高考三角函數(shù)復習專題
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三角函數(shù)復習專題 一、核心知識點歸納： ★★★1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質： 函 數(shù) 性 質 圖象 定義域 值域 最值 當時，； 當 時，． 當時， ； 當 時，． 既無最大值也無最小值 周期性 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調性 在 上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)． 在上是增函數(shù)；在 上是減函數(shù)． 在 上是增函數(shù)． 對稱性 對稱中心 對稱軸 對稱中心 對稱軸 對稱中心 無對稱軸 ★★2.正、余弦定理：在中有: ①正弦定理：（為外接圓半徑） 注意變形應用 ②面積公式： ③余弦定理： 二、方法總結： 1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。 （1）注意隱含條件的應用：1＝cos2x＋sin2x。 （2）角的配湊。α＝（α＋β）－β，β＝－等。 （3）升冪與降冪。主要用2倍角的余弦。 （4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。 （5）引入輔助角。asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)，這里輔助角所在象限由a、b的符號確定，角的值由tan＝確定。 2.解答三角高考題的策略。 （1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。 （2）尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系。 （3）合理轉化：選擇恰當?shù)墓?，促使差異的轉化。 三、例題集錦： 考點一：三角函數(shù)的概念 1.（2011年東城區(qū)示范校考試文15）如圖，設是單位圓和軸正半軸的交點，是 單位圓上的兩點，是坐標原點，，． （1）若，求的值；（2）設函數(shù)，求的值域． 2．（2011年西城期末文15）已知函數(shù).（Ⅰ）若點 在角的終邊上，求的值； （Ⅱ）若，求的值域. 考點二：三角函數(shù)的圖象和性質 3.（2011年東城區(qū)期末文15）函數(shù)部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）設，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 考點三、四、五：同角三角函數(shù)的關系、 誘導公式、三角恒等變換 4．（2010年海淀期中文16）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）求函數(shù)的單調增區(qū)間.（3）求函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心 5.（2011年豐臺區(qū)期末文15）已知函數(shù) （），相鄰兩條對稱軸之間的距離等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當 時，求函數(shù)的最大值和最小值及相應的x值． 6、（2011朝陽二模文15）已知函數(shù) . （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調遞增區(qū)間； （Ⅱ）若，，求的值. 7、（2011東城二模問15）（本小題共13分）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的值域． 考點六：解三角形 8．（2011年朝陽期末文15）已知△中，. （Ⅰ）求角的大小；20070316 （Ⅱ）設向量，，求當取最 小值時， 值. 9．（2011年石景山期末文15）已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若， ，求的值． 10、（2011東城一模文15）在△中，角，，的對邊分別為，，分，且滿足． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求△面積的最大值． 11、(2011豐臺一模文15). 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且b2+c2-a2=bc． （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）設函數(shù)，當取最大值時，判斷△ABC的形狀． 12、(2011海淀一模文15). 在中，內角A、B、C所對的邊分別為，已知，，且. (Ⅰ)求； (Ⅱ)求的面積. 13、（2011石景山一模文15）． 在中，角，，所對應的邊分別為，，，且． （Ⅰ）求角的大??； （Ⅱ）求的最大值． 例題集錦答案： 1.（2011年東城區(qū)示范?？荚嚴?5）如圖，設是單位圓和軸正半軸的交點，是 單位圓上的兩點，是坐標原點，，． （1）若，求的值；（2）設函數(shù)，求的值域． ★★單位圓中的三角函數(shù)定義 解：（Ⅰ）由已知可得……………2分 ………3分 …………4分 （Ⅱ） ………6分 ………………7分 ………………8分 ………9分 …………12分 的值域是………………………………13分 2．（2011年西城期末理15）已知函數(shù).