第三節(jié)等腰三角形與 直角三角形知識點一知識點一 等腰三角形等腰三角形1 1等腰三角形：有等腰三角形：有 _相等的三角形是等腰三角形相等的三角形是等腰三角形2 2等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)(1)(1)等腰三角形兩條腰等腰三角形兩條腰 _ _ ，兩個底角，兩個底角_，簡稱等，簡稱等邊對等角邊對等角相等相等兩邊兩邊 相等相等 (2)(2)等腰三角形頂角的等腰三角形頂角的 _、底邊上的、底邊上的 _及底邊上及底邊上的高線互相重合，簡稱的高線互相重合，簡稱“三線合一三線合一”(3)(3)等腰三角形是軸對稱圖形，有等腰三角形是軸對稱圖形，有_條對稱軸條對稱軸3 3等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(2)(2)有兩個有兩個_相等的三角形是等腰三角形，簡稱等角相等的三角形是等腰三角形，簡稱等角對等邊對等邊平分線平分線中線中線 1 1 角角 逆向運用等腰三角形逆向運用等腰三角形“三線合一三線合一”的性質(zhì)也可以判定三角形的性質(zhì)也可以判定三角形是等腰三角形是等腰三角形(1)(1)一邊上的高線與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形一邊上的高線與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形(2)(2)一邊上的高線與這邊所對角的平分線重合的三角形是一邊上的高線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(3)(3)一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形等腰三角形知識點二知識點二 等邊三角形等邊三角形1 1等邊三角形：三條邊均相等的三角形是等邊三角形等邊三角形：三條邊均相等的三角形是等邊三角形2 2等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)(1)(1)等邊三角形的三條邊等邊三角形的三條邊 _，每個角都等于，每個角都等于 _(2)(2)等邊三角形是軸對稱圖形，有等邊三角形是軸對稱圖形，有_條對稱軸條對稱軸都相等都相等6060 3 3 3 3等邊三角形的判定等邊三角形的判定(1)(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形三條邊都相等的三角形是等邊三角形(2)(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形(3)(3)有一個角等于有一個角等于6060的的 _ _ 是等邊三角形是等邊三角形(4)(4)有兩個角等于有兩個角等于 _的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形6060等腰三角形等腰三角形知識點三知識點三 直角三角形直角三角形1 1勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理(1)(1)勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方如果用邊的平方如果用a a，b b和和c c分別表示直角三角形的兩直角邊分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么和斜邊，那么a a2 2b b2 2c c2 2. .(2)(2)逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形那么這個三角形是直角三角形勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形或證明勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是直角三角形或證明線段垂直的重要依據(jù)線段垂直的重要依據(jù)2 2直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)(1)(1)直角三角形的兩個銳角直角三角形的兩個銳角 _(2)(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 _(3)(3)直角三角形中直角三角形中3030角所對的直角邊等于角所對的直角邊等于 _(4)(4)直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于這條直角邊所對的角等于 _互余互余一半一半斜邊的一半斜邊的一半30303 3直角三角形的判定直角三角形的判定(1)(1)有一個角是有一個角是 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(2)(2)有兩個角有兩個角 _的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(3)(3)勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形邊的平方，那么這個三角形是直角三角形(4)(4)如果三角形一邊上的如果三角形一邊上的_ _ 等于這邊的一半，那么這等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形個三角形是直角三角形9090互余互余 中線中線知識點四知識點四 角平分線與線段的垂直平分線角平分線與線段的垂直平分線1 1角平分線角平分線(1)(1)性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離_(2)(2)判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離 _的的點在這個角的平分線上點在這個角的平分線上 相等相等相等相等2 2線段的垂直平分線線段的垂直平分線(1)(1)線段的垂直平分線：垂直于一條線段，并且平分這條線線段的垂直平分線：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線段的直線叫做這條線段的垂直平分線(2)(2)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離的距離 _(3)(3)判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的線段的 _上上. . 相等相等垂直平分線垂直平分線考點一考點一 等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 (5(5年年3 3考考) )命題角度命題角度等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 例例1 1 在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點如圖是在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點如圖是3 33 3的正方形網(wǎng)格，已知的正方形網(wǎng)格，已知A A，B B是兩格點，在網(wǎng)格中找一點是兩格點，在網(wǎng)格中找一點C C，使，使得得ABCABC為等腰直角三角形，則這樣的點為等腰直角三角形，則這樣的點C C有有( ( ) )A A6 6個個 B B7 7個個 C C8 8個個 D D9 9個個【分析分析】根據(jù)已知條件，分情況進行討論根據(jù)已知條件，分情況進行討論【自主解答自主解答】如圖，如圖，ABAB是腰長時，有是腰長時，有4 4個點可以作為點個點可以作為點C C；ABAB是底邊時，有是底邊時，有2 2個點可以作為點個點可以作為點C.C.所以滿足條件的點所以滿足條件的點C C的個數(shù)是的個數(shù)是4 42 26.6.故選故選A.A.講：講： 分類討論解等腰三角形問題分類討論解等腰三角形問題 在求解與等腰三角形有關(guān)的問題時，如果腰或者頂角在求解與等腰三角形有關(guān)的問題時，如果腰或者頂角不確定，那么需要分類討論進行求解，最易犯錯的地方就不確定，那么需要分類討論進行求解，最易犯錯的地方就是忽略分類討論，導致漏解是忽略分類討論，導致漏解練：鏈接變式訓練練：鏈接變式訓練3 31 1(2017(2017煙臺煙臺) )某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，已某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，已知知ABCDABCD，AEAE與與ABAB的夾角為的夾角為4848，若，若CFCF與與EFEF的長度相等，的長度相等，則則C C的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A A4848 B B4040 C C3030 D D2424D D2 2(2016(2016濱州濱州) )如圖，如圖，ABCABC中，中，D D為為ABAB上一點，上一點，E E為為BCBC上上一點，且一點，且ACACCDCDBDBDBEBE，A A5050，則，則CDECDE的度數(shù)為的度數(shù)為( )( )A A5050 B B5151 C C51.551.5 D D52.552.5D D3 3(2017(2017歷下二模歷下二模) )如圖，等腰如圖，等腰ABCABC中，中，ABABACAC，BACBAC5050，ABAB的垂直平分線的垂直平分線MNMN交交ACAC于點于點D D，則，則DBCDBC的度數(shù)是的度數(shù)是 _1515命題角度命題角度等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)與判定例例2 2 如圖，過邊長為如圖，過邊長為1 1的等邊的等邊ABCABC的邊的邊ABAB上一點上一點P P，作，作PEACPEAC于于E E，Q Q為為BCBC延長線一點，當延長線一點，當PAPACQCQ時，連接時，連接PQPQ交交ACAC于于D D，則，則DEDE的長為的長為( () )1122A. B. C. D.2335【分析分析】 過過P P作作PFBCPFBC交交ACAC于于F F，得出，得出APFAPF是等邊三角形，是等邊三角形，推出推出APAPPFPFQCQC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EFEFAEAE，證得，證得PFDPFDQCDQCD，進而求得，進而求得DE.DE.