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作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個好辦法 ------------二次函數(shù)教學反思 最近教學二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問題，經(jīng)過研究，我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個好辦法。在課堂上我還風趣地說遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結如下：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半. D B A O y x P C B A O y x B C 鉛垂高 水平寬 h a 圖1 例1．（2013深圳）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（－2，0），連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉120，得到線段OB.（1）求點B的坐標；（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由. 解：（1）B（1，） （2）設拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點B（1, ），得，因此 （3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=—1，當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，△BOC的周長最小. 設直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當x=－1時，，因此點C的坐標為（－1，/3）. （4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D. 當x=－時，△PAB的面積的最大值為，此時. 例2．(2014益陽) 如圖2，拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0)，交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內)上的一個動點，連結PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及；(3)是否存在一點P，使S△PAB=S△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由. 解：(1)設拋物線的解析式為：把A（3,0）代入解析式求得所以設直線AB的解析式為：由求得B點的圖-2 x C O y A B D 1 1 坐標為 把，代入中 解得：所以 (2)因為C點坐標為(１,4)所以當x＝１時，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝2(平方單位) (3)假設存在符合條件的點P，設P點的橫坐標為x，△PAB的鉛垂高為h，則由S△PAB=S△CAB得化簡得：解得，將代入中，解得P點坐標為 例3．（2015江津）如圖，拋物線與x軸交于A(1,0),B(- 3，0)兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由. 解：(1)將A(1，0)，B(－3，0)代中得∴ ∴拋物線解析式為： (2)存在。 理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱 ∴直線BC與的交點即為Q點， 此時△AQC周長最小 ∵ ∴C的坐標為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點坐標即為的解 ∴∴Q(－1，2) （3）答：存在。理由如下： 設P點∵若有最大值，則就最大，∴ ＝＝ 當時，最大值＝ ∴最大＝ 當時，∴點P坐標為 同學們可以做以下練習： 1．（2015浙江湖州）已知如圖，矩形OABC的長OA=，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=____度，P點坐標為（ ， ）； （2）若P，A兩點在拋物線y=－x2+bx+c上，求b，c的值，并說明點C在此拋物線上； （3）在（2）中的拋物線CP段（不包括C，P點）上，是否存在一點M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時M點的坐標；若不存在，請說明理由。 2．（湖北省十堰市2014）如圖①， 已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B (－3，0)，與y軸交于點C．(1) 求拋物線的解析式；(2) 設拋物線的對稱軸與軸交于點M ，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．(3) 如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標． 圖① 圖② 3.(2015年恩施) 如圖11，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B 兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點， 點P是直線BC下方的拋物線上一動點. （1）求這個二次函數(shù)的表達式． （2）連結PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由． （3）當點P運動到什么位置時，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積. 圖11 解：（1）將B、C兩點的坐標代入得 解得： 所以二次函數(shù)的表達式為： （2）存在點P，使四邊形POPC為菱形．設P點坐標為（x，），PP交CO于E若四邊形POPC是菱形，則有PC＝PO． 連結PP 則PE⊥CO于E，∴OE=EC= =． ∴= 解得=，=（不合題意，舍去） ∴P點的坐標為（，） （3）過點P作軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，），易得，直線BC的解析式為則Q點的坐標為（x，x－3）. = 當時，四邊形ABPC的面積最大 此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積． 25．（2015綿陽）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個交點分別為A（－4，0）、B（2，0），與y軸交于點C，頂點為D．E（1，2）為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G． （1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標； （2）在直線EF上求一點H，使△CDH的周長最小，并求出最小周長； （3）若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，△EFK的面積最大？并求出最大面積． K N C E D G A x y O B F C E D G A x y O B F 【解析】（1）由題意，得 解得，b =－1． 所以拋物線的解析式為，頂點D的坐標為（－1，）． （2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M．因為EF垂直平分BC，即C關于直線EG的對稱點為B，連結BD交于EF于一點，則這一點為所求點H，使DH + CH最小，即最小為 DH + CH = DH + HB = BD =． 而 ． ∴ △CDH的周長最小值為CD + DR + CH =． 設直線BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3． 所以直線BD的解析式為y =x + 3．由于BC = 2，CE = BC∕2 =，Rt△CEG∽△COB， 得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G（0，1.5）．同理可求得直線EF的解析式為y =x +． 聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使△CDH的周長最小的點H（，）． （3）如圖所示，設K（t，），xF＜t＜xE．過K作x軸的垂線交EF于N． 則 KN = yK－yN =－（t +）=． 所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN（t + 3）+KN（1－t）= 2KN = －t2－3t + 5 =－（t +）2 +． 即當t =－時，△EFK的面積最大，最大面積為，此時K（－，）． 7