1 第 36 練 概率的兩類模型 題型一 古典概型問題 例 1 某班級(jí)的某一小組有 6 位學(xué)生 其中 4 位男生 2 位女生 現(xiàn)從中選取 2 位學(xué)生參加 班級(jí)志愿者小組 求下列事件的概率 1 選取的 2 位學(xué)生都是男生 2 選取的 2 位學(xué)生一位是男生 另一位是女生 破題切入點(diǎn) 先求出任取 2 位學(xué)生的基本事件的總數(shù) 然后分別求出所求的兩個(gè)事件含有的 基本事件數(shù) 再利用古典概型概率公式求解 解 1 設(shè) 4 位男生的編號(hào)分別為 1 2 3 4 2 位女生的編號(hào)分別為 5 6 從 6 位學(xué)生中任取 2 位學(xué) 生的所有可能結(jié)果為 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共 15 種 從 6 位學(xué)生中任取 2 位學(xué)生 所取的 2 位全是男生的方法數(shù) 即從 4 位男生中任取 2 個(gè)的方 法數(shù) 共有 6 種 即 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 所以選取的 2 位學(xué)生全是男生的概率為 P1 615 25 2 從 6 位學(xué)生中任取 2 位 其中一位是男生 而另一位是女生 其取法包括 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 共 8 種 所以選取的 2 位學(xué)生一位是男生 另一位是女生的概率為 P2 815 題型二 幾何概型問題 例 2 2013 四川改編 節(jié)日前夕 小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈 這兩串彩燈的第一次 閃亮相互獨(dú)立 且都在通電后的 4 秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生 然后每串彩燈以 4 秒為間隔閃 亮 那么這兩串彩燈同時(shí)通電后 它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過 2 秒的概率是 破題切入點(diǎn) 由幾何概型的特點(diǎn) 利用數(shù)形結(jié)合即可求解 答案 34 解析 設(shè)在通電后的 4 秒鐘內(nèi) 甲串彩燈 乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為 x y x y 相互獨(dú)立 由題 意可知Error 如圖所示 兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過 2 秒的概率為 P x y 2 S正 方 形 2S ABC S正 方 形 2 4 4 2 12 2 2 4 4 1216 34 題型三 古典概型與幾何概型的綜合問題 例 3 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 9x2 6ax b2 4 0 a b R 1 若 a 是從 1 2 3 三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù) b 是從 0 1 2 三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù) 求已知方程 有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率 2 若 a 是從區(qū)間 0 3 內(nèi)任取的一個(gè)數(shù) b 是從區(qū)間 0 2 內(nèi)任取的一個(gè)數(shù) 求已知方程有實(shí)數(shù) 根的概率 破題切入點(diǎn) 本題中含有兩個(gè)參數(shù) 顯然要將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次方程有解的條件 問題 第 1 問利用列舉法將基本事件羅列出來 再結(jié)合題意求解 第 2 問將 a b 滿足的不等式轉(zhuǎn)化為可行域 平面區(qū)域問題 從而利用幾何概型的概率公式 求解 解 設(shè)事件 A 為 方程 9x2 6ax b2 4 0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 事件 B 為 方程 9x2 6ax b2 4 0 有實(shí)數(shù)根 1 由題意 知基本事件共 9 個(gè) 即 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一個(gè)數(shù)表示 a 的取值 第二個(gè)數(shù)表示 b 的取值 由 36a2 36 b2 4 36a2 36b2 36 4 0 得 a2 b2 4 事件 A 要求 a b 滿足條件 a2 b2 4 可知包含 6 個(gè)基本事件 1 2 2 1 2 2 3 0 3 1 所以方程有兩個(gè)不相同實(shí)根的概率 P A 69 23 2 由題意 方程有實(shí)根的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分 故所求概率為 P B 1 6 6 6 總結(jié)提高 1 求解古典概型問題的三個(gè)步驟 判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的 設(shè)出所求事件 A 分別計(jì)算基本事件的總數(shù) n 和所求事件 A 所包含的基本事件的個(gè)數(shù) m 利用古典概型的概率公式 P A 求出事件 A 的概率 若直接求解比較困難 則可以利用 mn 間接的方法 如逆向思維 先求其對(duì)立事件的概率 進(jìn)而再求所求事件的概率 2 幾何概型并不限于向平面 或直線 空間 投點(diǎn)的試驗(yàn) 如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無限多個(gè)等可 3 能的基本結(jié)果 每個(gè)基本結(jié)果可以用平面 或直線 空間 中的一點(diǎn)來表示 而所有基本結(jié)果 對(duì)應(yīng)于一個(gè)區(qū)域 這時(shí) 與試驗(yàn)有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決 3 幾何概型的概率求解 一般要將問題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度 面積或體積等幾何問題 在轉(zhuǎn)化中 面 積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí) 也就是用二元一次不等式 或其他簡(jiǎn)單不等式 組表示 區(qū)域 幾何概型的試驗(yàn)中事件 