經(jīng)濟數(shù)學微積分.ppt
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,一、定積分的元素法,二、平面圖形的面積,第七節(jié)定積分的幾何應用,三、旋轉體的體積,四、平行截面面積已知的立體的體積,五、小結,回顧,曲邊梯形求面積的問題,一、定積分的元素法,面積元素,這個方法通常叫做元素法,應用方向:,平面圖形的面積,體積。,經(jīng)濟應用。其他應用。,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析?,,,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析?,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析?,第二步:寫出面積表達式。,二、平面圖形的面積,如何用元素法分析?,平面曲線的函數(shù)表達式:,(1)曲線可表示為函數(shù):y=f(x),設曲線上任意一點為(x,y).則曲線的函數(shù)表達式分為,x,y,x,y,(2)曲線可表示為函數(shù):x=f(y),x,y,y,x,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,平面圖形的面積,則橢圓的面積為,解:設橢圓在第一象限的面積為S1。,例,平面圖形的面積,2,平面圖形的面積,2,平面圖形的面積,2,c,平面圖形的面積,2,c,解:由對稱性,圖形面積是第一象限部分的兩倍。,S=2,例,下頁,解:由對稱性,圖形面積是第一象限部分的兩倍。,S=2,=2,例,下頁,平面圖形的面積,3,平面圖形的面積,3,平面圖形的面積,平面圖形的面積,二、立體的體積,設一立體在x軸上的投影區(qū)間為a,b,過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù),求此立體的體積。,立體的體積元素為:,所求立體的體積為:,dV=S(x)dx。,下頁,1.已知平行截面面積求立體的體積,1.已知平行截面面積求立體的體積,二、立體的體積,設立體在y軸上的投影區(qū)間為c,d,過y點垂直于y軸的截面面積S1(y)是y的連續(xù)函數(shù),求此立體的體積。,立體的體積為:,下頁,設一立體在x軸上的投影區(qū)間為a,b,過x點垂直于x軸的截面面積S(x)是x的連續(xù)函數(shù),求此立體的體積。,討論:旋轉體的體積怎樣求?,答案:,下頁,2.旋轉體的體積,x,區(qū)間a,b上截面積為S(x)的立體體積:,(1)由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、xb及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體。,討論:旋轉體的體積怎樣求?,答案:,下頁,2.旋轉體的體積,y,區(qū)間c,d上截面積為S1(y)的立體體積:,(2)由連續(xù)曲線xj(y)、直線yc、yd及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉一周而成的立體。,xj(y),曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積:,解:橢圓繞x軸旋轉產(chǎn)生的旋轉體的體積:,下頁,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積:,解:橢圓繞y軸旋轉產(chǎn)生的旋轉體的體積:,下頁,曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積:,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積:,例2連接坐標原點O及點P(h,r)的直線、直線xh及x軸圍成一個直角三角形將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體。計算這圓錐體的體積。,所求圓錐體的體積為,解:,首頁,曲線y=f(x)繞x軸旋轉而成的立體體積:,曲線x=j(y)繞y軸旋轉而成的立體體積:,解,兩曲線的交點,面積元素,選為積分變量,解,兩曲線的交點,選為積分變量,于是所求面積,說明:注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式,問題:,積分變量只能選嗎?,觀察下列圖形,選擇合適的積分變量求其面積:,考慮選擇x為積分變量,如何分析面積表達式?,觀察下列圖形,選擇合適的積分變量:,考慮選擇y為積分變量,如何分析面積表達式?,解,兩曲線的交點,選為積分變量,解,橢圓的參數(shù)方程,由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積,旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉一周而成的立體這直線叫做旋轉軸,圓柱,三、旋轉體的體積(volumeofbody),(1),圓錐,圓臺,三、旋轉體的體積(volumeofbody),(3),(2),旋轉體的體積為,解,直線方程為,解,解,0,1,x,y,補充,利用這個公式,可知上例中,解,體積元素為,如果一個立體不是旋轉體,但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積,那么,這個立體的體積也可用定積分來計算.,立體體積,四、平行截面面積已知的立體的體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,解,取坐標系如圖,底圓方程為,截面面積,立體體積,五、小結,定積分的元素法,平面圖形的面積,旋轉體的體積,平行截面面積已知的立體的體積,思考題1,思考題1解答,兩邊同時對求導,積分得,所以所求曲線為,曲線y=f(x)及直線y=kx+b,所圍成的曲邊梯形,求D繞直,線y=kx+b旋轉所成立體的體積.,上有連續(xù)導數(shù),D為,思考題2,如右圖示,曲線在M點處的切線MT為:,思考題2解答,應用定積分的元素法,考慮子區(qū)間x,x+dx.設相,應于x,x+dx的曲線弧段在直線L上的投影長為dl,則當子區(qū)間的長充分小時,取切線MT上對應于右,端點x+dx的點到垂線,的距離為dl,則,而M點到直線L的距離為,從而得,所以曲邊梯形D繞直線L旋轉所成立體體積為,思考題3,思考題3解答,交點,立體體積,練習題,!,練習題答案,- 配套講稿:
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