第九章第五節(jié)一、選擇題1(2014·長(zhǎng)春模擬)橢圓x24y21的離心率為()ABCD答案A解析先將x24y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程1，則a1，b，c.離心率e.2已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,1)，離心率e，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay21Bx21C1D1答案D解析由已知，c1，e，a2，b.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，故選D3(文)(教材改編題)如果方程x2ky22表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A(0,1)B(1,2)C(0,2)D(0,1答案A解析方程可化為1，焦點(diǎn)在y軸上，則有>2，即k<1，又k>0，0<k<1.(理)設(shè)0<2，若方程x2siny2cos1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則的取值范圍是()ABCD答案C解析化為1，>>0，故選C4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18，且兩個(gè)焦點(diǎn)恰好將長(zhǎng)軸三等分，則此橢圓的方程是()A1B1C1D1答案A解析依題意知：2a18，a9,2c×2a，c3，b2a2c281972，橢圓方程為1.5設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()ABCD答案C解析設(shè)直線x與x軸交于點(diǎn)M，則PF2M60°，在RtPF2M中，PF2F1F22c，F(xiàn)2Mc，故cos60°，解得，故離心率e.6(2014·全國(guó)大綱高考)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，若AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為()A1By21C1D1答案A解析本題考查了橢圓的定義，離心率的計(jì)算，根據(jù)條件可知，且4a4，得a，所以c1，b22，故C的方程為1.二、填空題7若橢圓1的離心率為，則實(shí)數(shù)m_.答案或解析e21，則1或1，解得m或m.8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_答案1解析本題主要考查橢圓的定義及幾何性質(zhì)依題意：4a16，即a4，又e，c2，b28.橢圓C的方程為1.9已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓1上，若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，|1，且·0，則|的最小值是_答案解析·0，.|2|2|2|21.橢圓右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)A的距離最小，故|min2，|min.三、解答題10已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解析由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k±1.故直線AB的方程為yx或yx.一、選擇題1已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A3B2C2D4答案C解析設(shè)橢圓方程為mx2ny21(0<m<n)，聯(lián)立方程組：，消去x得：(3mn)y28my16m10，192m24(16m1)(3mn)0，整理得：3mn16mn，即：16.又c2，焦點(diǎn)在x軸上，故4，聯(lián)立解得：，故長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2.2從橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()ABCD答案C解析本題考查了橢圓離心率的求法根據(jù)1可得F1(c,0)，P(c，)，故OP與AB的斜率分別是kOP，kAB，根據(jù)OPAB得，即bC由于a2b2c2，即a22c2，故e.二、填空題3(2014·安徽高考)若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_答案x2y21解析如圖，由題意，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為c，c21，又b2c21，y2b4，|AF2|b2，又|AF1|3|BF1|，B點(diǎn)坐標(biāo)為(c，b2)，代入橢圓方程得，方程為x2y21.4(文)(2014·江西高考)設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率等于_答案解析本題是橢圓綜合性質(zhì)的考查，ABx軸，不妨設(shè)A(c，)，B(c，)，又D是F1B與y軸的交點(diǎn)，可求得D(0，)且為BF1的中點(diǎn)ADF1B，F(xiàn)1AB為等腰三角形，|AF1|AB|2·，|AF1|AF2|2·3·，由橢圓定義得3·2a，e.(理)(2014·江西高考)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_答案解析由題意可設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可得，并整理得.(*)M是線段AB的中點(diǎn)，且過點(diǎn)M(1,1)的直線斜率為，x1x22，y1y22，k.(*)式可化為，即a22b22(a2c2)，整理得a22c2，即.e.三、解答題5設(shè)橢圓C：1(a>b>0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為.(1)求C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)解析(1)將(0,4)代入C的方程得1，b4，又e得，即1，a5，C的方程為1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，(x1x26)，即中點(diǎn)為(，)6(文)(2014·天津高考)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B已知|AB|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，經(jīng)過點(diǎn)F2的直線l與該圓相切與點(diǎn)M，|MF2|2.求橢圓的方程解析(1)如圖所示，由橢圓的幾何性質(zhì)|AB|，而|AB|F1F2|，a2b2×4c23c2.又b2a2c2，2a24c2，即e2，e.(2)由(1)設(shè)橢圓方程1.設(shè)P(x1，y1)，B(0，c)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P是異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，x10，y10.以PB為直徑的圓過F1，即PF1BF1，·1，y1(x1c)設(shè)PB中點(diǎn)D(，)，即D為(，)由題意得|DF2|2|DM|2|MF2|2，|DM|DB|r，|DF2|2(c)2，|MF2|28，|DM|2(c)2，即(c)28(c)2.整理得cx14又P(x1，(x1c)在橢圓上，x2(x1c)22c2整理得3x4cx10x10，解之得c23，所求橢圓方程為1.(理)(2014·天津高考)設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B已知|AB|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率解析(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)，由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，則.所以，橢圓的離心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2，故橢圓方程為1.設(shè)P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有·0，即(x0c)cy0c0，又c0，故有x0y0c0.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故1由和可得3x4cx00，而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故x0c，代入得y0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則x1c，y1c，進(jìn)而圓的半徑rC設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為ykx，由l與圓相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4±.所以，直線l的斜率為4或4.