小學數(shù)學總復習專題講解及訓練（八）1 教案優(yōu)質公開課獲獎教案教學設計(人教新課標六年級下冊) 主要內容 正比例和反比例 學習目標 1、使學生結合實際情境認識成正比例和反比例的量，能根據(jù)正、反比例的意義判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例或反比例。 2、使學生初步認識正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應的直線，能根據(jù)具有正比例關系的一個量的數(shù)值看圖估計另一個量的數(shù)值。 3、使學生在認識成正比例、反比例的量的過程中，初步體會數(shù)量之間相依互變的關系，感受有效表示數(shù)量關系及其變化規(guī)律的不同數(shù)學模型，進一步提升思維水平。 4、使學生進一步體會數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系，增強探索數(shù)學知識和規(guī)律的意識，養(yǎng)成積極主動地參與學習活動的習慣，提高學好數(shù)學的信心。 考點分析 1、兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們之間的關系叫做正比例關系。 如果用字母和分別表示兩種相關聯(lián)的量，用表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：=K（一定）。 2、用“描點法”可以得到正比例的圖像，正比例的圖像是一條直線。對照圖像，能根據(jù)一種量的值，估計另一種量相對應的值。 3、兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。 如果用字母和分別表示兩種相關聯(lián)的量，用表示它們的積，反比例關系可以用這樣的式子來表示：=K（一定）。 4、兩個變量的比值一定，這兩個變量成正比例；兩個變量的積一定，這兩個變量成反比例；沒有上述兩種關系，這兩個變量不成比例。 典型例題 例1、（正比例的意義）一列火車行駛的時間和路程如下表。這兩種量有什么關系？ 時間/時 123456 路程/千米 120240360480600720 分析與解：（1）從上表可以看出，表中有時間和路程兩種量。 （2）從左往右看，時間擴大，路程也擴大；從右往左看，時間縮小，路程也縮小。所以它們是兩種相關聯(lián)的量。 （3）路程和時間的比值始終不變，=120，=120，=120這個比值就是火車的行駛速度。 通過觀察和計算，我們對路程和時間的關系有兩點發(fā)現(xiàn)：第一點路程和時間是兩種相關聯(lián)的量，也就是時間變化，路程也隨著變化；第二點路程和對應的時間的比的比值（也就是速度）是一定的，有這樣的關系：=速度（一定）。 具備了這兩個條件，我們就可以得到結論：行駛的路程和時間成正比例關系；行駛的路程和時間成正比例的量。 點評：判斷兩種量是不是成正比例，分三步：一看它們是不是相關聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母和分別表示兩種相關聯(lián)的量，用表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：=K（一定）。 例2、（判斷是否成正比例） 練習本的單價一定，買練習本的數(shù)量和總價是不是成正比例？為什么？ 分析與解：根據(jù)正比例的意義，看兩個變量的比值是否一定，如果兩個變量的比值一定，那么這兩個變量就成正比例，反之，則不成正比例。 買練習本的數(shù)量和總價是兩種相關聯(lián)的量，它們與練習本的單價有下面的關系： =練習本的單價（一定） 所以練習本的數(shù)量和總價成正比例。 例3、（正比例的圖像）磁懸浮列車勻速行駛時，路程與時間的關系如下。 時間/分 1234567 路程/千米 7142128354249 （1）圖中的點A表示時間為1分鐘時，磁懸浮列車駛過的路程為7千米。請你試著描出其他各點。 （2）連接各點，它們在一條直線上嗎？ （3）根據(jù)圖像判斷，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是多少千米？行駛30千米大約需要幾分鐘？路程/千米 42 35 28 21 14 7A 0 1234567時間/分 分析與解：根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個點，再依次連成直線。路程和時間相對應的數(shù)的比值都是7，即速度一定，路程和時間成正比例，圖像是一條直線。對照圖像，可以根據(jù)時間的值估計出路程的值，也可以根據(jù)路程的值估計出時間的值，估計時允許有一定的出入。 （1）描點、連線如圖。 路程/千米 42 35 28 21 14 7A 0 1234567時間/分 （2）在一條直線上，因為路程和時間成正比例，正比例的圖像是一條直線。 （3）根據(jù)圖像，列車運行2分半鐘時，行駛的路程是17.5千米；行駛30千米大約需要4.3分鐘。 例4、（辨析）圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑成正比例？ 分析與解：圓的周長和直徑成正比例，而圓的面積和半徑卻不成正比例。 可列表判斷。 