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Finite Element Method 3．面力的移置 設(shè)三角形單元某邊界s 上受面力q 作用，分量為，，則 取ds 則 由一般公式： 積分在邊界s上 以上三種載荷的等效節(jié)點(diǎn)荷載由公式e導(dǎo)出 通常我們稱： 為荷載移量的一般公式： 幾點(diǎn)說(shuō)明： 1． 虛功等效靜力等效。 唯一性 2． 一般 3． 更多節(jié)點(diǎn)的單元公式形式不變，但不同 4． 雖然公式e導(dǎo)出但對(duì)于面力和體力的計(jì)算都是很麻煩和困難的 N為x,y 的函數(shù)，若p, q再為 x, y 的函數(shù)則更難，且單移分限不好定。 因此，我們將來(lái)還要進(jìn)一步把這個(gè)問(wèn)題解決好。 四． 三角形單元的面積坐標(biāo)（自然坐標(biāo)，局部坐標(biāo)） 1． 面積坐標(biāo)的定義： 圖示三角形單元 I ,j ,k 中任意一點(diǎn)m ，其位置可由xoy坐標(biāo)系中兩個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定，即m(x,y) 若我們連接,,,則形成了3 個(gè)小三角形ijm, ikm, jkm. 則有：若m(x,y)確定ijm, ikm, jkm.面積確定。 反之，ijm, ikm, jkm.面積確定m(x,y)確定 （用同底等高的概念解釋?。。? 因此，三角形單元內(nèi)任一點(diǎn)可以 我們?nèi)绾斡萌切蚊娣e來(lái)描述m點(diǎn)的位置呢？ 定義：節(jié)點(diǎn)I對(duì)邊為底的三角形面積為; 節(jié)點(diǎn)j對(duì)邊為底的三角形面積為; 節(jié)點(diǎn)k對(duì)邊為底的三角形面積為; 設(shè)三角形單元的面積為A 令 （2-37） 則三個(gè)比值，，稱為三角形單元中m點(diǎn)的面積坐標(biāo). 2.三角形面積坐標(biāo)的性質(zhì)： 1》 面積坐標(biāo)為三角形單元的局部坐標(biāo)，與三角形的形狀及位置無(wú)關(guān)。其定義域?yàn)?； 2》 三個(gè)面積坐標(biāo)之和：++=1.即只有兩個(gè)面積坐標(biāo)是獨(dú)立的。（2-38） 證明：++=++=（++）=1 （亦可幾何解釋）。 3》 三角形單元內(nèi)與jk邊平行的直線上各點(diǎn)相同（輪換）。（同底等高三角形=） 4》 形心處的面積坐標(biāo)為： ===1/3 （2-39） 5》 三角形單元節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)為： （2-40） 證：節(jié)點(diǎn)I: =A. ==0. 3.三角形面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)及形函數(shù)的關(guān)系 下面我們來(lái)推導(dǎo)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系： 設(shè)m點(diǎn)的坐標(biāo)為m(x,y),m 為任一點(diǎn) 則：= =（） =[（）+（）+（）] 顯然： ， ， =（） （2-41） 與表達(dá)式比較可知：三節(jié)點(diǎn)三角形單元的面積坐標(biāo)就是其形函數(shù)。（對(duì)于一般的情況：面積坐標(biāo)永遠(yuǎn)是線性坐標(biāo)而形函數(shù)可以是非線性的，以后我們可以把形函數(shù)用面積坐標(biāo)表示） 即=，， （2-42） 具有的全部性質(zhì) 式（2-41）還可寫(xiě)成矩陣的形式： 直面 （2-44） 這就是直角坐標(biāo)與面積坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 下面的結(jié)果留給大家自己證明： 面直 （2-45） 4． 面積坐標(biāo)函數(shù)的運(yùn)算 我們可以不加證明得地給出面積坐標(biāo)函數(shù)的微積運(yùn)算結(jié)果。（證明復(fù)雜麻煩用Г函數(shù)等） 1.偏導(dǎo) 設(shè)z=f(,,) =g(x,y) (I= I ,j ,k) 則： （2-46） 2． 