九年級數(shù)學上學期期中試卷(含解析) 新人教版3 (4)
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2015-2016學年湖北省武漢市武昌區(qū)七校聯(lián)考九年級(上)期中數(shù)學試卷一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1方程3x24x1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為()A3和4B3和4C3和1D3和12二次函數(shù)y=x22x+2的頂點坐標是()A(1,1)B(2,2)C(1,2)D(1,3)3將ABC繞O點順時針旋轉50得A1B1C1(A、B分別對應A1、B1),則直線AB與直線A1B1的夾角(銳角)為()A130B50C40D604用配方法解方程x2+6x+4=0,下列變形正確的是()A(x+3)2=4B(x3)2=4C(x+3)2=5D(x+3)2=5下列方程中沒有實數(shù)根的是()Ax2x1=0Bx2+3x+2=0C2015x2+11x20=0Dx2+x+2=06平面直角坐標系內一點P(2,3)關于原點對稱的點的坐標是()A(3,2)B(2,3)C(2,3)D(2,3)7如圖,O的直徑CD=10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足為M,OM:OC=3:5,則AB的長為()A cmB8cmC6cmD4cm8已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c,則下列說法中錯誤的是()Aa確定拋物線的形狀與開口方向B若將拋物線C沿y軸平移,則a,b的值不變C若將拋物線C沿x軸平移,則a的值不變D若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a、b、c的值全變9如圖,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直,AC+BD=16,則四邊形ABCD的面積最大值是()A64B16C24D3210已知二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a0),且a2+ab+ac0,下列說法:b24ac0;ab+ac0;方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2,且(x11)(1x2)0;二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個不同交點,其中正確的個數(shù)是()A1B2C3D4二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分)11拋物線y=x2x1的對稱軸是_12已知x=(b24c0),則x2+bx+c的值為_13O的半徑為13cm,AB,CD是O的兩條弦,ABCD,AB=24cm,CD=10cm則AB和CD之間的距離_14如圖,線段AB的長為1,C在AB上,D在AC上,且AC2=BCAB,AD2=CDAC,AE2=DEAD,則AE的長為_15拋物線的部分圖象如圖所示,則當y0時,x的取值范圍是_16如圖,ABC是邊長為a的等邊三角形,將三角板的30角的頂點與A重合,三角板30角的兩邊與BC交于D、E兩點,則DE長度的取值范圍是_三、解答題(共8小題,共72分)17解方程:x2+x2=018已知拋物線的頂點坐標是(3,1),與y軸的交點是(0,4),求這個二次函數(shù)的解析式19已知x1、x2是方程x23x5=0的兩實數(shù)根(1)求x1+x2,x1x2的值;(2)求2x12+6x22015的值20如圖所示,ABC與點O在1010的網(wǎng)格中的位置如圖所示(1)畫出ABC繞點O逆時針旋轉90后的圖形;(2)畫出ABC繞點O逆時針旋轉180后的圖形;(2)若M能蓋住ABC,則M的半徑最小值為_21如圖,在O中,半徑OA垂直于弦BC,垂足為E,點D在CA的延長線上,若DAB+AOB=60(1)求AOB的度數(shù);(2)若AE=1,求BC的長22飛機著陸后滑行的距離S(單位:m)關于滑行時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是:S=60t1.5t2(1)直接指出飛機著陸時的速度;(2)直接指出t的取值范圍;(3)畫出函數(shù)S的圖象并指出飛機著陸后滑行多遠才能停下來?23如圖,ABC是邊長為6cm的等邊三角形,點D從B點出發(fā)沿BA方向在線段BA上以a cm/s速度運動,與此同時,點E從線段BC的某個端點出發(fā),以b cm/s速度在線段BC上運動,當D到達A點后,D、E運動停止,運動時間為t(秒)(1)如圖1,若a=b=1,點E從C出發(fā)沿CB方向運動,連AE、CD,AE、CD交于F,連BF當0t6時:求AFC的度數(shù);求的值;(2)如圖2,若a=1,b=2,點E從B點出發(fā)沿BC方向運動,E點到達C點后再沿CB方向運動當t3時,連DE,以DE為邊作等邊DEM,使M、B在DE兩側,求M點所經(jīng)歷的路徑長24定義:我們把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡(滿足條件的所有點所組成的圖形)叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線(1)已知拋物線的焦點F(0,),準線l:,求拋物線的解析式;(2)已知拋物線的解析式為:y=x2n2,點A(0,)(n0),B(1,2n2),P為拋物線上一點,求PA+PB的最小值及此時P點坐標;(3)若(2)中拋物線的頂點為C,拋物線與x軸的兩個交點分別是D、E,過C、D、E三點作M,M上是否存在定點N?