A 的概率 P A 只與其所表示的區(qū)域的幾何度量 長(zhǎng)度 面積或體 積 有關(guān) 而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān) 1 從標(biāo)有 1 2 3 7 的 7 個(gè)小球中取出一球 記下它上面的數(shù)字 放回后再取出一球 記 下它上面的數(shù)字 然后把兩數(shù)相加得和 則取得的兩球上的數(shù)字之和大于 11 或者能被 4 整 除的概率是 答案 1649 2 已知實(shí)數(shù) a b 滿足 Error x1 x2 是關(guān)于 x 的方程 x2 2x b a 3 0 的兩個(gè)實(shí)根 則不 等式 0 x1 10 f 1 0 即Error 建立平面直角坐標(biāo)系如圖 滿足題意的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分 故所求概率 P 32 16 332 3 2014 陜西改編 從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這 5 個(gè)點(diǎn)中 任取 2 個(gè)點(diǎn) 則這 2 個(gè)點(diǎn)的距離 不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為 答案 35 解析 取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為 10 種 所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有 6 種 概率為 610 35 4 有一底面半徑為 1 高為 2 的圓柱 點(diǎn) O 為這個(gè)圓柱底面圓的圓心 在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取 一點(diǎn) P 則點(diǎn) P 到點(diǎn) O 的距離大于 1 的概率為 答案 23 4 解析 設(shè)點(diǎn) P 到點(diǎn) O 的距離小于等于 1 的概率為 P1 由幾何概型 則 P1 故點(diǎn) P 到點(diǎn) O 的距離大于 1 的概率 P 1 V半 球V圓 柱 2 3 13 12 2 13 13 23 5 在面積為 S 的矩形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) P 則 PBC 的面積小于 的概率是 S4 答案 12 解析 如圖 M N 分別為 AB CD 中點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn) P 位于陰影部分時(shí) PBC 的面積小于 根據(jù)幾何概型 其概率為 P S4 S矩 形 MBCNS矩 形 ABCD 12 6 已知點(diǎn) A 在坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn) B 在直線 y 1 上 點(diǎn) C 3 4 若 AB 則 ABC 的面積大于10 5 的概率是 答案 524 解析 設(shè) B x 1 根據(jù)題意知點(diǎn) D 1 34 若 ABC 的面積小于或等于 5 則 DB 4 5 即 DB 12 52 所以點(diǎn) B 的橫坐標(biāo) x 而 AB 74 134 10 所以點(diǎn) B 的橫坐標(biāo) x 3 3 所以 ABC 的面積小于或等于 5 的概率為 5 P 3 74 6 1924 所以 ABC 的面積大于 5 的概率是 1 P 524 7 2013 湖北 在區(qū)間 2 4 上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù) x 若 x 滿足 x m 的概率為 則 56 m 答案 3 解析 由 x m 得 m x m 當(dāng) m 2 時(shí) 由題意得 解得 m 2 5 矛盾 舍去 2m6 56 當(dāng) 2 mn x2m2 y2n2 如圖 由題意知 在矩形 ABCD 內(nèi)任取一點(diǎn) Q m n 點(diǎn) Q 落在陰影部分的概率即為所求的 概率 易知直線 m n 恰好將矩形平分 所求的概率為 P 12 9 2013 江蘇 現(xiàn)有某類病毒記作 XmYn 其中正整數(shù) m n m 7 n 9 可以任意選取 則 m n 都取到奇數(shù)的概率為 6 答案 2063 解析 P 4 57 9 2063 10 平面內(nèi)有一組平行線 且相鄰平行線間的距離為 3 cm 把一枚半徑為 1 cm 的硬幣任意 投擲在這個(gè)平面內(nèi) 則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是 答案 13 解析 如圖所示 當(dāng)硬幣中心落在陰影區(qū)域時(shí) 硬幣不與任何一條平行線相碰 故所求概率 為 13 11 已知向量 a 2 1 b x y 1 若 x y 分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子 六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為 1 2 3 4 5 6 先后拋擲 兩次時(shí)第一次 第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 求滿足 a b 1 的概率 2 若 x y 在連續(xù)區(qū)間 1 6 上取值 求滿足 a b 0 的概率 解 1 將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次 所包含的基本事件總數(shù)為 6 6 36 個(gè) 由 a b 1 有 2x y 1 所以滿足 a b 1 的基本事件為 1 1 2 3 3 5 共 3 個(gè) 故滿足 a b 1 的概率為 336 112 2 若 x y 在連續(xù)區(qū)間 1 6 上取值 則全部基本事件的結(jié)果為 x y 1 x 6 1 y 6 滿足 a b 0 的基本事件的結(jié)果為 A x y 1 x 6 1 y 6 且 2x y 0 畫出圖形如圖 矩形的面積為 S 矩形 25 陰影部分的面積為 S 陰影 25 2 4 21 12 7 故滿足 a b85 78 方法二 該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理 化學(xué) 生物成績(jī)至少一個(gè)為 A 的事件概率大于 85 理由如下 該同學(xué)參加這次水平測(cè)試物理 化學(xué) 生物成績(jī)?nèi)粸?A 的事件有 1 種情況 即 其概率為 則物理 化學(xué) 生物成績(jī)至少一個(gè)為 A 的概率為W1W2 W3 18 P2 1 85 18 78