面積分 （2-47） 其中，，為正整數(shù)； 0!1, A: 三角形面積 ex: (I= I ,j ,k) 3.線積分： （s為直線長(zhǎng)） （2-48） 以上公式要會(huì)用 注意表示的邊 五． 三角形單元的荷載移置 有了面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系，我們即可對(duì)荷載移置進(jìn)行計(jì)算了。 1． 集中力的移置 設(shè)m點(diǎn)作用有集中力 m點(diǎn)的形函數(shù)為： (I= I ,j ,k) 等效節(jié)點(diǎn)荷載為： 這就是三角形單元內(nèi)m點(diǎn)作用有的等效節(jié)點(diǎn)荷載。只要計(jì)算出(I= I ,j ,k)即可。作為特例，考慮三角形單元形心處重力的移置。 形心坐標(biāo)： ===0 ===-R 故：重力作用于形心時(shí)各節(jié)點(diǎn)均擔(dān)。 2. 體積力的移置 設(shè)單元作用有體力 則等效節(jié)點(diǎn)荷載為： = 若為x, y的函數(shù)，則把用面積坐標(biāo)表示（轉(zhuǎn)換） 在常體力的作用下有： === 即：常體力作用下，總體力均分三節(jié)點(diǎn)。 2． 面力的移置。 設(shè)三角形單元I ,j 邊上作用有梯形分布的面力q 由面力移置公式得：（可分別由節(jié)點(diǎn)合力表示及用節(jié)點(diǎn)分力表示） == （q為合力，非分力） 則 == q為x, y 的函數(shù)，把q 表示面積坐標(biāo)的函數(shù)有q= ，在門(mén)邊上是線性坐標(biāo)，可利用兩點(diǎn)式方程寫(xiě)出。 則：===== 同理： = ==+ 注意到在s上=0 =0 故：== 或：= 此法：1. 避免復(fù)雜的分離。 2. 便于編程計(jì)算。 特例：若分布荷載為三角形分布。令（或） 則有：= （近端為2 ，遠(yuǎn)端為1） 說(shuō)明：用以上積分的方法求等效節(jié)點(diǎn)荷載適用于任意節(jié)點(diǎn)的三角形單元，形函數(shù)也未必是線性的。 六． 三角形單元節(jié)點(diǎn)荷載的形成 經(jīng)過(guò)荷載處理后，我們已把非節(jié)點(diǎn)的荷載轉(zhuǎn)化為常點(diǎn)荷載。 實(shí)際計(jì)算的荷載為： 計(jì)算荷載=原節(jié)點(diǎn)荷載+等效節(jié)點(diǎn)荷載 即： （2-49） 等效節(jié)點(diǎn)荷載要注意： 1． 同時(shí)貢獻(xiàn)的問(wèn)題 2． 用哪個(gè)單元計(jì)算的問(wèn)題。 七．計(jì)算結(jié)果的整理： 有限元計(jì)算提供的結(jié)果一般為：1。節(jié)點(diǎn)位移 2。單元應(yīng)力 1． 節(jié)點(diǎn)位移的處理： 一般把節(jié)點(diǎn)位移按比例標(biāo)出，提供出結(jié)構(gòu)常點(diǎn)位移分布規(guī)律 1． 連成折線（線性位移函數(shù)） 2． 連成光滑曲線（實(shí)際變形） 2． 單元應(yīng)力的處理： 輸出的單元應(yīng)力一般為，，（形心處）（三節(jié)點(diǎn)Ⅱ單元為常應(yīng)力元，無(wú)所謂） 1． 變換為單元的主應(yīng)力。，, （材力） 2． 變換為節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的主應(yīng)力。 （） （平均法） Ex. 節(jié)點(diǎn)5的應(yīng)力為： 即：= （x, y, xy ） (,,)(,) 然后標(biāo)出應(yīng)力變化曲線。 計(jì)算結(jié)果的工作量隨結(jié)構(gòu)的單元，節(jié)點(diǎn)劃分增加面增大。 要關(guān)注的是：1）位移的變化規(guī)律 2）應(yīng)力的最大值及發(fā)生地點(diǎn)。 小概念：位移最大的地方，應(yīng)力未必最大。 八：有限元計(jì)算小結(jié)： 1． 基本原理： 連續(xù)法有限個(gè)節(jié)點(diǎn)連接，有限大小的單元的組合法。 建立的節(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)，總剛為系的ｎ階線性代數(shù)方程組。 