【高考前三個(gè)月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 數(shù)學(xué)思想方法】專題10 第44練
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第44練函數(shù)與方程思想思想方法解讀1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想,是用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn),分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識,建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決的思想方法.(2)方程的思想,就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決的思想方法.2.函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用(1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化,對函數(shù)yf(x),當(dāng)y0時(shí),就化為不等式f(x)0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題,而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式.(2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要.(3)解析幾何中的許多問題,需要通過解二元方程組才能解決.這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.(4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決,建立空間直角坐標(biāo)系后,立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切.??碱}型精析題型一利用函數(shù)與方程思想解決圖象交點(diǎn)或方程根等問題例1已知函數(shù)f(x)x22ext1,g(x)x (x0),其中e表示自然對數(shù)的底數(shù).(1)若g(x)m有實(shí)根,求m的取值范圍;(2)確定t的取值范圍,使得g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根.點(diǎn)評函數(shù)圖象的交點(diǎn)、函數(shù)零點(diǎn)、方程的根三者之間可互相轉(zhuǎn)化,解題的宗旨就是函數(shù)與方程的思想.方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn),反之函數(shù)零點(diǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題也可轉(zhuǎn)化為方程根的問題.變式訓(xùn)練1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)且f(x2)f(x),g(x),則方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實(shí)根之和為()A.5 B.6C.7 D.8題型二函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用例2已知函數(shù)f(x)ln xx1,g(x)x22bx4,若對任意x1(0,2),x21,2,不等式f(x1)g(x2)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為_.點(diǎn)評不等式恒成立問題的處理方法在解決不等式恒成立問題時(shí),一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題.同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中,需要確定合適的變量和參數(shù),從而揭示函數(shù)關(guān)系,使問題更明朗化.一般地,已知存在范圍的量為變量,而待求范圍的量為參數(shù).變式訓(xùn)練2設(shè)f(x)ln x1.證明:(1)當(dāng)x1時(shí),f(x)(x1);(2)當(dāng)1x3時(shí),f(x)0或0中,即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍.第五步:回顧反思.在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí),無論題目中有沒有涉及求參數(shù)的取值范圍,都不能忽視了判別式對某些量的制約,這是求解這類問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).變式訓(xùn)練4如圖所示,設(shè)橢圓C1:1的左,右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,下頂點(diǎn)為A,線段OA的中點(diǎn)為B(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若拋物線C2:ymx2n(m0,n0)與y軸的交點(diǎn)為B,且經(jīng)過F1,F(xiàn)2兩點(diǎn).(1)求拋物線C2的方程;(2)設(shè)M,N為拋物線C2上的一動點(diǎn),過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P,Q兩點(diǎn),求MPQ的面積的最大值.高考題型精練1.若2x5y2y5x,則有()A.xy0 B.xy0C.xy0 D.xy02.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是()A.15,20 B.12,25C.10,30 D.20,303.滿足條件AB2,ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_.4.已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)x24x,那么,不等式f(x2)0,所以g(x)x22e,等號成立的條件是xe.故g(x)的值域是2e,),因而只需m2e,g(x)m就有實(shí)根.方法二作出g(x)x (x0)的圖象,如圖所示,觀察圖象可知g(x)的最小值為2e,因此要使g(x)m有實(shí)根,則只需m2e.方法三由g(x)m,得x2mxe20,故等價(jià)于故m2e.