若存在,求出N點坐標并指出這樣的定點N有幾個;若不存在,請說明理由2015-2016學年湖北省武漢市武昌區(qū)七校聯(lián)考九年級(上)期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1方程3x24x1=0的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為()A3和4B3和4C3和1D3和1【考點】一元二次方程的一般形式【分析】根據(jù)方程的一般形式和二次項系數(shù)以及一次項系數(shù)的定義即可直接得出答案【解答】解:3x24x1=0,方程3x24x1=0的二次項系數(shù)是3,一次項系數(shù)是4;故選B【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a0)特別要注意a0的條件這是在做題過程中容易忽視的知識點在一般形式中ax2叫二次項,bx叫一次項,c是常數(shù)項其中a,b,c分別叫二次項系數(shù),一次項系數(shù),常數(shù)項2二次函數(shù)y=x22x+2的頂點坐標是()A(1,1)B(2,2)C(1,2)D(1,3)【考點】二次函數(shù)的性質【分析】根據(jù)頂點坐標公式,可得答案【解答】解:y=x22x+2的頂點橫坐標是=1,縱坐標是=1,y=x22x+2的頂點坐標是(1,1)故選:A【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質,二次函數(shù)的頂點坐標是(,)3將ABC繞O點順時針旋轉50得A1B1C1(A、B分別對應A1、B1),則直線AB與直線A1B1的夾角(銳角)為()A130B50C40D60【考點】旋轉的性質【分析】先根據(jù)題意畫出圖形,利用旋轉的性質得出OA=OA1,OB=OB1,AB=A1B1,那么根據(jù)SSS證明長OABOA1B1,得到OAB=OA1B1,由等角的補角相等得出OAM=OA1M設A1M與OA交于點D,在OA1D與MAD中,根據(jù)三角形內角和定理即可求出M=A1OD=50【解答】解:如圖,ABC繞O點順時針旋轉50得A1B1C1(A、B分別對應A1、B1),則A1OA=50,OA=OA1,OB=OB1,AB=A1B1設直線AB與直線A1B1交于點M由SSS易得OABOA1B1,OAB=OA1B1,OAM=OA1M,設A1M與OA交于點D,在OA1D與MAD中,DAM=DA1O,ODA1=MDA,M=A1OD=50故選B【點評】本題考查了旋轉的性質:對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等也考查了全等三角形的判定與性質,補角的性質以及三角形內角和定理證明出OAM=OA1M是解題的關鍵4用配方法解方程x2+6x+4=0,下列變形正確的是()A(x+3)2=4B(x3)2=4C(x+3)2=5D(x+3)2=【考點】解一元二次方程-配方法【分析】把常數(shù)項4移到等號的右邊,再在等式的兩邊同時加上一次項系數(shù)6的一半的平方,配成完全平方的形式,從而得出答案【解答】解:x2+6x+4=0,x2+6x=4,x2+6x+9=5,即(x+3)2=5故選:C【點評】此題考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步驟:(1)把常數(shù)項移到等號的右邊;(2)把二次項的系數(shù)化為1;(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方選擇用配方法解一元二次方程時,最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)5下列方程中沒有實數(shù)根的是()Ax2x1=0Bx2+3x+2=0C2015x2+11x20=0Dx2+x+2=0【考點】根的判別式【分析】分別求出各個選項中一元二次方程根的判別式,進而作出判斷【解答】解:A、x2x1=0,=(1)24(1)=90,方程有兩個不相等的根,此選項錯誤;B、x2+3x+2=0,=3242=10,方程有兩個不相等的根,此選項錯誤;C、2015x2+11x20=0,=11242015(20)0,方程有兩個不相等的根,此選項錯誤;D、x2+x+2=0,=1242=70,方程沒有實數(shù)根,此選項正確;故選D【點評】本題主要考查了根的判別式的知識,利用一元二次方程根的判別式(=b24ac)判斷方程的根的情況一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根與=b24ac有如下關系:當0時,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;當=0時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;當0時,方程無實數(shù)根6平面直角坐標系內一點P(2,3)關于原點對稱的點的坐標是()A(3,2)B(2,3)C(2,3)D(2,3)【考點】關于原點對稱的點的坐標【專題】常規(guī)題型【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數(shù),縱坐標互為相反數(shù)解答【解答】解:點P(2,3)關于原點對稱的點的坐標是(2,3)故選:D【點評】本題主要考查了關于原點對稱的點的坐標的特征,熟記特征是解題的關鍵7如圖,O的直徑CD=10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足為M,OM:OC=3:5,則AB的長為()A