中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 專題四 猜想與證明試題
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專題四 猜想與證明 命題規(guī)律 1.猜想與證明問題懷化中考近7年共考查5次，都是以解答題的形式出現(xiàn)． 2．考查類型：(1)與圖形的位似有關(guān)，探究?jī)蓷l邊之間的關(guān)系；(2)與尺規(guī)作圖有關(guān)，利用正方形的性質(zhì)探究邊與邊之間的關(guān)系，其中有一問會(huì)涉及到如何作圖；(3)與旋轉(zhuǎn)有關(guān)，主要是利用旋轉(zhuǎn)前后的性質(zhì)，分別涉及到直線和正方形；(4)折疊問題主要是折疊過程中對(duì)圖形變化具體情況的分析，與圖形的折疊、平移有關(guān)． 命題預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2017年懷化中考仍會(huì)重點(diǎn)考查此內(nèi)容，在訓(xùn)練時(shí)多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有關(guān)的知識(shí)的綜合題. ,中考重難點(diǎn)突破) 與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題 【例1】在圖①至圖③中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2＝45. (1)如圖①，若AO＝OB，請(qǐng)寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； (2)將圖①中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖②，其中AO＝OB.求證：AC＝BD，AC⊥BD； (3)將圖②中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖③，求的值． 【學(xué)生解答】(1)AO＝BD，AO⊥BD；(2)如圖②，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，∴∠ACO＝∠BEO.又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC＝BE.又∵∠1＝45，∴∠ACO＝∠BEO＝135.∴∠DEB＝45，∵∠2＝45，∴BE＝BD，∠EBD＝90.∴AC＝BD.延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖②，∵BE∥AC，∴∠AFD＝90，∴AC⊥BD；(3)如圖③，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于點(diǎn)E，∴∠BEO＝∠ACO.又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.∴＝.又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得BE＝BD，∴＝k. 【點(diǎn)撥】(1)在探索兩線段的數(shù)量關(guān)系時(shí)常以三角形全等或者相似為工具，由對(duì)應(yīng)角的關(guān)系得到兩線段相等或者成對(duì)應(yīng)比例．有時(shí)需先進(jìn)行等量代換，將兩線段放到相似三角形或全等三角形中，若出現(xiàn)直角三角形，則利用直角三角形的性質(zhì)求解． (2)兩線段的位置關(guān)系通常為平行或垂直．先觀察圖形，根據(jù)圖形先推測(cè)兩線段的位置關(guān)系是平行或垂直．若平行，則常通過以下方法進(jìn)行證解：①平行線的判定定理；②平行四邊形對(duì)邊平行；③三角形中位線性質(zhì)等．若垂直，則可考慮以下途徑：①證明兩線段所在直線夾角為90；②兩線段是矩形的鄰邊；③兩線段是菱形的對(duì)角線；④勾股定理的逆定理；⑤利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)等方式證明． 1．(2016會(huì)同模擬)已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過B，M，C分別作BD⊥m于點(diǎn)D，ME⊥m于點(diǎn)E，CF⊥m于點(diǎn)F. (1)當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，如圖①，易證EM＝____CF；(不需證明) (2)當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖②、圖③的位置時(shí)，線段BD，ME，CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明． 解：圖②的結(jié)論為：ME＝(BD＋CF)，圖③的結(jié)論為：ME＝(CF－BD)．圖②的結(jié)論證明如下：如解圖①，連接DM并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于K，易證△DBM≌△KCM(ASA)，∴DB＝KC，DM＝KM，由題意知：ME＝FK，∴ME＝(CF＋CK)＝(CF＋DB)；圖③的結(jié)論證明如下：如解圖②，連接DM并延長(zhǎng)交FC于K.易證△DBM≌△KCM(ASA)，∴DB＝KC，DM＝KM，由題意知：EM＝FK，∴ME＝(CF－CK)＝(CF－DB)． 