第29周抽屜原理 一 如果給你5盒餅干 讓你把它們放到4個抽屜里 那么可以肯定有一個抽屜里至少有2盒餅干 如果把4封信投到3個郵箱中 那么可以肯定有一個郵箱中至少有2封信 如果把3本聯(lián)練習冊分給兩位同學 那么可以肯定其中有一位同學至少分到2本練習冊 這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學中的 抽屜原理 基本的抽屜原理有兩條 1 如果把x k k 1 個元素放到x個抽屜里 那么至少有一個抽屜里含有2個或2個以上的元素 2 如果把m x k x k 1 個元素放到x個抽屜里 那么至少有一個抽屜里含有m 1個或更多個元素 利用抽屜原理解題時要注意區(qū)分哪些是 抽屜 哪些是 元素 然后按以下步驟解答 a 構(gòu)造抽屜 指出元素 b 把元素放入 或取出 抽屜 C 說明理由 得出結(jié)論 本周我們先來學習第 1 條原理及其應(yīng)用 一 知識要點 例題1 某校六年級有學生367人 請問有沒有兩個學生的生日是同一天 為什么 思路導航 把一年中的天數(shù)看成是抽屜 把學生人數(shù)看成是元素 把367個元素放到366個抽屜中 至少有一個抽屜中有2個元素 即至少有兩個學生的生日是同一天 平年一年有365天 閏年一年有366天 把天數(shù)看做抽屜 共366個抽屜 把367個人分別放入366個抽屜中 至少在一個抽屜里有兩個人 因此 肯定有兩個學生的生日是同一天 二 精講精練 練習1 1 某校有370名1992年出生的學生 其中至少有2個學生的生日是同一天 為什么 2 某校有30名學生是2月份出生的 能否至少有兩個學生生日是在同一天 3 15個小朋友中 至少有幾個小朋友在同一個月出生 第29周抽屜原理瘋狂操練二 例題2 某班學生去買語文書 數(shù)學書 外語書 買書的情況是 有買一本的 二本的 也有三本的 問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書 每種書最多買一本 思路導航 首先考慮買書的幾種可能性 買一本 二半 三本共有7種類型 把7種類型看成7個抽屜 去的人數(shù)看成元素 要保證至少有一個抽屜里有2人 那么去的人數(shù)應(yīng)大于抽屜數(shù) 所以至少要去7 1 8 個 學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書 買書的類型有 買一本的 有語文 數(shù)學 外語3種 買二本的 有語文和數(shù)學 語文和外語 數(shù)學和外語3種 買三本的 有語文 數(shù)學和外語1種 3 3 1 7 種 把7種類型看做7個抽屜 要保證一定有兩位同學買到相同的書 至少要去8位學生 練習2 1 某班學生去買語文書 數(shù)學書 外語書 美術(shù)書 自然書 買書的情況是 有買一本的 二本的 三本或四本的 問至少要去幾位學生才能保證一定有兩位同學買到相同的書 每種書最多買一本 2 學校圖書室有歷史 文藝 科普三種圖書 每個學生從中任意借兩本 那么至少要幾個同學才能保證一定有兩人所借的圖書屬于同一種 3 一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的玻璃珠子 顏色有綠 紅 黃三種 問最少要取出多少個珠子才能保證有兩個同色的 第29周抽屜原理瘋狂操練三 例題3 一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套 顏色有黑 紅 藍 黃四種 問最少要摸出多少只手套才能保證有3副同色的 思路導航 把四種不同的顏色看成是4個抽屜 把手套看成是元素 要保證有1副同色的 就是1個抽屜里至少有2只手套 根據(jù)抽屜原理 最少要摸出5只手套 這時拿出1副同色的后 4個抽屜中還剩下3只手套 再根據(jù)抽屜原理 只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的 以此類推 把四種顏色看成是4個抽屜 要保證有3副同色的 先考慮保證有一副就要摸出5只手套 這時拿出1副同色的后 4個抽屜中還剩下3只手套 根據(jù)抽屜原理 只要再摸出2只手套又能保證有一副手套是同色的 以此類推 要保證有3副同色的 共摸出的手套有5 2 2 9 只 練習3 1 一只袋中裝有許多規(guī)格相同但顏色不同的手套 顏色有黑 紅 藍 黃四種 問最少要摸出多少只手套才能保證有4副同色的 2 布袋中有同樣規(guī)格但顏色不同的襪子若干只 顏色有白 黑 藍三種 問 最少要摸出多少只襪子 才能保證有3雙同色的 3 一個布袋里有紅 黃 藍色襪子各8只 每次從布袋中拿出一只襪子 最少要拿出多少只才能保證其中至少有2雙不同襪子 第29周抽屜原理瘋狂操練四 例題4 任意5個不相同的自然數(shù) 其中至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù) 這是為什么 思路導航 一個自然數(shù)除以4的余數(shù)只能是0 1 2 3 如果有2個自然數(shù)除以4的余數(shù)相同 那么這兩個自然數(shù)的差就是4的倍數(shù) 一個自然數(shù)除以4的余數(shù)可能是0 1 2 3 所以 把這4種情況看做時個抽屜 把任意5個不相同的自然數(shù)看做5個元素 再根據(jù)抽屜原理 必有一個抽屜中至少有2個數(shù) 而這兩個數(shù)的余數(shù)是相同的 它們的差一定是4的倍數(shù) 所以 任意5個不相同的自然數(shù) 其中至少有兩個數(shù)的差是4的倍數(shù) 練習4 1 任意6個不相同的自然數(shù) 其中至少有兩個數(shù)的差是5的倍數(shù) 這是為什么 2 任意取幾個不相同的自然數(shù) 才能保證至少有兩個數(shù)的差是8的倍數(shù) 3 證明在任意的 n 1 個不相同的自然數(shù)中 必有兩個數(shù)之差為n的倍數(shù) 第29周抽屜原理瘋狂操練五 例題5 能否在圖29 1的5行5列方格表的每個空格中 分別填上1 2 3這三個數(shù)中的任一個 使得每行 每列及對角線AD BC上的各個數(shù)的和互不相同 思路導航 由圖29 1可知 所有空格中只能填寫1或2或3 因此每行 每列 每條對角線上的5個數(shù)的和最小是1 5 5 最大是3 5 15 從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值 把這11個值看承11個抽屜 把每行 每列及每條對角線上的各個數(shù)的和看承元素 只要考慮元素和抽屜的個數(shù)就可得出結(jié)論是不可能的 因為每行 每列 每條對角線上的5個數(shù)的和最小是5 最大是15 從5到15共有11個互不相同的整數(shù)值 而5行 5列及兩條對角線上的各個數(shù)的和共有12個 所以 這12條線上的各個數(shù)的和至少有兩個是相同的 練習5 1 能否在6行6列方格表的每個空格中 分別填上1 2 3這三個數(shù)中的任一個 使得每行 每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同 為什么 2 證明在8 8的方格表的每個空格中 分別填上3 4 5這三個數(shù)中的任一個 在每行 每列及對角線上的各個數(shù)的和中至少有兩個和是相同的 3 在3 9的方格圖中 如圖29 2所示 將每一個小方格涂上紅色或者藍色 不論如何涂色 其中至少有兩列的涂色方式相同 這是為什么