cmB8cmC6cmD4cm【考點】垂徑定理;勾股定理【分析】由于O的直徑CD=10cm,則O的半徑為5cm,又已知OM:OC=3:5,則可以求出OM=3,OC=5,連接OA,根據(jù)勾股定理和垂徑定理可求得AB【解答】解:如圖所示,連接OAO的直徑CD=10cm,則O的半徑為5cm,即OA=OC=5,又OM:OC=3:5,所以OM=3,ABCD,垂足為M,AM=BM,在RtAOM中,AM=4,AB=2AM=24=8故選B【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應用,解決與弦有關的問題時,往往需構造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形,若設圓的半徑為r,弦長為a,這條弦的弦心距為d,則有等式r2=d2+()2成立,知道這三個量中的任意兩個,就可以求出另外一個8已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c,則下列說法中錯誤的是()Aa確定拋物線的形狀與開口方向B若將拋物線C沿y軸平移,則a,b的值不變C若將拋物線C沿x軸平移,則a的值不變D若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a、b、c的值全變【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】根據(jù)平移的性質判斷即可【解答】解:平移的基本性質:平移不改變圖形的形狀和大??;拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c,a確定拋物線的形狀與開口方向;若將拋物線C沿y軸平移,頂點發(fā)生了變化,對稱軸沒有變化,a的值不變,則不變,所以b的值不變;若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a的值不變,故選D【點評】本題考查平移的基本性質:平移不改變圖形的形狀和大??;經(jīng)過平移,對應點所連的線段平行且相等,對應線段平行且相等,對應角相等9如圖,四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直,AC+BD=16,則四邊形ABCD的面積最大值是()A64B16C24D32【考點】二次函數(shù)的最值【分析】直接利用對角線互相垂直的四邊形面積求法得出S=ACBD,再利用配方法求出二次函數(shù)最值【解答】解:設AC=x,四邊形ABCD面積為S,則BD=16x,則:S=ACBD=x(16x)=(x8)2+32,當x=8時,S最大=32;所以AC=BD=8時,四邊形ABCD的面積最大,故選D【點評】本題考查了二次函數(shù)最值以及四邊形面積求法,正確掌握對角線互相垂直的四邊形面積求法是解題關鍵10已知二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a0),且a2+ab+ac0,下列說法:b24ac0;ab+ac0;方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2,且(x11)(1x2)0;二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個不同交點,其中正確的個數(shù)是()A1B2C3D4【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系【分析】根據(jù)題意把a的符號分成兩種情況,再由a2+ab+ac0判斷出a+b+c的符號,即可得出當x=1時,y的符號,從而得出b+c的符號,再得出方程ax2+bx+c=0有一個根大于1,一個根小于1,即可得出(x11)(x21)0;b24ac0;拋物線和坐標軸有三個交點【解答】解:當a0時,a2+ab+ac0,a+b+c0,b+c0,如圖1,b24ac0,故錯誤;a(b+c)0,故正確;方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2,且x11,x21,(x11)(x21)0,即(x11)(1x2)0,故正確;二次函數(shù)的圖象與坐標軸有三個不同交點,故正確;故選C【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系,掌握分類討論思想是解題的關鍵二、填空題(共6小題,每小題3分,共18分)11拋物線y=x2x1的對稱軸是直線x=【考點】二次函數(shù)的性質【分析】根據(jù)拋物線對稱軸公式進行計算即可