中考數(shù)學 第三編 綜合專題闖關篇 題型二 解答題重難點突破 專題四 綜合實踐與探究試題
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專題四 綜合實踐與探究 縱觀河北8年中考：綜合實踐與探究是河北每年中考的壓軸題型．結合幾何圖形如三角形、正方形、圓及正方體考查，一般以簡單幾何圖形的基本性質為出發(fā)點進行考查．近7年涉及到的考查形式有2016年25題探索半圓在大半圓內運動規(guī)律、2015年的矩形、半圓為背景探索圖形旋轉變化中的規(guī)律；2014年以景區(qū)內的環(huán)形(正方形)路為背景，考查一次函數(shù)的實際應用、方程、列代數(shù)式并比較大小和不等式的實際應用；2013年以正方體容器為背景考查線段的位置關系、直棱柱的體積、傾斜角、一次函數(shù)的實際應用等；2012年以三角形為背景，考查列代數(shù)式及線段之間的距離的最值關系等；2011年以平行線間的半圓為背景，考查點到直線的距離和旋轉角等；2010年以轉動的機械裝置為背景，考查點之間的最值、直線與圓的位置關系、點與直線的距離等；2009年以圓為背景，結合規(guī)律探究考查；難度一般較大，考查學生綜合能力，具有選拔性． 此類題目前幾問一般比較簡單，解決后面問題往往會套用前面問題的解題思路，則將問題變?yōu)閺暮唵沃饾u到難的過程，從而解決問題．做題時，需要將后面的問題與前面的問題對比，才能輕松得解． 預計2017年河北中考，依然會以簡單幾何圖形為背景進行運動化，考查學生綜合分析以及運用函數(shù)、方程、相似等知識解決問題的能力，難度會很大． ,中考重難點突破) 探究與拓展 【經(jīng)典導例】 【例1】(2015河北中考)平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖1擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠DOQ＝60，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.讓線段OD及矩形ABCD的位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉角為α(0≤α≤60)． 發(fā)現(xiàn) (1)當α＝0，即初始位置時，點P________(選填“在”或“不在”)直線AB上．求當α是多少時，OQ經(jīng)過點B? (2)在OQ旋轉過程中，簡要說明α是多少時，點P，A間的距離最??？并指出這個最小值； (3)如圖2，當點P恰好落在BC邊上時，求a及S陰影． 拓展 如圖3，當線段OQ與CB邊交于點M，與BA邊交于點N時，設BM＝x(x＞0)，用含x的代數(shù)式表示BN的長，并求x的取值范圍． 探究 當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值． 【學生解答】發(fā)現(xiàn) (1)在，當α＝0時，如答圖①，過點P作OD的垂線PE交OD于點E.在Rt△OPE中，OE＝OPcos∠DOQ＝OPcos60＝2＝1＝OA，則A和E重合，則點P在直線AB上． 如答圖①，連接OB，則在Rt△OAB中，OA＝AB，則△OAB是等腰直角三角形，則∠BOA＝45，則α＝∠POA－∠BOA＝60－45＝15.即當α＝15時，OQ經(jīng)過點B；(2)如圖②，連接AP，OP為定值，而OA＋AP≥OP，即可判斷當O，A，P共線時取得最小值．當OP過點A，即α＝60時等號成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1，∴α＝60時，P，A間的距離最小，PA的最小值為1. (3)如答圖②，設半圓K與PC交點為R，連接RK，過點P作PH⊥AD于點H，過點R作RE⊥KQ于點E.在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，∴∠POH＝30，∴α＝60－30＝30.∵AD∥BC，∴∠RPO＝∠POH＝30，∴∠RKQ＝230＝60，∴S扇形KRQ＝＝，在Rt△RKE中，RE＝RKsin60＝，∴S△PRK＝REPK＝，∴S陰影＝＋. 拓展 ：∵∠ANO＝∠BNM，∠OAN＝∠MBN，∴△OAN∽△MBN，∴＝，即＝，解得BN＝. 如答圖③，當點Q落在BC上時，x取最大值．作QF⊥AD于點F.BQ＝AF＝－AO＝－1＝2－1.∴x的范圍是0
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