第8章 幾何非線性有限元分析8.1 大變形條件下的應(yīng)變和應(yīng)力度量一應(yīng)變度量結(jié)構(gòu)的初始構(gòu)型：P：， Q：t時(shí)刻的構(gòu)型：P：， Q：兩種構(gòu)型下的坐標(biāo)可相互轉(zhuǎn)化：* 拉各朗日（Lagrange）描述 基于變形前的構(gòu)型表述變形后的構(gòu)型。以變形前的各點(diǎn)坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個(gè)量。* 歐拉（Eular）描述基于變形后的構(gòu)型表述變形前的構(gòu)型。以變形后的各點(diǎn)坐標(biāo)為基本未知數(shù)，描述各個(gè)量。根據(jù)以上變換：， 定義： ， PQ線段的長度： PQ變形后的長度：, Green-Lagrange 應(yīng)變（Green應(yīng)變）, Almansi 應(yīng)變定義位移向量： ， Green 應(yīng)變 Almansi 應(yīng)變?cè)谛?yīng)變情況下： 工程應(yīng)變 Cauchy應(yīng)變二應(yīng)力度量歐拉應(yīng)力張量（Green應(yīng)力張量）：表示變形后的構(gòu)型的三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力構(gòu)成的張量。是對(duì)稱張量變形后表面上的應(yīng)力：， 變形前的應(yīng)力：需要確定變形前、后的相應(yīng)面上的力之間的關(guān)系。兩種確定方法：（1） Lagrange規(guī)定： （2） Kirchhoff規(guī)定：與坐標(biāo)變換規(guī)律相同：， ：第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力（Lagrange應(yīng)力張量），非對(duì)稱， ：第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力。Kirchhoff應(yīng)力張量，對(duì)稱各種應(yīng)力張量之間的關(guān)系： （1）由質(zhì)量守恒： （2）， （3）， （4） 注意：是非對(duì)稱張量，是對(duì)稱張量。8.2 幾何非線性問題的表達(dá)格式虛位移原理（虛功原理）：虛功原理的初始參考構(gòu)型表示形式：為了便于求解：將應(yīng)力和應(yīng)變分解成： 從t到時(shí)刻引起的應(yīng)力增量 從t到時(shí)刻引起的應(yīng)變?cè)隽繉?yīng)變?cè)隽窟M(jìn)一步分解： 平衡方程的線性化（1） 物理方程的線性化：對(duì)于彈性材料，該關(guān)系式準(zhǔn)確的。如果是小變形，則有 材料的彈性常數(shù)張量。（2） 求解格式的進(jìn)一步線性化： 帶入虛功方程， 可獲得用位移和應(yīng)變表示的虛功方程：8.3 有限元求解方程及解法一有限元方程：靜力問題：按照一般的有限元法的基本思想，將結(jié)構(gòu)離散成有限單元，每個(gè)單元中，選擇相應(yīng)的形函數(shù)，將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、位移等相應(yīng)的量，通過形狀函數(shù)與單元的節(jié)點(diǎn)上的坐標(biāo)值、位移相聯(lián)系。坐標(biāo)：， 位移：，代入虛功原理：，經(jīng)過集成后，可獲得有限元控制方程：該方程是一個(gè)非線性方程組。其非線性體現(xiàn)在剛度系數(shù)矩陣上。在時(shí)間步中，剛度矩陣是切線模量。這與物理非線性問題是相同的。另一方面，右端項(xiàng)與待求的位移增量u相關(guān)。這也造成了非線性。求解方法：可采用求解物理非線性問題的方法求解。 三有限元方程的解法基本思想：在每個(gè)時(shí)間步中，采用非線性方程的求解方法，進(jìn)行迭代求解。這些方法包括：直接迭代法；NR方法等。因此，幾何非線性問題的求解包括兩層迭代（循環(huán)）；外層循環(huán)（迭代）：對(duì)時(shí)間步迭代（荷載增量步）內(nèi)層循環(huán)：求解各時(shí)間步導(dǎo)出的非線性方程，通過迭代求解該時(shí)間步后的相應(yīng)。四平衡路徑的追蹤方法：弧長法 8.4 穩(wěn)定性問題初始穩(wěn)定性問題（初始屈曲等）穩(wěn)定性控制方程（屈曲方程）非線性方程：穩(wěn)定性問題：在一定的荷載條件下，結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)。在荷載不增加的條件下，是否存在另一狀態(tài)？從數(shù)學(xué)上說，如果位移u對(duì)應(yīng)平衡狀態(tài)，在荷載不變的條件下，位移有一個(gè)小的擾動(dòng)，是否也能夠處于平衡狀態(tài)？也就是：，是否有非零解？注意：非線性剛度矩陣是由初始內(nèi)力形成的剛度矩陣。初始內(nèi)力的大小與外荷載相關(guān)。如果討論的是初始屈曲問題，則初始內(nèi)力與外荷載成正比。例如，梁的屈曲問題，則內(nèi)力與軸向荷載p成正比。此時(shí)，。失穩(wěn)條件：求解上述方程，可求出失穩(wěn)荷載。