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其余的比較簡(jiǎn)單，大家可以自己考慮。 3. 坐標(biāo)系的位置變化如下：初始時(shí)，坐標(biāo)系與重合，讓坐標(biāo)系繞軸旋轉(zhuǎn)角；然后再繞旋轉(zhuǎn)角。給出把對(duì)矢量的描述變?yōu)閷?duì)描述的旋轉(zhuǎn)矩陣。 解：坐標(biāo)系相對(duì)自身坐標(biāo)系（動(dòng)系）的當(dāng)前坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)兩次，為相對(duì)變換，齊次變換順序?yàn)橐来斡页恕? 對(duì)描述有 ； 其中 。 9. 圖2-10a示出擺放在坐標(biāo)系中的兩個(gè)相同的楔形物體。要求把它們重新擺放在圖2-10b所示位置。 （1）用數(shù)字值給出兩個(gè)描述重新擺置的變換序列，每個(gè)變換表示沿某個(gè)軸平移或繞該軸旋轉(zhuǎn)。 （2）作圖說明每個(gè)從右至左的變換序列。 （3）作圖說明每個(gè)從左至右的變換序列。 解：（1）方法1:如圖建立兩個(gè)坐標(biāo)系、，與2個(gè)楔塊相固聯(lián)。 圖1：楔塊坐標(biāo)系建立（方法1） 對(duì)楔塊1進(jìn)行的變換矩陣為： ； 對(duì)楔塊2進(jìn)行的變換矩陣為： ； 其中 ； 所以 ： ； 對(duì)楔塊2的變換步驟： ① 繞自身坐標(biāo)系X軸旋轉(zhuǎn)； ② 繞新形成的坐標(biāo)系的Z軸旋轉(zhuǎn)； ③ 繞定系的Z軸旋轉(zhuǎn)； ④ 沿定系的各軸平移。 方法2：如圖建立兩個(gè)坐標(biāo)系、與參考坐標(biāo)系重合，兩坐標(biāo)系與2個(gè)楔塊相固聯(lián)。 圖1：楔塊坐標(biāo)系建立（方法2） 對(duì)楔塊1進(jìn)行的變換矩陣為： ； 對(duì)楔塊2進(jìn)行的變換矩陣為： ； 所以 ： ； 。 備注：當(dāng)建立的相對(duì)坐標(biāo)系位置不同時(shí)，到達(dá)理想位置的變換矩陣不同。 （2）、（3）略。 2. 圖3-11 給出一個(gè)3自由度機(jī)械手的機(jī)構(gòu)。軸1和軸2垂直。試求其運(yùn)動(dòng)方程式。 解：方法1建模： 如圖3建立各連桿的坐標(biāo)系。 圖3：機(jī)械手的坐標(biāo)系建立 根據(jù)所建坐標(biāo)系得到機(jī)械手的連桿參數(shù)，見表1。 表1：機(jī)械手的連桿參數(shù) 該3自由度機(jī)械手的變換矩陣： ； ； ； ； 方法二進(jìn)行建模： 坐標(biāo)系的建立如圖4所示。 圖4：機(jī)械手的坐標(biāo)系建立 根據(jù)所建坐標(biāo)系得到機(jī)械手的連桿參數(shù)，見表2。 表2：機(jī)械手的連桿參數(shù) ； ； ； 3. 圖3-12 所示3 自由度機(jī)械手，其關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2相交，而關(guān)節(jié)2與關(guān)節(jié)3平行。圖中所示關(guān)節(jié)均處于零位。各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的正向均由箭頭示出。指定本機(jī)械手各連桿的坐標(biāo)系，然后求各變換矩陣，和。 解：對(duì)于末端執(zhí)行器而言，因?yàn)閱为?dú)指定了末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系，則要確定末端執(zhí)行器與最后一個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。 方法1建模： 按照方法1進(jìn)行各連桿的坐標(biāo)系建立，建立方法見圖5。 圖5：機(jī)械手的坐標(biāo)系建立 連桿3的坐標(biāo)系與末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系相重合。機(jī)械手的D-H參數(shù)值見表3。 表3：機(jī)械手的連桿參數(shù) 注：關(guān)節(jié)變量 。 將表3中的參數(shù)帶入得到各變換矩陣分別為： ；； ； 方法2建模： 按照方法2進(jìn)行各連桿的坐標(biāo)系建立，建立方法見圖6。 圖6：機(jī)械手的坐標(biāo)系建立 3自由度機(jī)械手的D-H參數(shù)值見表4。 表4：機(jī)械手的連桿參數(shù) 注：關(guān)節(jié)變量 。 將表4中的參數(shù)帶入得到各變換矩陣分別為： ； ； ； 1. 已知坐標(biāo)系對(duì)基座標(biāo)系的變換為：；對(duì)于基座標(biāo)系的微分平移分量分別為沿X軸移動(dòng)0.5，沿Y軸移動(dòng)0，沿Z軸移動(dòng)1；微分旋轉(zhuǎn)分量分別為0.1，0.2和0。 （1） 求相應(yīng)的微分變換； （2） 求對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)系的等效微分平移與旋轉(zhuǎn)。 解：（1）對(duì)基座標(biāo)系的微分平移：； 對(duì)基座標(biāo)系的微分旋轉(zhuǎn)： ； ； 相應(yīng)的微分變換： （2）由相對(duì)變換可知、、、， ；； ；； 對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)系的等效微分平移：；微分旋轉(zhuǎn)：。 2. 試求圖3.11所示的三自由度機(jī)械手的雅可比矩陣，所用坐標(biāo)系位于夾手末端上，其姿態(tài)與第三關(guān)節(jié)的姿態(tài)一樣。 解:設(shè)第3個(gè)連桿長度為。 1）使用方法1建模，末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系與連桿3的坐標(biāo)系重合，使用微分變換法。 圖7：機(jī)械手的坐標(biāo)系建立 表5：D-H參數(shù)表 ；； ； 由上式求得雅可比矩陣： ； 2）使用方法2建模，使用微分變換法。 圖8：機(jī)械手的坐標(biāo)系建立 表6：D-H參數(shù)表 ；；； 由上式求得雅可比矩陣： ；