與圖形相似、位似有關(guān)的問題 【例2】如圖①，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，分別以B，C為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同側(cè)． (1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為________；AE和ED的位置關(guān)系為________； (2)在圖①中，以點(diǎn)E為位似中心，作△EGF與△EAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GH，HD，分別得到圖②和圖③. ①在圖②中，點(diǎn)F在BE上，△EGF與△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中點(diǎn)．求證：GH＝HD，GH⊥HD； ②在圖③中，點(diǎn)F在BE的延長(zhǎng)線上，△EGF與△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，請(qǐng)直接寫出CH的長(zhǎng)為多少時(shí)，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代數(shù)式表示) 【解析】(1)由△ABE≌△DCE可得，AE＝DE.由AB＝BE＝EC＝CD，可知∠AEB＝∠DEC＝45，所以∠AED＝90，故AE⊥ED；(2)由△HGF≌△DHC可證GH＝HD，GH⊥HD；由BC＝2，可知BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴當(dāng)CH＝k時(shí)可得CH＝FG＝k，從而證明△HFG≌△DCH，得到GH＝HD，GH⊥HD. 【學(xué)生解答】解：(1)AE＝ED，AE⊥ED；(2)①由題意，∠B＝∠C＝90，AB＝BE＝EC＝DC.∵△EGF與△EAB位似且相似比是1∶2，∴∠GFE＝∠B＝90，GF＝AB，EF＝EB.∴∠GFE＝∠C.∵EH＝HC＝EC.∴GF＝HC，F(xiàn)H＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝CD.∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.又∵∠HDC＋∠DHC＝90，∴∠GHF＋∠DHC＝90，∴∠GHD＝90，∴GH⊥HD；②CH的長(zhǎng)為k，恰好使GH＝HD且GH⊥HD.理由如下：∵當(dāng)GH＝HD，GH⊥HD時(shí)，∴∠FHG＋∠DHC＝90，∵∠FHG＋∠FGH＝90，∴∠FGH＝∠DHC，∴在Rt△GFH和Rt△HCD中，∴△GFH≌△HCD，∴CH＝FG，∵EF＝FG，∴EF＝CH，∵△EGF與△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，∴BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴CH的長(zhǎng)為k. 2．已知直線MN與線段AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)C在直線MN上，且∠ACN＝135，以點(diǎn)O為位似中心，作△BOD與△AOC位似． (1)如圖①，若△BOD與△AOC的位似比為1∶3，寫出AC與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系； (2)在圖②中，若△BOD與△AOC的位似比為1∶1，∠BEM＝45，寫出AC與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明； (3)在圖③中，若△BOD與△AOC的位似比為k∶1，∠BEM＝45，求BE∶AC的值． 解：(1)AC∥BD，AC∶BD＝3∶1；(2)AC＝BE，AC⊥BE.證明如下：∵△BOD與△AOC位似且位似比為1∶1，∴△AOC≌△BOD，∴∠ACO＝∠BDO＝135，AC＝BD.∴∠BDE＝45，又∵∠BEM＝45，∴∠BDE＝∠BEM，∴BD＝BE，BD⊥BE，∴AC＝BE，AC⊥BE；(3)∵△BOD與△AOC位似且位似比為k∶1.∴△AOC∽△BOD，∴∠ACO＝∠BDO＝135，BD∶AC＝k∶1，∴∠BDE＝45，又∵∠BEM＝45，∴∠BDE＝∠BEM，∴BD＝BE，BD⊥BE，∴BE∶AC＝k∶1. 與圖形折疊、平移有關(guān)的問題 【例3】圖①和圖②中，優(yōu)弧AB所在⊙O的半徑為2，AB＝2.點(diǎn)P為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A，B重合)，將圖形沿BP折疊，得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′. (1)點(diǎn)O到弦AB的距離是________，當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，∠ABA′＝________； (2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí)，如圖②，求折痕BP的長(zhǎng)； (3)若線段BA′與優(yōu)弧AB只有一個(gè)公共點(diǎn)B，設(shè)∠ABP＝α，確定α的取值范圍． 【解析】(1)作垂線OC，即為O到AB的距離．根據(jù)垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形邊角關(guān)系以及三角函數(shù)即可得解．(2)由(1)得OC長(zhǎng)度以及半徑OB長(zhǎng)度，即可求出∠OBC的正弦值，從而求得∠OBC.