《初中數(shù)學(xué)專題：折疊問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《初中數(shù)學(xué)專題：折疊問題（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第 專題八 折疊問題 學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥： 出題位置：選擇、填空壓軸題或壓軸題倒數(shù)第二題 折疊問題中，常出現(xiàn)的知識時(shí)軸對稱。折疊對象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查問題有求折點(diǎn)位置、求折線長、折紙邊長周長、求重疊面積、求角度、判斷線段之間關(guān)系等；軸對稱性質(zhì)-----折線，是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應(yīng)點(diǎn)連線垂直對稱軸、對應(yīng)邊平行或交點(diǎn)在對稱軸上。 壓軸題是由一道道小題綜合而成，常常伴有折疊；解壓軸題時(shí)，要學(xué)會將大題分解成一道道小題；那么多作折疊的選擇題填空題，很有必要。 基本圖形： 在矩形ABCD中，將△ABF沿BE折疊至△FBE,可得何結(jié)論？ 結(jié)論：（1）全等；（2）垂直。 （1） 基本圖形練習(xí)： 如圖，將三角形紙片ABC沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB上，折痕為AD，展開紙片；再次折疊，使得A和D點(diǎn)重合，折痕為EF,展開紙片后得到△AEF,則△AEF是等腰三角形，對嗎？ （2） 折疊中角的考法與做法： 將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使得A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（圖1）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE邊上的點(diǎn)D’，折痕為EG（圖2）,再展開紙片，求圖（3）中角a的大小。 （3） 折疊中邊的考法與做法： 如圖，將邊長為6cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處， 折痕為FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則△EBG的周長是多少？ ★解題步驟： 第一步：將已知條件標(biāo)在圖上； 第二步：設(shè)未知數(shù)，將未知數(shù)標(biāo)在圖上； 第三步：列方程，多數(shù)情況可通過勾股定理解決。 模塊精講 例1.（2014?揚(yáng)州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處． （1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA． ①求證：△OCP∽△PDA； ②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長； （2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)； （3）如圖2，，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度． 例2.（2013?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長交邊BC于點(diǎn)G．若=，則=　　　　　　用含k的代數(shù)式表示）． 例3、（2013?蘇州）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)E的運(yùn)動速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s）． （1）當(dāng)t=　　　　　　s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形； （2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值； （3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由． 例4、如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O． （1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形； （2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)； （3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長． 例5、已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上．若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對稱，AC與BD相交于點(diǎn)G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22=∠DEF D．4cos∠AGB= 課堂練習(xí) 1、 2、（2014連云港）如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF．如圖2，展開后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N，則tan∠ANE=　_________?。? 圖3 圖4 3、（2014?徐州）如圖3，在等腰三角形紙片ABC中，AB=AC，∠A=50，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在點(diǎn)B處，折痕為DE，則∠CBE=　_________?。? 4、（2014?揚(yáng)州）如圖4，△ABC的中位線DE=5cm，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，若A、F兩點(diǎn)間的距離是8cm，則△ABC的面積為　_________　cm2． 5、（2013?揚(yáng)州）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90，AB=2，CD=1，BC=m，P為線段BC上的一動點(diǎn)，且和B、C不重合，連接PA，過P作PE⊥PA交CD所在直線于E．設(shè)BP=x，CE=y． （1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式； （2）若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求m的取值范圍； （3）如圖2，若m=4，將△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90，求BP長． 課后鞏固習(xí)題　 1、（2014?淮安）如圖，在三角形紙片ABC中，AD平分∠BAC，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，展開后折痕分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接DE、DF．求證：四邊形AEDF是菱形． 2、（2013?宿遷）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90，且AB=10，BC=6，CD=2．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動，過點(diǎn)E作EF∥AD交邊AB于點(diǎn)F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)E即停止運(yùn)動．設(shè)BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y． （1）證明△AMF是等腰三角形； （2）當(dāng)EG過點(diǎn)D時(shí)（如圖（3）），求x的值； （3）將y表示成x的函數(shù)，并求y的最大值． 3、 如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,把△BCD沿著對角線BD折疊,使點(diǎn)C落在C處,BC交AD于點(diǎn)G,E,F,分別是CD和BD上的點(diǎn),線段EF交AD于點(diǎn)H,把△FDE沿著EF折疊,使點(diǎn)D落在D處,點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合. （1）求證:三角形ABG≌△CDG （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的長。 3、 7 〖九年級 第8講 專題精講〗