數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算3.1.3 3.1.3 空間向量的數(shù)量空間向量的數(shù)量積運(yùn)算積運(yùn)算數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算lAPa BO數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算OABP特別地，若特別地，若P P為為A,BA,B中點(diǎn)中點(diǎn), ,則則12 OPOAOB如圖如圖 不共線，不共線，OA OB 、()APtAB tROAOBOP ，則可以用、 表示如下：()(1)OPOAAPOAtABOAt OBOAt OAtOB 結(jié)論：結(jié)論：設(shè)設(shè)O O為平面上任一點(diǎn)，則為平面上任一點(diǎn)，則A A、P P、B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(1)OPt OAtOB 或：令或：令x=1-t，y=t，則，則A A、P P、B B三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線(1)OPxOAyOBxy 其中數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算平面向量基本定理：平面向量基本定理：如果是如果是 同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只，有且只有一對實(shí)數(shù)有一對實(shí)數(shù) ，使，使12ee ，a12，1 122aee abBPCAab數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算二二. .共面向量共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :能平移到同一平面內(nèi)的向量能平移到同一平面內(nèi)的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .OAaa注意：注意：空間任意兩個(gè)空間任意兩個(gè)向量是共面的向量是共面的，但空，但空間任意三個(gè)向量就不間任意三個(gè)向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp 數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算abBCp PAO結(jié)論結(jié)論: :空間一點(diǎn)空間一點(diǎn)P位于平面位于平面ABC內(nèi)內(nèi) 存在有序?qū)崝?shù)對存在有序?qū)崝?shù)對x, ,y使使 或?qū)臻g任一點(diǎn)或?qū)臻g任一點(diǎn)O, ,有有 APxAByAC OPOAxAByAC可證明或判斷四點(diǎn)共面可證明或判斷四點(diǎn)共面,(1)OPmOAnOBtOC mnt 數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法；掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算律；法及運(yùn)算律；掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，會(huì)用它解掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，會(huì)用它解決立體幾何中的一些簡單問題決立體幾何中的一些簡單問題一、證垂直一、證垂直二、求長度二、求長度三、求夾角三、求夾角四、求投影四、求投影數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算教學(xué)過程教學(xué)過程一、幾個(gè)概念一、幾個(gè)概念babaAOBbOBaOAOba,.,記作：的夾角，與叫做向量則角作，在空間任取一點(diǎn)量如圖，已知兩個(gè)非零向abbaba,0被唯一確定了，并且量的夾角就在這個(gè)規(guī)定下，兩個(gè)向范圍：1 1） 兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義bababa互相垂直，并記作：與則稱如果,2,O OA AB Baabb數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算2 2）兩個(gè)向量的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積注意：注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。零向量與任意向量的數(shù)量積等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,cos,即記作：的數(shù)量積，叫做向量，則已知空間兩個(gè)向量記作：的長度或模的長度叫做向量則有向線段設(shè)數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算4)4)空間向量的數(shù)量積性質(zhì)空間向量的數(shù)量積性質(zhì) aaababaeaaea2)30)2,cos) 1注意：注意：性質(zhì)性質(zhì)2 2）是證明兩向量垂直的依據(jù)；）是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)性質(zhì)3 3）是求向量的長度（模）的依據(jù)；）是求向量的長度（模）的依據(jù)；對于非零向量對于非零向量 ，有：，有：,a b 3)3)空間向量的空間向量的投影投影 數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算5)5)空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律 注意：注意：（教材（教材P90P90思考）思考）分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa數(shù)量積不滿足數(shù)量積不滿足消去率和消去率和結(jié)合律結(jié)合律)()cbacba（數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11. 3）（計(jì)算：的中點(diǎn)。