【自主解答自主解答】 如圖，過如圖，過P P作作PFBCPFBC交交ACAC于于F.F.PFBCPFBC，ABCABC是等邊三角形，是等邊三角形，PFDPFDQCDQCD，APFAPF是等邊三角形，是等邊三角形，APAPPFPFAF.PEACAF.PEAC，AEAEEF.EF.APAPPFPF，APAPCQCQ，PFPFCQ.CQ.又又PDFPDFQDCQDC，PFDPFDQCDQCD，F(xiàn)DFDCD.CD.AEAEEFEF，EFEFFDFDAEAECDCD，AEAECDCDDEDE AC.AC.ACAC1 1，DEDE . .故選故選A.A.12124 4如圖，直線如圖，直線lmnlmn，等邊，等邊ABCABC的頂點的頂點B B，C C分別在直分別在直線線n n和和m m上，邊上，邊BCBC與直線與直線n n所夾銳角為所夾銳角為2828，則，則的度數(shù)的度數(shù)為為( )( )A A2828 B B3030 C C3232 D D4545C C5 5如圖，等邊如圖，等邊ABCABC的邊長為的邊長為6 6，ABCABC，ACBACB的角平分線的角平分線交于點交于點D D，過點，過點D D作作EFBCEFBC，交，交ABAB，CDCD于點于點E E，F(xiàn) F，則，則EFEF的長的長為為 _4 4考點二考點二 勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 (5(5年年4 4考考) )例例3 3 (2013 (2013濟南濟南) )如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8 8 m m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2 2 m m，則旗桿的高度為，則旗桿的高度為( (滑輪滑輪上方的部分忽略不計上方的部分忽略不計) )為為( ( ) )A A1212m m B B1313m m C C1616m m D D1717m m【分析】【分析】 設(shè)旗桿高度為設(shè)旗桿高度為x x，利用勾股定理求出，利用勾股定理求出x x即可即可【自主解答自主解答】如圖，設(shè)旗桿高度為如圖，設(shè)旗桿高度為x x，則則ACACADADx x，ABABx x2 2，BCBC8.8.在在RtRtABCABC中，中，ABAB2 2BCBC2 2ACAC2 2，即即(x(x2)2)2 28 82 2x x2 2，解得，解得x x17.17.即旗桿的高度為即旗桿的高度為17 17 m m故選故選D.D.在應(yīng)用勾股定理時，注意以下兩個問題：在應(yīng)用勾股定理時，注意以下兩個問題：(1)(1)使用勾股定理使用勾股定理的前提必須是在直角三角形中；的前提必須是在直角三角形中；(2)(2)當直角三角形的斜邊不當直角三角形的斜邊不確定時，要注意分類討論確定時，要注意分類討論6 6如圖，在如圖，在ABDABD中，中，D D9090，CDCD6 6，ADAD8 8，ACDACD2B2B，則，則BDBD的長是的長是( )( )A A12 B12 B14 C14 C16 D16 D1818C C7 7如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中，中，ABADABAD于于A A，ABAB8 8 ，ADAD8 8 ，BCBC7 7，CDCD2525，則四邊形，則四邊形ABCDABCD的面積為的面積為_638496 2考點考點三三 直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì) (5(5年年1 1考考) )例例4 4 如圖，已知如圖，已知AOBAOB6060，點，點P P在邊在邊OAOA上，上，OPOP1010，點，點M M，N N在邊在邊OBOB上，上，PMPMPN.PN.若若MNMN2 2，則，則OMOM( ( ) )A A3 3 B B4 4C C5 5 D D6 6【分析】【分析】 過點過點P P作作PHMNPHMN于于H H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出出MHMH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OHOH，計算即可，計算即可【自主解答自主解答】 如圖，作如圖，作PHMNPHMN于于H H，PMPMPNPN，MHMHNHNH MNMN1.1.AOBAOB6060，OPHOPH3030，OHOH OPOP5 5，OMOMOHOHMHMH4.4.