半徑/cm 123456 直徑/cm 24681012 周長/cm 6.2812.5618.8425.1231.437.68 面積/cm² 3.1412.5628.2650.2478.5113.04 圓的周長和直徑的相對應的數(shù)的比值都是3.14，所以圓的周長和直徑成正比例。而圓的面積和半徑的相對應的數(shù)的比值是變化的，所以圓的面積和半徑不成正比例。 圓的周長和直徑成正比例，圓的面積和半徑卻不成正比例。 例5、（反比例的意義） 下表是王師傅加工一批零件時，每小時加工零件個數(shù)隨時間變化的情況。這兩種量有什么關系？ 每小時加工零件的個數(shù)/個2030406080 加工的時間/時 128643 分析與解：（1）從上表可以看出，表中有每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間兩種量。（2）從左往右看，每小時加工零件的個數(shù)擴大，加工的時間反而縮??；從右往左看，每小時加工零件的個數(shù)縮小，加工的時間反而擴大。所以它們是兩種相關聯(lián)的量。（3）每小時加工零件的個數(shù)和相對應的加工的時間的積都始終不變，如20×12=240，30×8=240，40×6=240而這個積就是這批零件的總個數(shù)。 通過觀察和計算，我們發(fā)現(xiàn)：每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間是兩種相關聯(lián)的量，每小時加工零件的個數(shù)隨著加工的時間變化而變化，但無論它們怎么變化，相對應的積是一定的，有這樣的關系：每小時加工零件的個數(shù)×加工的時間=零件的總個數(shù)（一定）。 所以每小時加工零件的個數(shù)和加工的時間成反比例的量，它們之間的關系叫做反比例關系。 點評：判斷兩種量是不是成反比例，和正比例一樣，分三步：一看它們是不是相關聯(lián)的兩種量；二是看一種量變化，另一種量是不是也隨著變化；滿足了前面兩個條件，再看它們的乘積是否一定，進行判斷。不要省去任何一步。如果用字母和分別表示兩種相關聯(lián)的量，用表示它們的比值，正比例關系可以用這樣的式子來表示：=K（一定）。 例6、（判斷是否成反比例） 總產(chǎn)量一定，每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是不是成反比例？為什么？ 分析與解：根據(jù)反比例的意義，看兩個變量的乘積是否一定，如果兩個變量的積一定，那么這兩個變量就成反比例，反之，則不成反比例。 每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)是兩種相關聯(lián)的量，它們與總產(chǎn)量有下面的關系： 每公頃的產(chǎn)量×公頃數(shù)=總產(chǎn)量（一定） 所以每公頃的產(chǎn)量和公頃數(shù)成反比例。 例7、（辨析）和一定，一個加數(shù)和另一個加數(shù)成反比例。 分析與解：判斷兩個變量是否成反比例，關鍵是看兩個變量的乘積是否一定。很明顯，和一定，兩個加數(shù)的積是變化的，所以它們不成反比例。 和一定，一個加數(shù)和另一個加數(shù)不成反比例。因為它們的積不一定。 點評：有些相關聯(lián)的量，雖然也是一種量變化，另一種量也隨著變化，但它們不是積一定，也不是比值一定，它們就不成比例。像這樣的還有：人的跳高高度和身高；減數(shù)一定，被減數(shù)和差等。 例8、（綜合題1） （1）長方形的面積一定，長和寬成反比例嗎？為什么？ （2）長方形的周長一定，長和寬成反比例嗎？為什么？ 分析與解：判斷時可以用列表的方式列舉數(shù)據(jù)，也可以根據(jù)計算的公式來推導。 （1）因為長方形的長×寬=長方形的面積（一定），所以長和寬成反比例。 （2）長方形的周長=（長+寬）×2，長方形的周長一定，長+寬的和一定，但不是積一定，所以長和寬不成反比例。 例9、（綜合題2） 分別說明大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，每兩種量的比例關系。 （1）大米的總千克數(shù)一定，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)； （2）每天吃的千克數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和天數(shù)； （3）天數(shù)一定，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)。 分析與解：在大米的總千克數(shù)、每天吃的千克數(shù)和天數(shù)這三種量中，當某一種量一定時，另外兩種量可能成正比例關系，也可能成反比例關系?？梢愿鶕?jù)數(shù)量關系式來判斷。 （1）因為每天吃的千克數(shù)×天數(shù)=大米的總千克數(shù)（一定），所以大米的總千克數(shù)一定時，每天吃的千克數(shù)和天數(shù)成反比例。 （2）因為=每天吃的千克數(shù)（一定），所以每天吃的千克數(shù)一定時，大米的總千克數(shù)和天數(shù)成正比例。 （3）因為=天數(shù)（一定），所以天數(shù)一定時，大米的總千克數(shù)和每天吃的千克數(shù)成正比例。