、分別是、，點(diǎn)等于的每條邊和對角線長都如圖：已知空間四邊形二、二、 課堂練習(xí)課堂練習(xí)數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算三、典型例題三、典型例題-證垂直證垂直（教材（教材P91例例3）已知已知m,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直內(nèi)的兩條相交直線，直線線，直線l與與 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為B，且，且lm，ln， 求證：求證：l 分析：由定義可知，只需證分析：由定義可知，只需證l l與平面內(nèi)任意直線與平面內(nèi)任意直線g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算n nm mgg gmnll l證明：在證明：在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與m m、n n重合的任一重合的任一條直線條直線g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m與與n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對 （x x，y y），使），使 g=xm+yn, g=xm+yn, l lg=xlg=xlm+ylm+yln n l lm=0,lm=0,ln=0n=0 l lg=0g=0 lg lg lg lg 這就證明了直線這就證明了直線l l垂直于平面垂直于平面 內(nèi)的內(nèi)的任一條直線，所以任一條直線，所以ll 數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算PAaOAaaPAOAPAPO求證：且內(nèi)的射影，在是的垂線，斜線，分別是平面已知：,aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序?qū)崝?shù)對定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量證明：在三、典型例題三、典型例題（教材（教材P91例例2）利用向量知識(shí)證明三垂線定理利用向量知識(shí)證明三垂線定理試著證明三垂線定理的逆定理試著證明三垂線定理的逆定理 教材教材P91數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算三、典型例題三、典型例題教材教材P92思考：思考：用向量的數(shù)量積運(yùn)算推證垂用向量的數(shù)量積運(yùn)算推證垂直關(guān)系的過程，步驟是什么？直關(guān)系的過程，步驟是什么？數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例例2：已知：在空間四邊形：已知：在空間四邊形OABC中，中，OABC，OBAC，求證：，求證：OCABACOBCBOA，證明：由已知0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以A AB BC CO O OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例例3 3 如圖，已知線段在平面如圖，已知線段在平面 內(nèi)，線段內(nèi)，線段，線段，線段 ，線段，線段， ，如，如果，求、之間的距離。果，求、之間的距離。AC BDABDD 30DBD ,ABaACBDb CDAB 解：由，可知解：由，可知. .由由 知知 . . AC ACAB 30DBD ,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD三、典型例題三、典型例題-求長求長度度數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算例例4 4已知在平行六面體中，已知在平行六面體中，, , ,求對角線的長。求對角線的長。ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85AC 數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算3.3.已知線段已知線段 、在平面、在平面 內(nèi)，線段內(nèi)，線段，如果，求、之間的距離，如果，求、之間的距離. .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc教材教材P92練習(xí)練習(xí) 1、2、3題題數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算三、典型例題三、典型例題-求夾角求夾角點(diǎn)金P64知識(shí)點(diǎn)3例3數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1.1.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于 ，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)。，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)。求證：。求證：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCD NMABDC證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)镸NMAADDN 所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB 同理，同理，MNCD 課后練習(xí)課后練習(xí)數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算2.2.已知空間四邊形，已知空間四邊形，求證：。求證：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB證明：證明：()| |cos| |cos| |cos| |cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算3.3.如圖，已知正方體，如圖，已知正方體， 和和 相交于相交于點(diǎn)，連結(jié)點(diǎn)，連結(jié) ，求證：。，求證：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算4 4、已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求下列向量的點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，求下列向量的數(shù)量積：數(shù)量積：ABCDaEFG、 、ABADDC、(1) (2) (3) AB ACAD DBGF AC ；(4) (5) (6) .EF BCFG BAGE GF ；GFEABCD數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算5、設(shè) ， ，則向量 與 的夾角為 (3 )(75 )abab(4 )(72 )ababab6、在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，ACD=900,將它沿對角線AC折起，使AB與CD成600角，求B,D兩點(diǎn)間距離。數(shù)學(xué)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 課堂小結(jié)課堂小結(jié)1兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和計(jì)算；2、運(yùn)用向量的數(shù)量積解決簡單的立體幾何問題。