(2)若g(x)f(x)0有兩個(gè)相異的實(shí)根,則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)閒(x)x22ext1(xe)2t1e2,所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線xe,開口向下,最大值為t1e2.由題意,作出g(x)x (x0)及f(x)x22ext1的大致圖象,如圖所示.故當(dāng)t1e22e,即te22e1時(shí),g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根.所以t的取值范圍是(e22e1,).變式訓(xùn)練1C g(x)2,由題意知函數(shù)f(x)的周期為2,則函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間5,1上的圖象如圖所示:由圖象知f(x)、g(x)有三個(gè)交點(diǎn),故方程f(x)g(x),在x5,1上有三個(gè)根xA、xB、xC,xB3,2,xAxC4,xAxBxC7.例2解析問題等價(jià)于f(x)ming(x)max.f(x)ln xx1,所以f(x),令f(x)0得x24x30,解得1x3,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,3),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)和(3,),故在區(qū)間(0,2)上,x1是函數(shù)的極小值點(diǎn),這個(gè)極小值點(diǎn)是唯一的,故也是最小值點(diǎn),所以f(x)minf(1).由于函數(shù)g(x)x22bx4,x1,2.當(dāng)b2時(shí),g(x)maxg(2)4b8.故問題等價(jià)于或或解第一個(gè)不等式組得b1時(shí),g(x)0.又g(1)0,所以有g(shù)(x)0,即f(x)(x1).(2)記h(x)(x5)f(x)9(x1),則當(dāng)1x3時(shí),由(1),得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x3x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此h(x)在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減.又h(1)0,所以h(x)0,即f(x)0恒成立,所以f(x)在1,)上是增函數(shù),故當(dāng)x1時(shí),f(x)minf(1)3,即當(dāng)n1時(shí),(bn)max,要使對任意的正整數(shù)n,不等式bnk恒成立,則須使k(bn)max,所以實(shí)數(shù)k的最小值為.變式訓(xùn)練3B解析f1(x)x24x4(x2)2,有1個(gè)零點(diǎn)2,由f2(x)0可得f1(x)2,則x2或x2,即yf2(x)有2個(gè)零點(diǎn),由f3(x)0可得f2(x)2或2,則(x2)22或(x2)22,即yf3(x)有4個(gè)零點(diǎn),以此類推可知,yfn(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)an2n1.故選B.例4解(1)設(shè)橢圓C的方程為1 (ab0),設(shè)c0,c2a2b2,由題意,知2b,所以a1,bc.故橢圓C的方程為y21,即y22x21.(2)設(shè)直線l的方程為ykxm (k0),l與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k22)x22kmx(m21)0,(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0,(*)x1x2,x1x2.因?yàn)?,所以x13x2,所以則3(x1x2)24x1x20,即3240,整理得4k2m22m2k220,即k2(4m21)2m220,當(dāng)m2時(shí),上式不成立;當(dāng)m2時(shí),k2,由(*)式,得k22m22,又k0,所以k20,解得1m或m0,滿足題意.綜上,可知MPQ的面積的最大值為.高考題型精練1.B 把不等式變形為2x5x2y5y,構(gòu)造函數(shù)y2x5x,其為R上的增函數(shù),所以有xy,即xy0.2.C 如圖,ADEABC,設(shè)矩形的另一邊長為y,則22,所以y40x,由題意知xy300,即x(40x)300,整理得x240x3000,解不等式得10x30.3.2解析可設(shè)BCx,則ACx,根據(jù)面積公式得SABCx,由余弦定理計(jì)算得cos B,代入上式得SABCx .由得22x22.故當(dāng)x2時(shí),SABC最大值為2.4.x|7x3解析令x0,x0時(shí),f(x)x24x,f(x)(x)24(x)x24x,又f(x)為偶函數(shù),f(x)f(x),x0時(shí),f(x)x24x,故有f(x)再求f(x)5的解集,由得0x5;由得5x0,即f(x)5的解集為(5,5).由于f(x)向左平移兩個(gè)單位即得f(x2),故f(x2)5的解集為x|7x0,(x)在(0,1上遞增,(x)max(1)6,a6.當(dāng)x2,0)時(shí),a,amin.仍設(shè)(x),(x).當(dāng)x2,1)時(shí),(x)0.當(dāng)x1時(shí),(x)有極小值,即為最小值.而(x)min(1)2,a2.綜上知6a2.6.(1)解由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x1,當(dāng)n2時(shí),f(x)aln(x1),所以f(x).當(dāng)a0時(shí),由f(x)0得x111,x211,此時(shí)f(x).當(dāng)x(1,x1)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x1處取得極小值,極小值為f(1)(1ln );當(dāng)a0時(shí),f(x)0時(shí),函數(shù)f(x)有極值,且為極小值(1ln );當(dāng)a0時(shí),f(x)無極值.(2)證明因?yàn)閍1,所以f(x)ln(x1).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令g(x)x1ln(x1),則g(x)10(x2).所以當(dāng)x2,)時(shí),g(x)單調(diào)遞增,又g(2)0,因此g(x)x1ln(x1)g(2)0恒成立,所以f(x)x1成立.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),要證f(x)x1,由于0,所以當(dāng)x2時(shí),恒有h(x)0,即ln(x1)x1命題成立.綜上所述,結(jié)論成立.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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