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二維圖形的顯示流程圖,所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由n+1維向量表示一個n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為（hP1,hP2,?hPn,h）.1、h可以取不同的值，所以同一點的齊次坐標(biāo)不是唯一的。如普通坐標(biāo)系下的點（2,3）變換為齊次坐標(biāo)可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對多”由普通坐標(biāo)?h→齊次坐標(biāo)由齊次坐標(biāo)h→普通坐標(biāo)3、當(dāng)h=1時產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化坐標(biāo)”，因為前n個坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的n維坐標(biāo)。,齊次坐標(biāo),齊次坐標(biāo),(x,y)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為(x,y)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線,三維幾何變換,三維齊次坐標(biāo)(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)右手坐標(biāo)系,三維幾何變換,變換矩陣平移變換比例變換,三維變換矩陣-對稱變換,在二維變換下，對稱變換是以線和點為基準(zhǔn)，在三維變換下，對稱變換則是以面、線、點為基準(zhǔn)的。對稱于XOY平面[xyz1]=[xy-z1]=對稱于YOZ平面[xyz1]=[-xyz1]=對稱于XOZ平面[xyz1]=[x-yz1]=,[xyz1],[xyz1],[xyz1],三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換,繞X軸變換空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各點的X坐標(biāo)不變，只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。x=xy=ρcos(α+θ)=y*cosθ-z*sinθz=ρsin(α+θ)=y*sinθ+z*cosθ,,,,X,Y,Z,,,,(y,z),(yz),θ,,,,,,,,,θ,Y,α,O,O,(yz),(y,z),Z,三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換,矩陣表示為：遵循右手法則，即若θ>0，大拇指指向軸的方向，其它手指指的方向為旋轉(zhuǎn)方向。,三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換,繞Y軸旋轉(zhuǎn)此時，Y坐標(biāo)不變，X，Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。x=ρsin(α+θ)=x*cosθ+z*sinθy=yz=ρcos(α+θ)=z*cosθ-x*sinθ,,,,X,Y,Z,,,,(x,z),(xz),,,,,,,,,θ,X,α,O,O,Z,三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換,矩陣表示為,三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換,繞Z軸旋轉(zhuǎn)此時，Z坐標(biāo)不變，X，Y坐標(biāo)相應(yīng)變化。x=ρcos(α+θ)=x*cosθ-y*sinθy=ρsin(α+θ)=x*sinθ+y*cosθz=z,,,,X,Y,Z,,,(x,y),(xy),,,,,,,θ,X,Y,,,,α,O,O,三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換,矩陣表示為：,繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換,a)繞過原點的任意軸的旋轉(zhuǎn)變換空間點P(x,y,z)繞過原點的任意軸ON逆時針旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)變換?；舅枷耄阂騉N軸不是坐標(biāo)軸，應(yīng)設(shè)法旋轉(zhuǎn)該軸，使之與某一坐標(biāo)軸重合，然后進(jìn)行旋轉(zhuǎn)θ角的變換，最后按逆過程，恢復(fù)該軸的原始位置。,繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換,解：令ON為單位長度，其方向余弦為：α、β、γ為ON軸與各坐標(biāo)軸的夾角。變換過程如下：1)讓ON軸繞z軸旋轉(zhuǎn)-α，使之在XOZ平面上。其中,,,繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換,因此,繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換,2）讓在XOZ平面上的ON繞y軸旋轉(zhuǎn)-γ,使之與z軸重合。其中因此,繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換,3）P點繞ON軸（即z軸）逆時針旋轉(zhuǎn)θ角4）ON軸繞y軸旋轉(zhuǎn)γ5）ON軸繞z軸旋轉(zhuǎn)α因此b)繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換上面的ON軸若不過原點，而是過任意點(x0,y0,z0)，變換如何呢？,實例解答：P-45習(xí)題9將一組點正投影到任意平面上。分析：若能將該平面與一坐標(biāo)平面重合，則可以求點對坐標(biāo)平面的正投影，在對點進(jìn)行逆變換就可以得到該點在給定平面上的投影。1）設(shè)該平面法向量為（a,b,c)，平面上一點為（x0,y0,z0），平移該點到坐標(biāo)原點。得到平移變換T12）旋轉(zhuǎn)其法向量與z軸重合，則該平面與xoy面重合。得到旋轉(zhuǎn)變換R(-α)與R(-γ)3）對給定點求在xoy面上的正投影，得到投影變換T24）對經(jīng)過變換的點再依次做逆變換。整個過程為：由于與只是坐標(biāo)不同，不改變投影點之間的相對位置，所以可以將在窗口繪出。,透視的基本知識,圖中，AA,BB,CC為一組高度和間隔都相等，排成一條直線的電線桿，從視點E去看，發(fā)現(xiàn)∠AEA?>∠BEB?>∠CEC?若在視點E與物體間設(shè)置一個透明的畫面P,讓P通過AA，則在畫面上看到的各電線桿的投影aa>bb>ccaa即EA,EA與畫面P的交點的連線;bb即為EB，EB與畫面P的交點的連線。cc即為EC，EC與畫面P的交點的連線?！嘟筮h(yuǎn)小,透視的基本知識,若連a,b,c及a,b,c各點，它們的連線匯聚于一點。然而，實際上，A,B,C與A?，B?，C?的連線是兩條互相平行的直線，這說明空間不平行于畫面(投影面）的一切平行線的透視投影，即a,b,c與a,b,c的連線，必交于一點，這點我們稱之為滅點。,透視投影,1觀察點在原點，投影面垂直于z軸的透視投影變換。設(shè)投影面方程為z=z0，被投影點坐標(biāo)為(x,y,z,1),得到的投影點為(x’,y’,z0,1),則有：透視投影變換矩陣為：,,,,,,,,,,,,,,,y,x,z,o,三、任意視點透視變換設(shè)視點P(a,b,c),PO為投射方向，進(jìn)行坐標(biāo)系變換，使得PO為z軸，P為原點。變換過程為：1）將用戶坐標(biāo)系平移到視點，得到平移變換T12）令新坐標(biāo)系繞x’軸逆轉(zhuǎn)90，則形體上的點是順轉(zhuǎn)90，得到旋轉(zhuǎn)變換T23）再將新坐標(biāo)系繞y’旋轉(zhuǎn)θ角，此時θ大于180，形體逆轉(zhuǎn)θ令,4）再令新坐標(biāo)系繞x’順轉(zhuǎn)β，形體逆轉(zhuǎn)β5）右手坐標(biāo)系變左手坐標(biāo)系，z反向。所以透視投影變換公式,窗口視圖變換：,實例分析P45-8計算從任意視點將一組點透視投影到任意平面。設(shè)視點E[xp,yp,zp]，EO為投影平面的法向量，投影面距視點為h，則程序步驟為：1.將原點平移到視點：設(shè)置平移矩陣T12.進(jìn)行視坐標(biāo)系變換：計算矩陣V3.進(jìn)行投影變換：計算投影變換矩陣T24.窗口視圖變換：設(shè)置矩陣T35.計算每個點的投影坐標(biāo)：P’=PT1VT2Ps=P’T36.在屏幕上繪制點以長方體為例，標(biāo)清8個頂點之間的關(guān)系，在繪制點時，繪制長方體的邊。,透視投影的技巧,一點透視圖的生成在生成一點透視圖時，為了避免將物體安置在坐標(biāo)系原點，而產(chǎn)生下圖所示的透視效果，通常在透視變換前，先將立體作一平移變換。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,透視投影的技巧,其變換過程如下：1）先作平移變換；2）再作透視變換；3）最后將結(jié)果投影到投影面。由于往XOZ平面上投影，故一點透視變換的滅點選在Y軸上。以下是其變換公式。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,透視投影的技巧,三維圖形的顯示流程圖,