（Ⅰ）若點 在角的終邊上，求的值； （Ⅱ）若，求的值域. ★★三角函數(shù)一般定義 解：（Ⅰ）因為點在角的終邊上， 所以，， ………………2分 所以 ………………4分 . ………………5分 （Ⅱ） ………………6分 ， ………………8分 因為，所以， ………………10分 所以， ………………11分 所以的值域是. ………………13分 3.（2011年東城區(qū)期末理15）函數(shù)部分圖象如圖所示．（Ⅰ）求的最小正周期及解析式；（Ⅱ）設，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）由圖可得，， 所以． ……2分 所以． 當時，，可得 ， 因為，所以． ……5分 所以的解析式為． ………6分 （Ⅱ） ． ……10分 因為，所以． 當，即時，有最大值，最大值為； 當，即時，有最小值，最小值為．……13分 相鄰平衡點（最值點）橫坐標的差等； ； ;φ----代點法 4．（2010年海淀期中文16）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）求函數(shù)的單調增區(qū)間.（3）求函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心 解：（1） ...3分（只寫對一個公式給2分） ....5分 由，可得 ......7分 所以 ......8分 .......9分 （2）當，換元法 ..11 即時，單調遞增. 所以，函數(shù)的單調增區(qū)間是 ... 13分 5.（2011年豐臺區(qū)期末理15）已知函數(shù) （），相鄰兩條對稱軸之間的距離等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當 時，求函數(shù)的最大值和最小值及相應的x值． 解：（Ⅰ）． 意義 ……4分 因為 ，所以 ，． ……6分 所以 ．所以 ………7分 （Ⅱ） 當 時， ， 無范圍討論扣分 所以 當，即時，， …10分 當，即時，． ………13分 6、（2011朝陽二模理15）已知函數(shù) . （Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的單調遞增區(qū)間； （Ⅱ）若，，求的值. 解: ……………………………………1分 ……………………………………2分 . 和差角公式逆用 ………………3分 （Ⅰ）函數(shù)的最小正周期. ……………………………………5分 令， ……………………………………6分 所以. 即. 所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為 . ……………8分 （Ⅱ）解法一：由已知得， …………………9分 兩邊平方，得 同角關系式 所以 …………11分 因為，所以. 所以. ……………………………………13分 解法二：因為，所以. …………………………9分 又因為， 得 . ……………………………………10分 所以. ……………………………………11分 所以， . 誘導公式的運用 7、（2011東城二模理15）（本小題共13分）已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)的值域． 解：（Ⅰ）因為，且， 所以，． 角的變換因為 ． 所以． ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得． 所以此結構轉化為二次函數(shù)值域問題 ，． 因為，所以，當時，取最大值； 當時，取最小值． 所以函數(shù)的值域為． 8．（2011年朝陽期末理15）已知△中，. （Ⅰ）求角的大??；20070316 （Ⅱ）設向量，，求當取最 小值時， 值. 解：（Ⅰ）因為， 和差角公式逆用 所以. ……… 3分 因為，所以.所以. ……… 5分 因為，所以. …………7分 （Ⅱ）因為， ………………… 8分 所以. …10分 所以當時，取得最小值. 此時（），于是. 同角關系或三角函數(shù)定義……12分 所以. …………… 13分 9．（2011年石景山期末理15）已知函數(shù)． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的最大值；（Ⅲ）在中，若， ，求的值． 解：（Ⅰ）． 4分 （Ⅱ） ． …6分 ， ． 當時，即時，的最大值為．…8分 （Ⅲ）， 若是三角形的內角，則，∴． 令，得 ，此處兩解 解得或． ……10分 由已知，是△的內角，且， ∴，， ∴． …11分 又由正弦定理，得． ……13分 10、（2011東城一模理15）（本小題共13分） 在△中，角，，的對邊分別為，，分，且滿足． （Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求△面積的最大值． 解：（Ⅰ）因為， 所以 由正弦定理，得．邊化角 整理得． 所以． 在△中，． 所以，． （Ⅱ）由余弦定理，． 所以 均值定理在三角中的應用 所以，當且僅當時取“=” ． 取等條件別忘 所以三角形的面積． 所以三角形面積的最大值為． ……………………13分 11、(2011豐臺一模理15). 在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且b2+c2-a2=bc． （Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）設函數(shù)，當取最大值時，判斷△ABC的形狀． 解：（Ⅰ）在△ABC中，因為b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=．(余弦定理或公式必須有一個，否則扣1分) ……3分 ∵ 0
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