故選故選B.B.1212直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的性質(zhì)：(1)(1)兩銳角互余；兩銳角互余；(2)(2)勾股定理；勾股定理；(3)(3)斜邊的中線等于斜邊的一半；斜邊的中線等于斜邊的一半；(4)30(4)30角所對的角所對的直角邊等于斜邊的一半直角邊等于斜邊的一半8 8如圖，如圖，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，A A5555，將其折疊，將其折疊，使點使點A A落在邊落在邊CBCB上上AA處，折痕為處，折痕為CDCD，則，則ADBADB( )( )A A4040 B B3030C C2020 D D1010 C C 9 9如圖，正方形網(wǎng)格的邊長為如圖，正方形網(wǎng)格的邊長為1 1，點，點A A，B B，C C在網(wǎng)格的格點在網(wǎng)格的格點上，點上，點P P為為BCBC的中點，則的中點，則APAP_5 22考點考點四四 角平分線與線段的垂直平分線角平分線與線段的垂直平分線 (5(5年年1 1考考) )命題角度命題角度角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)與判定例例5 5 如圖，已知在如圖，已知在ABCABC中，中，CDCD是是ABAB邊上的高線，邊上的高線，BEBE平平分分ABCABC，交，交CDCD于點于點E E，BCBC5 5，DEDE2 2，則，則BCEBCE的面積等的面積等于（于（ ）A A10 B10 B7 C7 C5 D5 D4 4【分析分析】 作作EFBCEFBC于于F F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EFEF的長，的長，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可然后根據(jù)三角形面積公式求得即可【自主解答自主解答】 如圖，作如圖，作EFBCEFBC于于F F，BEBE平分平分ABCABC，EDABEDAB，EFBCEFBC，EFEFDEDE2 2，S SBCEBCE BCEFBCEF 5 52 25.5.故選故選C.C.12121010如圖，如圖，ABCABC中，中，C C9090，ACACBCBC，ADAD平分平分CABCAB交交BCBC于于D D，DEABDEAB于于E E，且，且ABAB6 6，則，則DEBDEB的周長是的周長是( )( ) A A6 B6 B4 4 C C10 D10 D以上都不對以上都不對A A1111如圖，如圖，ABCDABCD，BPBP和和CPCP分別平分分別平分ABCABC和和DCBDCB，ADAD過點過點P P，且與，且與ABAB垂直若垂直若ADAD8 8，則點，則點P P到到BCBC的距離是的距離是 _4 4命題角度命題角度線段垂直平分線的性質(zhì)與判定線段垂直平分線的性質(zhì)與判定例例6 6 如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD中，中，ACAC垂直平分垂直平分BDBD，垂足為，垂足為E E，下列結(jié)，下列結(jié)論不一定成立的是論不一定成立的是( ( ) )A AABABAD AD B BACAC平分平分BCDBCDC CABABBD BD D DBECBECDECDEC【分析】【分析】 根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得ABABADAD，BCBCCDCD，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得ACAC平分平分BCDBCD，EBEBDEDE，進而可證明，進而可證明BECBECDEC.DEC.【自主解答自主解答】 AC AC垂直平分垂直平分BDBD，ABABADAD，BCBCCDCD，ACAC平分平分BCDBCD，EBEBDEDE，BCEBCEDCE.DCE.在在RtRtBECBEC和和RtRtDECDEC中，中，RtRtBECBECRtRtDECDEC. .故選故選C.C.BEEDBCCD線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等，利用這個線段垂直平分線上的點到兩個端點的距離相等，利用這個性質(zhì)可以證明兩條線段相等，進而由等腰三角形的性質(zhì)解性質(zhì)可以證明兩條線段相等，進而由等腰三角形的性質(zhì)解決相關(guān)的問題決相關(guān)的問題1212如圖，在如圖，在ABCABC中，中，D D為為BCBC的中點，的中點，ADBCADBC，E E為為ADAD上一上一點，點，ABCABC6060，ECDECD4040，則，則ABEABE( )( )A A1010 B B1515 C C2020 D D2525C C1313(2017(2017歷城一模歷城一模) )如圖，在如圖，在ABCABC中，中，DEDE垂直平分垂直平分ACAC交交ABAB于點于點E.E.若若A A3030，ACBACB8080，則，則BCEBCE _度度50501414如圖，在如圖，在ABCABC中，中，ACBACB9090，分別以點，分別以點A A和點和點B B為圓為圓心，以相同的長心，以相同的長( (大于大于 AB)AB)為半徑作弧，兩弧相交于點為半徑作弧，兩弧相交于點M M和和點點N N，作直線，作直線MNMN交交ABAB于點于點D D，交，交BCBC于點于點E.E.若若ACAC3 3，ABAB5 5，則，則DEDE 15812