第三單元第三單元 函數(shù)及其圖象函數(shù)及其圖象第14課時(shí) 二次函數(shù)及其圖象知識(shí)體系圖知識(shí)體系圖二次函數(shù)及其圖象二次函數(shù)所描述的關(guān)系二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)的概念平移用三種方法表示圖象法列表法解析法開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性最值利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程跟的近似值與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系3.4.1 二次函數(shù)的概念二次函數(shù)的概念定義：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0），那么y叫做x的二次函數(shù).3.4.2 二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）的圖象是拋物線.1.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線x= .當(dāng)x= 時(shí)， y有最小值為 .在對(duì)稱軸左邊（即x ）時(shí)，y隨x增大而減小.在對(duì)稱軸右側(cè)（即x ）時(shí)，y隨x增大而增大.頂點(diǎn) 是拋物線上位置最低的點(diǎn).2ba2ba244acba2ba2ba24,24bacbaa 2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x= .當(dāng)x= 時(shí)， y有最大值為 .在對(duì)稱軸左邊（即x ）時(shí)，y隨x增大而增大.在對(duì)稱軸右側(cè)（即x ）時(shí)，y隨x增大而減小.頂點(diǎn) 是拋物線上位置最高的點(diǎn).2ba2ba244acba2ba2ba24,24bacbaa24,24bacbaa二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，是常數(shù)，a0）圖象 （a0） （a0）開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下對(duì)稱軸 直線x= 直線x=坐標(biāo)頂點(diǎn)增減性當(dāng)x 時(shí)，y隨x增大而減??；當(dāng)x 時(shí)，y隨x增大而增大.當(dāng)x 時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，y隨x增大而減小.最值當(dāng)x= 時(shí)，y有最小值當(dāng)x= 時(shí)，y有最大值2ba2ba24,24bacbaa2ba244acba2ba244acba2ba2ba2ba2ba3.4.3 二次函數(shù)解析式的三種形式二次函數(shù)解析式的三種形式1.一般式：y=ax2+bx+c（a0）.2.頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a0）.3.交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)（a0）.4.三種解析式的關(guān)系：頂點(diǎn)式 一般式 交點(diǎn)式.因式分解配方3.4.4 二次函數(shù)系數(shù)二次函數(shù)系數(shù)a,b,c與圖象的關(guān)系與圖象的關(guān)系1.a的作用：決定開(kāi)口的方向和大?。?）a0，開(kāi)口向上，a0開(kāi)口向下.（2）|a|越大，拋物線開(kāi)口越小，|a|越小，拋物線開(kāi)口越大.2.b的作用：決定頂點(diǎn)的位置.（1）a，b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè).（2）a，b異號(hào)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).（3）b0，對(duì)稱軸為y軸.3.c的作用：決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置.（1）c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸正半軸上.（2）c0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上.（3）c=0時(shí)，拋物線過(guò)原點(diǎn).3.4.5 二次函數(shù)圖象的平移二次函數(shù)圖象的平移y=ax2y=a(x-h)2y=ax2+ky=a(x-h)2+k上加下減向上（k0）、下（k0）平移|k|個(gè)單位上加下減向上（k0）、下（k0）平移|k|個(gè)單位左加右減左加右減平移|h|個(gè)單位向右(h 0)、左（h 0）平移|h|個(gè)單位向右(h 0)、左（h 0）3.4.6 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）中，取y=0時(shí)，x的取值就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解，即y=ax2+bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.1.當(dāng)b2-4ac0，拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.2.當(dāng)b2-4ac=0，拋物線y=ax2+bx+c與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.3.當(dāng)b2-4ac0，拋物線y=ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，即方程ax2+bx+c=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根.解析式的求法解析式的求法確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，由于二次函數(shù)解析式有三個(gè)解析式a，b，c（或a，h，k或a，x1，x2），因而確定二次函數(shù)解析式需要已知三個(gè)獨(dú)立條件：1.已知拋物線上三個(gè)任意點(diǎn)時(shí)，選用一般式比較方便.2.已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，選用頂點(diǎn)式比較方便.3.已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)x1，x2）時(shí)，選用交點(diǎn)式比較方便.拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù) 在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為 （B）此題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可以看出a0，b0，c0.所以一次函數(shù)y=ax+b圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限，反比例函數(shù) 經(jīng)過(guò)二、四象限.故選擇B.cyxcyx如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1,0），與y軸的交點(diǎn)B在（0,-2）和（0,-1）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x=1，下列結(jié)論： （D）abc0 4a+2b+c04ac-b28a bcA. B. C. D.1233 a此題考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系.中，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，a0，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，故ab異號(hào)，拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，c0.abc0，故正確.中，二次函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1,0）函數(shù)圖象對(duì)稱軸為x=1，該二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3,0），由題可知當(dāng)-1x3時(shí)，y0，故當(dāng)x=2時(shí)，y=4a+2b+c0，故錯(cuò)誤.中，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，b2-4ac0，故4ac-b20，又因?yàn)閍0，8a0，4ac-b28a，故正確.中，函數(shù)圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0），當(dāng)x=-1時(shí)，a-b+c=0，c=b-a.又因?yàn)閷?duì)稱軸為x=1，則即b=-2a，c=-3a.又函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)在（0，-2）（0，-1）之間，-2c-1，即-2-3a-1， .故正確.a0，b-c0（a=b-c），即bc.故正確.12ba1233 a將拋物線y=x2-4x-4向左平移三個(gè)單位，再向上平移五個(gè)單位，得到拋物線的表達(dá)式為 （D）A.y=(x+1)2-13 B.y=(x-5)2-3 C.y=(x-5)2-13 D.y=(x+1)2-3此題考查了二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)圖象平移，先將解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式比較方便，題中二次函數(shù)變?yōu)轫旤c(diǎn)式為：y=(x-2)2-8.根據(jù)平移的規(guī)律左加右減，上加下減可以得到平移后的二次函數(shù)的解析式為D選項(xiàng)，故選擇D選項(xiàng). 設(shè)拋物線的解析式為y=ax2過(guò)點(diǎn)B1 (1, 0)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A1 (1, 2 )；過(guò)點(diǎn)B2( )作x 軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A2 ，過(guò)點(diǎn)Bn（ ）（n為正整數(shù)）作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)An，連接An Bn+1 , 得直角三角形AnBnBn+1.（1）求a的值；（2）直接寫(xiě)出線段AnBn，BnBn+1 的長(zhǎng)（用含n的式子表示）；（3）在系列RtAnBnBn+1中，探究下列問(wèn)題：當(dāng)n為何值時(shí)，RtAnBnBn+1是等腰直角三角形？設(shè)1kmn (k , m均為正整數(shù)) ，問(wèn)是否存在RtAkBkBk+1 與RtAmBmBm+1 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，說(shuō)明理由.1, 0211, 02n 解：（1）把A（1,2）代入y=ax2得：2=a1，a=2. （2）AnBn= BnBn+1= （3）若RtAnBnBn+1是等腰直角三角形，則AnBn= BnBn+1. ，n=3. 若RtAkBkBk+1 與RtAmBmBm+1 相似，則2233 21122.22n-1=nn11111111222222nnnnn3 222nn1111或kkkkkkkkmmmmmmmmA BB BA BB BA BB BB BA B 且m，k都是正整數(shù)， 或 將其代入得相似比為8：1或64：1.此題考查了二次函數(shù)解析式的求法，以及二次函數(shù)與尋找規(guī)律以及三角形結(jié)合起來(lái)考查.3 23 23 23 22222,22226或或 ，kkkkmmmmmkkmmk42mk51mk如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,4）與B（6,0）.（1）求a，b的值；（2）點(diǎn)C是該二次圖像上A,B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)為x（2x6）,寫(xiě)出四邊形OACB的面積關(guān)于點(diǎn)C橫坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值.解：（1）將A（2,4）與B（6,0）代入y=ax2+bx， 得 ，解得 ； （2）如圖，過(guò)A作x軸的垂線，垂足為D（2,0）,連接CD，過(guò)C作CEAD，CFx軸，垂足分別為E、F.則： 4243660abab123ab 22222112 44.22114224.22111436 .2224246826 .48 4 16.OADACDBCDOADACDBCDmaxSSSS=SSS S=-=OD ADAD CExxBD CFxxxxxxxxxx 【解析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，并且結(jié)合多邊形的面積考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題.熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)合理分割不規(guī)則多邊形是解決本題的關(guān)鍵.