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圖形折疊問題 一 選擇題： 1.如圖，E是矩形ABCD中BC邊的中點，將△ABE沿AE折疊到△AFE，F(xiàn)在矩形ABCD內部，延長AF交DC于G點，若∠AEB=55，則∠DAF=(　　) A．40 B．35 C．20 D．15 　 2.如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65，則∠AED′等于（　?。? A．50 B．55 C．60 D．65 3.如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE=2，DE=6，∠EFB=60，則矩形ABCD的面積是（　?。? A．12 B．24 C．12 D．16 4.如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，則DE長為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 5.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF.若AB=3，則BC的長為（ ） A．1 B．2 C. D. 6.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 7.如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在邊BC的點F處．若AE=5，BF=3，則CD的長是（　?。? 　 A.7 B.8 C．9 D． 10 8.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE．則∠DEC的大小為（　?。? A．78 B．75 C．60 D．45 9.如圖，將邊長為12cm的正方形ABCD折疊，使得點A落在CD邊上的點E處，折痕為MN．若CE的長為7cm，則MN的長為（　?。? 　 A． 10 B． 13 C． 15 D． 12 10.如圖，將矩形紙片ABCD的四個角向內翻折，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，則邊AD的長是 ( ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米 11.如圖，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿對角線 OB 折疊后，點 A 與點 D 重合，OD 與 BC 交于點 E，則點 D 的坐標是（ ） A．（4，8） B．（5，8） C．（，） D．（，） 12.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE=30，，折疊后，點C落在AD邊上的C1處，并且點B落在EC1邊上的B1處．則BC的長為（ ） A. B. 2 C. 3 D. 13.如圖，矩形紙片ABCD中，AD=3cm，點E在BC上，將紙片沿AE折疊，使點B落在AC上的點F處，且∠AEF=∠CEF，則AB的長是( ) A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm 14.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點E是AD上一個動點，把△BAE沿BE向矩形內部折疊，當點A的對應點A1恰好落在∠BCD的平分線上時，CA1的長為（ ） A．3或4 B．4或3 C．3或4 D．3或4 15.如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AB，BC上，且AE=AB．將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q．對于下列結論：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 16.如圖，點M、N分別在矩形ABCD邊AD、BC上，將矩形ABCD沿MN翻折后點C恰好與點A重合，若 此時=,則△AMD′ 的面積與△AMN的面積的比為( ) A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 9 17.圖，矩形ABCD中，點E是AD的中點，將△ABE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為( ) A.3 B.2 C.2 D.2 18.如圖，矩形ABCD邊AD沿拆痕AE折疊，使點D落在BC上的F處，已知AB=6，△ABF的面積是24，則FC等于（　 　）. A．2 B．3 C．4 D．5 19.如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60，將紙片折疊，點A、D分別落在點A′、D′處，且A′D′經(jīng)過點B，EF為折痕，當D′F⊥CD時，的值為（　?。? A． B． C． D． 20.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.折疊紙片，使點A落在BC邊上的A′處，折痕為PQ，當點A′在BC邊上移動時，折痕的端點P，Q也隨之移動。若限定點P，Q分別在AB，AD邊上移動，則點A′在BC邊上可移動的最大距離為（ ） A.2 B.4 C. D. 二 填空題: 21.如圖，矩形ABCD 的邊長AB=8，AD=4，若將△DCB沿BD所在直線翻折，點C落在點F處，DF與AB交于點E. 則cos∠ADE = ． 22.如圖，有一塊矩形紙片ABCD，AB=8，AD=6，將紙片折疊，使得AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED沿DE向右翻折，AE與BC的交點為F，則△CEF的面積為__________. 23.將矩形ABCD沿折線EF折疊后點B恰好落在CD邊上的點H處，且∠CHE=40，則∠EFB=　　　　． 24.在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，點P是AC上的一個動點，過點P作EF垂直于AC交AD于點E，交AB于點F，將△AEF沿EF折疊，使點A落在點A處，當△ACD是直角三角形時，AP的長為 . 25.如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片，AD＝2AB，若沿過點D的折痕DE將A角翻折，使點A落在BC上的A1處，則∠EA1B＝______。 26.如圖，將矩形紙片ABC（D）折疊，使點（D）與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若，那么的度數(shù)為 度。 27.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點，且，將紙片的一角沿過點B的直線折疊，使A落在MN上，落點記為A′，折痕交AD于點E，若M是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點（n≥2，且n為整數(shù)），則A′N=　　　　　　（用含有n的式子表示）． 28.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,點E是BC邊上一點，將△ABE沿AE折疊， 使點B落在點B′處. （1）矩形ABCD的面積= ； （2）當△CEB′為直角三角形時，BE= ． 29.如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為 . 30.如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點F在矩形ABCD內部．將AF延長交邊BC于點G．若=，則=　　　　　　用含k的代數(shù)式表示）． 31.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，點E是AD上一點，把△BAE沿BE向矩形內部折疊，當點A的對應點A1恰落在∠ADC的平分線上時，DA1=　　　　　?。? 