2． 研究方法 （確定）節(jié)點(diǎn)位移單元位移單元應(yīng)變單元應(yīng)力 　　　　　　　　　　　　　　　　　 單剛總剛計(jì)算荷載（等效節(jié)點(diǎn)荷載） 　　　　　　 約束處理求解方程整理結(jié)果 ３．解答特點(diǎn)： １．假定單元內(nèi)的位移分布規(guī)律，近似離散的數(shù)值解。 ２．誤差主要來(lái)源于：結(jié)構(gòu)離散（連續(xù)離散），假定位移分布。 ３．收斂性：?jiǎn)卧s小劃分細(xì)密收斂于精確解。 Chap3. 平面問(wèn)題較精密單元的分析（矩形，高階單元，等參單元） 3-1． 問(wèn)題的提出 在三角形單元中，我們假定位移函數(shù)是線性的。即：?jiǎn)卧獌?nèi)的位移按線性規(guī)律變化。這是最簡(jiǎn)單，最基本的一個(gè)有限單元。而實(shí)際結(jié)構(gòu)中在外載荷的作用下位移分布常非按線性變化。 設(shè)單元位移曲線為圖示的f(x).顯然，用線性插值解的精度較差。提示解的精度的方法： 1． 增加單元，節(jié)點(diǎn)數(shù)（工作量大，費(fèi)用高） 2． 提高插值階數(shù) 因此，提出了用高階插值，高階單元的問(wèn)題 我們大家都知道,位移是一個(gè)連續(xù)函數(shù)（連續(xù)體），而任意的連續(xù)函數(shù)都是可以展成冪級(jí)數(shù)，用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示的。 因此，一個(gè)單元內(nèi)的位移分布為f(x)時(shí)，我們就可以取級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)來(lái)表示它。用二次三次函數(shù)來(lái)插值，以改善計(jì)算結(jié)果。 至于等參數(shù)單元（等參單元）是一種為清除曲邊誤差而 出的一種單元。 如果實(shí)際結(jié)構(gòu)為曲線邊界，則無(wú)論怎樣提高位移函數(shù)（插值）的階數(shù)也不能使解得到多大的改善。有限個(gè)直邊代替曲邊，終究是代替，而不會(huì)是相等。為了處理曲邊問(wèn)題，人們提出了等參單元的概念。有平面等參單元，空間等參單元等。我們只向大家介紹平面等參單元，以供了解。 3-2 四節(jié)點(diǎn)矩形單元的有限元分析。 矩形單元常用于規(guī)則邊界的有限元分析，它也是常用的一種有限單元。 一． 單元的位移函數(shù)。 設(shè)單元e為矩形單元，邊長(zhǎng)為2a,2b;其節(jié)點(diǎn)為I,j,k,m;為研究方便我們?nèi)【植孔鴺?biāo)系x-y如圖（原點(diǎn)在形心）。 1． 單元的自由度及位移函數(shù)： 4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)2 個(gè)自由度（位移）u,v，則單元的總自由度為8個(gè)。為保證單元的收斂性準(zhǔn)則，位移函數(shù)必須保證有常數(shù)項(xiàng)，線性項(xiàng)。 設(shè)位移函數(shù)為：（對(duì)稱性與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)） （U 關(guān)于坐標(biāo)對(duì)稱） （3-1） 其中xy項(xiàng)是根據(jù)pascal三角形及xy的對(duì)稱性選取（選二次項(xiàng)尚有協(xié)調(diào)問(wèn)題，選，項(xiàng)不行） 這樣，已知（i=1，2，3，4）這八個(gè)節(jié)點(diǎn)位移（i=1，2…8） 2.形函數(shù)的推導(dǎo)： 同理： 我們不難從前4個(gè)方程中解出，，，，具體做法： ①+②： ①+②：v ③+④： ②-①: v ①- ②: v ③-④ v = = u= 令： （3-2） 則： （3-3） 式（3-2）稱為節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)；式（3-2）尚可寫(xiě)為： (I =I, j, k, m) (3-4) 式（3-3）為節(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移函數(shù)。 