第39周牛吃草問題 牛吃草問題是牛頓問題 因牛頓提出而得名的 一堆草可供10頭牛吃3天 供6頭牛吃幾天 這題很簡(jiǎn)單 用3 10 6 5 天 如果把 一堆草 換成 一片正在生長的草地 問題就不那么簡(jiǎn)單了 因?yàn)椴菝刻熳咴谏L 草的數(shù)量在不斷變化 這類工作總量不固定 均勻變化 的問題就是 牛吃草 問題 解答這類題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量 牧場(chǎng)上原有的草是不變的 新長出的草雖然在變化 因?yàn)槭莿蛩偕L 所以每天新長出的草是不變的 正確計(jì)算草地上原有的草及每天長出的草 問題就容易解決了 一 知識(shí)要點(diǎn) 例題1 一片青草地 每天都勻速長出青草 這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周 那么這片草地可供21頭牛吃幾周 思路導(dǎo)航 這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化 解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量 即原來的草的數(shù)量 因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠?原有的草與新長出的草 新長出的草雖然在變 但應(yīng)注意到是勻速生長 因而這片草地每天新長出的草的數(shù)量也是不變的 假設(shè)1頭牛一周吃的草的數(shù)量為1份 那么27頭牛6周需要吃27 6 162 份 此時(shí)新草與原有的草均被吃完 23頭牛9周需吃23 9 207 份 此時(shí)新草與原有的草也均被吃完 而162份是原有的草的數(shù)量與6周新長出的草的數(shù)量的總和 207份是原有的草的數(shù)量與9周新長出的草的數(shù)量的總和 因此每周新長出的草的份數(shù)為 207 162 9 6 15 份 所以 原有草的數(shù)量為 162 15 6 72 份 這片草地每周新長草15份相當(dāng)于可安排15頭牛專吃新長出來的草 于是這片草地可供21頭牛吃72 21 15 12 周 二 精講精練 練習(xí)1 1 一片草地 每天都勻速長出青草 如果可供24頭牛吃6天 20頭牛吃10天 那么可供19頭牛吃幾天 2 牧場(chǎng)上一片草地 每天牧草都勻速生長 這片牧草可供10頭牛吃20天 或者可供15頭牛吃10天 問可供25頭牛吃幾天 3 牧場(chǎng)上的青草每天都在勻速生長 這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周 那么這片草地可供21頭牛吃幾周 第39周牛吃草問題瘋狂操練二 例題2 由于天氣逐漸冷起來 牧場(chǎng)上的草不僅不長大 反而以固定速度在減少 已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天 照此計(jì)算 可供多少頭牛吃10天 思路導(dǎo)航 與例1不同的是 不僅沒有新長出的草 而且原有的草還在減少 但是 我們同樣可以利用與例1類似的方法求出每天減少的草和原來的草的總量 設(shè)1頭牛1天吃的草為1份 20頭牛5天吃100份 15頭牛6天吃90份 100 90 10 份 說明寒冷的天氣使牧場(chǎng)1天減少青草10份 也就是寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛在吃草 由 草地上的草可供20頭牛吃5天 再加上寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量相當(dāng)于10頭牛同時(shí)在吃草 所以原有草兩有 20 10 5 150 份 由150 10 15知道 牧場(chǎng)原有的草可供15頭牛吃10天 由寒冷導(dǎo)致的原因占去10頭牛吃的草 所以可供5頭牛吃10天 練習(xí)2 1 由于天氣逐漸冷起來 牧場(chǎng)上的草每天以均勻的速度在減少 經(jīng)計(jì)算 牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天或可供16頭牛吃6天 那么 可供11頭牛吃幾天 2 由于天氣逐漸冷起來 牧場(chǎng)上的草以固定速度在減少 已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天或可供24頭牛吃6天 照此計(jì)算 這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃10天 3 經(jīng)測(cè)算 地球上的資源可供100億人生活100年 或可供80億人生活300年 假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一樣的 那么 為滿足人類不斷發(fā)展的需要 地球最多能養(yǎng)活多少億人 第39周牛吃草問題瘋狂操練三 例題3 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著 兩位性急的孩子要從扶梯上樓 已知男孩每分鐘走20級(jí)臺(tái)階 女孩每分鐘走15級(jí)臺(tái)階 結(jié)果男孩用5分鐘到達(dá)樓上 女孩用了6分鐘到達(dá)樓上 問 該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階 思路導(dǎo)航 與前兩個(gè)題比較 總的草量 變成了 扶梯的臺(tái)階總數(shù) 草 變成了 臺(tái)階 牛 變成了 速度 也可以看成是牛吃草問題 上樓的速度可以分為兩部分 一部分是男 女孩自己的速度 另一部分是自動(dòng)扶梯的速度 男孩5分鐘走了20 5 100 級(jí) 女孩6分鐘走了15 6 90 級(jí) 女孩比男孩少走了100 90 10 級(jí) 多用了6 5 1 分鐘 說明電梯1分鐘走10級(jí) 因男孩5分鐘到達(dá)樓上 他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和 所以 扶梯共有 20 10 5 150 級(jí) 練習(xí)3 1 自動(dòng)扶梯以均勻速度行駛著 渺小明和小紅從扶梯上樓 已知小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階 小紅每分鐘走20級(jí)臺(tái)階 