它們的頂點(diǎn)重合 兩條邊互為反向延長(zhǎng)線 我們把這樣的兩個(gè)角叫做互 為對(duì)頂角 其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的對(duì)頂角 注意 對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的 它們有公共的頂點(diǎn) 只有兩條直線相交時(shí)才能形成對(duì)頂 角 對(duì)頂角的性質(zhì) 對(duì)頂角相等 如圖 1 和 4 是對(duì)頂角 2 和 3 是對(duì)頂角 1 4 2 3 第 5 章數(shù)據(jù)的收集與整理 收集數(shù)據(jù) 整理數(shù)據(jù) 條形圖 扇形圖 描述數(shù)據(jù) 考察全體對(duì)象的調(diào)查叫做全面調(diào)查 抽樣調(diào)查 只抽取一部分對(duì)象進(jìn)行調(diào)查 然后根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)推斷全體對(duì)象的情 況 要考察的全體對(duì)象稱為總體 組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體 被抽取的 那些個(gè)體組成一個(gè)樣本 樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 4