式（3-3）還可以寫(xiě)成矩陣的形式 = （3-5） 式中：= （3-6） 二. 形函數(shù)的性質(zhì)： 1．形函數(shù)（I =I, j, k, m）在節(jié)點(diǎn)I 上=1,在其余節(jié)點(diǎn)上=0 （輪換） 即在 節(jié)點(diǎn)I ：=1 節(jié)點(diǎn)j: =0 (j)= = 節(jié)點(diǎn)k: =0 節(jié)點(diǎn)m: =0 證明： （i=I, j, k, m） 在節(jié)點(diǎn)i x=,y=時(shí)： =1 j, k, m各節(jié)點(diǎn)至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)x=-或y=-故=0 （i=j, k, m） 同理可得到全部結(jié)果。 2．4個(gè)形函數(shù)之和：+++ 證明： 寫(xiě)出形函數(shù)（，的符號(hào)與該點(diǎn)的，相同） +++= ==1 因此：4個(gè)形函數(shù)只有3 個(gè)是獨(dú)立的。 在I j邊上，，0（節(jié)點(diǎn)除外），==0 （輪換）（一條邊上的四個(gè)） 證明： 在I j邊上，y=, (x-) 在I, j 邊上，y= （x-） I, j邊上 y===- =0 同理：I, j邊上：=0。 證畢 4．在4 條邊界上的性質(zhì)（節(jié)點(diǎn)除外） 在包含節(jié)點(diǎn)I 的邊界上，0，否則=0。（輪換）（四條邊上的一個(gè)） 證明：性質(zhì)3 的另一種表述 在包含節(jié)點(diǎn) I 的邊界上： X=， 或 y= 顯然有： （y）或 （節(jié)點(diǎn)j, m除外） 在不包含節(jié)點(diǎn)I 的邊界上： X=- 或y=- 顯然：=0 得證 由以上的性質(zhì)，我們可以描述的幾何圖形。 三． 位移函數(shù)的性質(zhì) 1． 位移函數(shù)是雙線性的 位移函數(shù)： 顯然, u, v包含坐標(biāo)x y的二次項(xiàng)x y，但當(dāng)x=const 或y=const時(shí) U,V都是一個(gè)線性函數(shù)。 即： 在單元內(nèi)任一點(diǎn)，無(wú)論沿x方向變化（此時(shí)y=const）或沿y 方向變化（x=const） u, v 都是線性的。 2． 位移函數(shù)解滿足收斂準(zhǔn)則： ① 解反映單元的剛體位移。（位移=剛+彈） 位移函數(shù) 寫(xiě)成如下的形式： 顯然：第一項(xiàng)，與x, y無(wú)關(guān)。反映了單元內(nèi)各點(diǎn)沿x, y方向的剛體位移。 若令: w=,則w反映單元內(nèi)各點(diǎn)繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 ② 解反映單元的常應(yīng)變 由幾何方程： 顯然，，分別反映了沿x, y方向的常應(yīng)變；反映了（）常量的剪切應(yīng)變。 面和分別反映了線性變化的，，。（，0） ，反映單元的剛體移動(dòng)。 -——反映單元的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。 一般：位移函數(shù)只要包含++ 選擇變量的一次式，則必須保證收斂性。 單元內(nèi)各應(yīng)變都不是常量，你如何能解釋其收斂？ 解釋：當(dāng)單元尺寸逐步縮小時(shí)，單元內(nèi)各點(diǎn)x, y的變化必然很小。 以為例： 單元尺寸逐步縮小單元內(nèi)逐步縮小 可以保證單元內(nèi)以為基準(zhǔn)，收斂于附近。 （0） 否則： 若=0，則=在y=0處=0y=0處，永遠(yuǎn)僅發(fā)生剛體位移。 同理可知：，的意義。 由于有，0的存在，四邊形單元稱為非常應(yīng)變單元。 ③ 位移函數(shù)在單元內(nèi)連續(xù)，在邊界上與相鄰單元協(xié)調(diào)。 證明：u, v是連續(xù)的——明顯 由于u, v是雙線性函數(shù)，而單元的每條邊界都滿足x=const 或y=const. 因此：在每條邊界上： u, v都是一個(gè)線性函數(shù)。 設(shè)，為相鄰單元; 的節(jié)點(diǎn)為：I, j, k, m，的節(jié)點(diǎn)為：I, p, q, j. 則I, j為公共邊界。