32.小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖①，AD>CD）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，那么矩形ABCD長與寬的比值為 ． 33.如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，點E為DC邊上的一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應點剛好D落在矩形ABCD的對稱軸上時，則DE的長為　　　　　?。? 34.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，點E、F在矩形ABCD的邊AB、AD上運動，將△AEF沿EF折疊，使點A′在BC邊上，當折痕EF移動時，點A′在BC邊上也隨之移動．則A′C的取值范圍為　　　　　?。? 三 簡答題: 35、長為1，寬為a的矩形紙片（＜a＜1），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止． （I）第二次操作時，剪下的正方形的邊長為　　 ； （Ⅱ）當n=3時，a的值為　　．（用含a的式子表示） 36.問題情境：如圖將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點B恰好落在AD邊的中點F處，折痕EG分別交AB、CD于點E、G，F(xiàn)N與DC交于點M，連接BF交EG于點P. 獨立思考： （1）AE=_______cm，△FDM的周長為_____cm （2）猜想EG與BF之間的位置關系與數(shù)量關系， 并證明你的結論. 拓展延伸： 如圖2，若點F不是AD的中點，且不與點A、D重合： ①△FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結論. ②判斷（2）中的結論是否仍然成立，若不成立請直接寫出新的結論（不需證明）. 37.長方形ABCD中，AD=10，AB=8，將長方形ABCD折疊，折痕為EF （1）當A′與B重合時（如圖1），EF= ； （2）當直線EF過點D時（如圖2），點A的對應點A′落在線段BC上，求線段EF的長； （3）如圖3，點A的對應點A′落在線段BC上，E點在線段AB上，同時F點也在線段AD上，則A′在BC上的運動距離是 ； 38.感知：如圖①，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形ABCD內部的點F處，延長AF交CD于點G，連結FC，易證∠GCF=∠GFC． 探究：將圖①中的矩形ABCD改為平行四邊形，其他條件不變，如圖②，判斷∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并說明理由． 應用：如圖②，若AB=5，BC=6，則△ADG的周長為　16?。? 39.（1）觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①）；在第一次的折疊基礎上第二次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖②）．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由． （2）實踐與運用：將矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊，使點A落在BC邊上的點F處，折痕為BE（如圖③）；再沿過點E的直線折疊，使點D落在BE上的點D′處，折痕為EG（如圖④）；再展平紙片（如圖⑤）．求圖⑤中∠α的大?。? 　 參考答案 1、C　 2、A 3、D 4、C 5、D 6、B　 7、C 8、B 9、13 10、C 11、C 12、C； 13、B 14、D 15、D 16、A 17、B 18、A 19、A 20、A　 21、 22、2 23、25?。?4、2或 25、60．26、12527、 28、（1）48 （2） 3，6 29、6 30、 31、：2． 32、 33、或?。? 34、　4cm≤A′C≤8cm?。? 35、1﹣a 或【考點】翻折變換（折疊問題）． 【解答】解：由題意，可知當＜a＜1時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1﹣a，所以第二次操作時正方形的邊長為1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1﹣a，2a﹣1． 故答案為：1﹣a；此時，分兩種情況： ①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作時正方形的邊長為2a﹣1． ∵經(jīng)過第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的寬等于1﹣a， 即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=； ②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為1﹣a． 則1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案為：或． 36、（1）3，16 (2)EG⊥BF, EG=BF則∠EGH+∠GEB=90 由折疊知，點B、F關于直線GE所在直線對稱∴∠FBE=∠EGH ∵ABCD是正方形∴AB=BC ∠C=∠ABC=90四邊形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB ∴△AFB全等△HEG∴BF=EG (3)①△FDM的周長不發(fā)生變化由折疊知∠EFM=∠ABC=90∴∠DFM+∠AFE=90 ∵四邊形ABCD為正方形，∠A=∠D=90∴∠DFM+∠DMF=90 ∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴ 設AF為x，F(xiàn)D=8-x∴ ∴ FMD的周長=∴△FMD的周長不變②（2）中結論成立 37、1）EF=10 （2）5 （3）4 38、【解答】解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下： ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180， 又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE， 又∵∠AFE+∠EFG=180，∴∠ECG=∠EFG， 又∵點E是邊BC的中點，∴EC=BE， ∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠GFC； 應用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴AF=AB=5， 由（1）知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC， ∴△ADG的周長AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16， 故答案為：應用、16． 39、【解答】解：（1）同意．如圖，設AD與EF交于點G．由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD． 又由折疊知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180，所以∠AGE=∠AGF=90，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF， 即△AEF為等腰三角形． （2）由折疊知，四邊形ABFE是正方形，∠AEB=45，所以∠BED=135度． 又由折疊知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5度．從而∠α=67.5﹣45=22.5．