結(jié)果小明用5分鐘 小紅用了6分鐘分別到達(dá)樓上 該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階 2 兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走 在20秒鐘里 男孩可走27級(jí)臺(tái)階 女孩可走24級(jí)臺(tái)階 男孩走了2分鐘到達(dá)另一端 女孩走了3分鐘到達(dá)另一端 該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階 3 兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射 從井頂逃向井底 白天往下爬 兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的 一只每天白天爬20分米 另一只爬15分米 黑夜里往下滑 兩只蝸牛滑行的速度卻是相同的 結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底 另一只蝸牛恰好用了6個(gè)晝夜到達(dá)井底 那么 井深多少米 第39周牛吃草問題瘋狂操練四 例題4 一只船有一個(gè)漏洞 水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi) 發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水 如果用12人舀水 3小時(shí)舀完 如果只有5個(gè)人舀水 要10小時(shí)才能舀完 現(xiàn)在要想2小時(shí)舀完 需要多少人 思路導(dǎo)航 已漏進(jìn)的水 加上3小時(shí)漏進(jìn)的水 每小時(shí)需要 12 3 人舀完 也就是36人用1小時(shí)才能舀完 已漏進(jìn)的水 加上10小時(shí)漏進(jìn)的水 每小時(shí)需要 5 10 人舀完 也就是50人用1小時(shí)才能舀完 通過比較 我們可以得出1小時(shí)內(nèi)漏進(jìn)的水及船中已漏進(jìn)的水 1小時(shí)漏進(jìn)的水 2個(gè)人用1小時(shí)能舀完 5 10 12 3 10 3 2已漏進(jìn)的水 12 2 3 30已漏進(jìn)的水加上2小時(shí)漏進(jìn)的水 需34人1小時(shí)完成 30 2 2 34用2小時(shí)來舀完這些水需要17人 34 2 17 人 練習(xí)4 1 有一水池 池底有泉水不斷涌出 用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干 用15部相同的抽水機(jī)10小時(shí)可以把水抽干 那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干 2 有一個(gè)長方形的水箱 上面有一個(gè)注水孔 底面有一個(gè)出水孔 兩孔同時(shí)打開后 如果每小時(shí)注水30立方分米 7小時(shí)可以注滿水箱 如果每小時(shí)注水45立方分米 注滿水箱可少用2 5小時(shí) 那么每小時(shí)由底面小孔排出多少立方分米的水 設(shè)每小時(shí)排水量相同 3 有一水井 連續(xù)不段涌出泉水 每分鐘涌出的水量相等 如果用3臺(tái)抽水機(jī)來抽水 36分鐘可以抽完 如果使用5臺(tái)抽水機(jī) 20分鐘抽完 現(xiàn)在12分鐘內(nèi)要抽完井水 需要抽水機(jī)多少臺(tái) 第39周牛吃草問題瘋狂操練五 例題5 有三塊草地 面積分別為5 6 和8公頃 草地上的草一樣厚 而且長得一樣快 第一塊草薦地可供11頭牛吃10天 第二塊草地可供12頭牛吃14天 問第三塊草地可供19頭牛吃多少天 思路導(dǎo)航 前幾天我們接觸的是在同一塊草地上 同一個(gè)水池中 現(xiàn)在是三塊面積不同的草地 為了解決這個(gè)問題 只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來 即 5 6 8 120這樣 第一塊5公頃可供11頭牛吃10天 120 5 24 變?yōu)?20公頃草地可供11 24 264 頭 牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天 120 6 20 變?yōu)?20公頃草地可供12 20 240 頭 牛吃14天 120 8 15 第39周牛吃草問題瘋狂操練五 思路導(dǎo)航 問題變成 120公頃草地可供19 15 285 頭 牛吃幾天 因?yàn)椴莸孛娣e相同 可忽略具體公頃數(shù) 原題可變?yōu)?一塊草地勻速生長 可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天 那么可供285頭牛齒及天 即每天新長出的草 240 14 264 10 14 10 180 份 草地原有草 264 180 10 840 份 可供285頭牛吃的時(shí)間 840 285 180 8 天 練習(xí)5 1 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì) 每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多 從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失 同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘 同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘 如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口 那么需多少分鐘 2 快 中 慢三車同時(shí)從A地出發(fā) 追趕一輛正在行駛的自行車 三車的速度分別是嵋小時(shí)24千米 20千米 19千米 快車追上自行車用了6小時(shí) 中車追上自行車用了10小時(shí) 慢車追上自行車用多少小時(shí) 3 一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長 這片青草可供17頭牛吃30天 或供19頭牛吃24天 現(xiàn)有一群牛吃了6天后賣掉4頭 余下的牛又吃了2天將草吃完 這群牛原來有多少頭