再利用∠ABP與∠OBC的關(guān)系求出∠OBP的角度，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系計(jì)算即可．(3)在折疊過程中，BP有4個(gè)特殊位置，點(diǎn)A′落在以B為圓心、BA為半徑的虛線圓弧上，觀察圖形由線段BA′與圓心O的位置可確定α的范圍． 【學(xué)生解答】解：(1)1；60.解法提示：如解圖①，過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，連接OA，則∠OCA＝90，AC＝AB＝2＝.∵OA＝2，∴OC＝＝＝1.當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，在Rt△OCB中，sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠ABA′＝2∠OBC＝230＝60； (2)如解圖②，作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，∵BA′與⊙O相切，∴∠OBA′＝90，在Rt△OBC中，OB＝2，OC＝1，∴sin∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30，∴∠ABP＝∠ABA′＝(∠OBA′＋∠OBC)＝60，∴∠OBP＝30.作OD⊥BP于點(diǎn)D，則BP＝2BD.∴BD＝OBcos30＝，∴BP＝2；(3)∵點(diǎn)P，A不重合，∴α>0.由(1)得，當(dāng)α增大到30時(shí)，點(diǎn)A′在上，∴當(dāng)0<α<30時(shí)，點(diǎn)A′在⊙O內(nèi)，線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.由(2)知，α增大到60時(shí)，BA′與⊙O相切，即線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B，但點(diǎn)P，B不重合，∴∠OBP<90.∵α＝∠OBA＋∠OBP，∠OBA＝30，∴α<120.∴當(dāng)60≤α<120時(shí)，線段BA′與只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述，α的取值范圍是0<α<30或60≤α<120. 【點(diǎn)撥】解本題第(3)問的關(guān)鍵在于折疊過程中對(duì)圖形變化具體情況的分析，也是對(duì)第(1)、(2)問情況的綜合．在分類討論α的最大取值時(shí)，很難想象出優(yōu)弧AB完全折疊過去時(shí)的情況，即P點(diǎn)即將與B點(diǎn)重合時(shí)α的數(shù)值，可以先在圖中畫出點(diǎn)P、B重合時(shí)的情況，重合時(shí)α為一個(gè)臨界點(diǎn)，找到此臨界點(diǎn)，再使α小于此臨界點(diǎn)即可解決． 3．(2015天津中考)將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，0)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)O(0，0)．過邊OA上的動(dòng)點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)O，A重合)作MN⊥AB于點(diǎn)N，沿著MN折疊該紙片，得頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′.設(shè)OM＝m，折疊后的△A′MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S. (1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)A′與頂點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)A′落在第二象限時(shí)，A′M與OB相交于點(diǎn)C，試用含m的式子表示S； (3)當(dāng)S＝時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)． 解：(1)在Rt△ABO中，點(diǎn)A(，0)，點(diǎn)B(0，1)，點(diǎn)O(0，0)，∴OA＝，OB＝1.由OM＝m，得AM＝OA－OM＝－m.根據(jù)題意，由折疊可知△BMN≌△AMN，∴BM＝AM＝－m.在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2＝OB2＋OM2，得(－m)2＝1＋m2，解得m＝.∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，0)；(2)在Rt△ABO中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30，由MN⊥AB，得∠MNA＝90.∴在Rt△AMN中，得MN＝AMsin∠OAB＝(－m)，AN＝AMcos∠OAB＝(－m)．∴S△AMN＝MNAN＝(－m)2.由折疊可知△A′MN≌△AMN，有∠A′＝∠OAB＝30，∴∠A′MO＝∠A′＋∠OAB＝60.∴在Rt△COM中，得CO＝OMtan∠A′MO＝m.∴S△COM＝OMCO＝m2，又S△ABO＝OAOB＝，∴S＝S△ABO－S△AMN－S△COM＝－(－m)2－m2，即S＝－m2＋m＋(0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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