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初二數學---面積法解題 【本講教育信息】 【講解內容】——怎樣證明面積問題以及用面積法解幾何問題 【教學目標】 1. 使學生靈活掌握證明幾何圖形中的面積的方法。 2. 培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。 【 重點、難點】： 重點：證明面積問題的理論依據和方法技巧。 難點：靈活運用所學知識證明面積問題。 【教學過程】 （一）證明面積問題常用的理論依據 1. 三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的兩個三角形面積相等。 3. 平行四邊形的對角線把其分成兩個面積相等的部分。 4. 同底（等底）的兩個三角形面積的比等于高的比。 同高（或等高）的兩個三角形面積的比等于底的比。 5. 三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。 8. 有一個角相等或互補的兩個三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。 （二）證明面積問題常用的證題思路和方法 1. 分解法：通常把一個復雜的圖形，分解成幾個三角形。 2. 作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有關性質法：比如利用中點、中位線等的性質。 4. 還可以利用面積解決其它問題。 【典型例題】 （一）怎樣證明面積問題 1. 分解法 例1. 從△ABC的各頂點作三條平行線AD、BE、CF，各與對邊或延長線交于D、E、F，求證：△DEF的面積＝2△ABC的面積。 分析：從圖形上觀察，△DEF可分為三部分，其中①是△ADE，它與△ADB同底等 ③三是△AEF，只要再證出它與△ABC的面積相等即可 由S△CFE＝S△CFB 故可得出S△AEF＝S△ABC 證明：∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB＝S△ADE 同理可證：S△ADC＝S△ADF ∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF＝S△CBF ∴S△ABC＝S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC ∴S△DEF＝2S△ABC 2. 作平行線法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M為腰BC上的中點 分析：由M為腰BC的中點可想到過M作底的平行線MN，則MN為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設梯形的高為h 證明：過M作MN//AB ∵M為腰BC的中點 ∴MN是梯形的中位線 設梯形的高為h （二）用面積法解幾何問題 有些幾何問題，往往可以用面積法來解決，用面積法解幾何問題常用到下列性質： 性質1：等底等高的三角形面積相等 性質2：同底等高的三角形面積相等 性質3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半 性質4：等高的兩個三角形的面積比等于底之比 性質5：等底的兩個三角形的面積比等于高之比 1. 證線段之積相等 例3. 設AD、BE和CF是△ABC的三條高，求證：ADBC＝BEAC＝CFAB 分析：從結論可看出，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高，故可聯想到可用面積法。 證明：∵AD、BE、CF是△ABC的三條高 2. 證等積問題 例4. 過平行四邊形ABCD的頂點A引直線，和BC、DC或其延長線分別交于E、F，求證：S△ABF＝S△ADE 分析：因為AB//DF，所以△ABF與△ABC是同底AB和等高的兩個三角形，所以這兩個三角形的面積相等。 證明：連結AC ∵CF//AB 又∵CE//AD 3. 證線段之和 例5. 已知△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任一點，PE⊥AB，PF⊥AC，BH⊥AC，求證：PE+PF＝BH 分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結AP，則 故PE+PF＝BH 證明：連結AP，則 ∵AB＝AC，PE⊥AB，PF⊥AC 又∵BH⊥AC ∴PE+PF＝BH 4. 證角平分線 例6. 在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點F、E，使AE＝CF，連AE、CF交于P，求證：BP平分∠APC。 分析：要證BP平分∠APC，我們可以考慮，只要能證出B點到PA、PC的距離相等即可，也就是△ABE和△BFC的高相等即可，又由已知AE＝FC可聯想到三角形的面積，因此只要證出S△ABE＝S△BCF即可 由平行四邊形ABCD可得S△ABE＝S△ABC，S△BFC＝S△ABC 所以S△ABE＝S△BFC，因此問題便得解。 證明：連結AC、BE、BF ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴S△ABE＝S△ABC S△BFC＝S△ABC ∴S△ABE＝S△BFC 又∵AE＝CF 而△ABE和△BFC的底分別是AE、CF ∴△ABE和△BFC的高也相等 即B到PA、PC的距離相等 ∴B點在∠APC的平分線上 ∴PB平分∠APC 【模擬試題】（答題時間：25分鐘） 1. 在平行四邊形ABCD中，E、F點分別為BC、CD的中點，連結AF、AE，求證：S△ABE＝S△ADF 2. 在梯形ABCD中，DC//AB，M為腰BC上的中點，求證： 3. Rt△ABC中，∠ACB＝90，a、b為兩直角邊，斜邊AB上的高為h，求證： 4. 已知：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點，G、H為邊DC的三等分點，求證： 5. 在△ABC中，D是AB的中點，E在AC上，且，CD和BE交于G，求△ABC和四邊形ADGE的面積比。 【試題答案】 1. 證明：連結AC，則 又∵E、F分別為BC、CD的中點 2. 證明：過M作MN//DC//AB ∵M為腰BC上的中點 ∴△DCM和△ABM的高相等，設為h1 又∵△DMN與△AMN的高也為h1 ∵MN為梯形的中位線 ∴ 3. 證明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB ∴兩邊同時除以得： 4. 證明：連結FD、FG、FC 則由已知可得 ① 作DM//AB，設它們之間的距離為h，G到DM的距離為a，則由已知可得H、C到DM的距離分別為2a、3a 即 ② ①+②得： 5. 證明：作DF//AC交BE于F 可得△DFG≌△CEG 而 ∴△ABC和四邊形ADGE的面積比是12：5