得解【解答】解:對稱軸為直線x=,即直線x=故答案為:直線x=【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質,主要利用了對稱軸公式,比較簡單12已知x=(b24c0),則x2+bx+c的值為0【考點】解一元二次方程-公式法【分析】把x的值代入代數(shù)式,再進行計算即可【解答】解:x=(b24c0),x2+bx+c=()2+b+c=+c=0故答案為:0【點評】本題考查了一元二次方程,實數(shù)的運算法則,求代數(shù)式的值的應用,能根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算是解此題的關鍵13O的半徑為13cm,AB,CD是O的兩條弦,ABCD,AB=24cm,CD=10cm則AB和CD之間的距離7cn或17cm【考點】垂徑定理;勾股定理【專題】分類討論【分析】作OEAB于E,交CD于F,連結OA、OC,如圖,根據(jù)平行線的性質得OFCD,再利用垂徑定理得到AE=AB=12,CF=CD=5,接著根據(jù)勾股定理,在RtOAE中計算出OE=5,在RtOCF中計算出OF=12,然后分類討論:當圓心O在AB與CD之間時,EF=OF+OE;當圓心O不在AB與CD之間時,EF=OFOE【解答】解:作OEAB于E,交CD于F,連結OA、OC,如圖,ABCD,OFCD,AE=BE=AB=12,CF=DF=CD=5,在RtOAE中,OA=13,AE=12,OE=5,在RtOCF中,OC=13,CF=5,OF=12,當圓心O在AB與CD之間時,EF=OF+OE=12+5=17;當圓心O不在AB與CD之間時,EF=OFOE=125=7;即AB和CD之間的距離為7cn或17cm故答案為7cn或17cm【點評】本題考查了垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧也考查了勾股定理學會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題14如圖,線段AB的長為1,C在AB上,D在AC上,且AC2=BCAB,AD2=CDAC,AE2=DEAD,則AE的長為2【考點】黃金分割【分析】設AC=x,則BC=ABAC=2x,根據(jù)AC2=BCAB求出AC,同理可得出AD和AE,從而得出答案【解答】解:設AC=x,則BC=ABAC=1x,AC2=BCAB,x2=1x,解得:x1=,x2=(不合題意,舍去),AC=,AD2=CDAC,AD=,AE2=DEAD,AE=2;故答案為:2【點評】本題考查了黃金分割的應用,關鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比15拋物線的部分圖象如圖所示,則當y0時,x的取值范圍是x3或x1【考點】二次函數(shù)與不等式(組)【分析】由函數(shù)圖象可知拋物線的對稱軸為x=1,從而可得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0),y0,找出拋物線位于x軸下方部分x的取值范圍即可【解答】解:根據(jù)函數(shù)圖象可知:拋物線的對稱軸為x=1,拋物線與x軸一個交點的坐標為(1,0),由拋物線的對稱性可知:拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0)y0,x3或x1故答案為:x3或x1【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)與不等式的關系,根據(jù)函數(shù)圖象確定出拋物線與x軸兩個交點的坐標是解題的關鍵16如圖,ABC是邊長為a的等邊三角形,將三角板的30角的頂點與A重合,三角板30角的兩邊與BC交于D、E兩點,則DE長度的取值范圍是(23)aDEa【考點】相似三角形的判定與性質;等邊三角形的性質【分析】當B、D重合或C、E重合時DE長度最大,解直角三角形即可求得DE的最大值;當BAD=CAE=15時,DE長度最小,作AFBC,且AF=AB,連接DF、CF,證明ABDADF,則B=AFD,BD=DF,然后證明ABHDFH,根據(jù)相似三角形的性質求得DH=a,即可求得DE的最小值【解答】解:當B、D重合或C、E重合時DE長度最大,如圖1,BAE=30,AEB=90,DE=AB=a,當BAD=CAE=15時,DE長度最小,如圖2,作AFBC,且AF=AB,連接DF、CF,AFBC,BAF=CAF=30,BAD=CAE=15,DAH=EAH=15,BAD=DAH,在ADB和ADF中,ABDADF,B=AFD,BD=DF,AHB=DHF=90,ABHDFH,AB:AH=DF:DH,=,=,DH=,其中BD+DH=a、AH=a,DH=aDE=(23)a,故DE長度的取值范圍是(23)aDEa【點評】本題考查了等邊三角形的性質,全等三角形的判定和性質以及相似三角形的和性質,分類討論思想的運用是解題的關鍵三、解答題(共8小題,共72分)17解方程:x2+x2=0【考點】解一元二次方程-因式分解法【專題】計算題【分析】方程左邊利用十字相乘法分解因式后,利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解【解答】解:分解因式得:(x1)(x+2)=0,可得x1=0或x+2=0,解得:x1=1,x2=2【點評】此題考查了解一元二次方程因式分解法,熟練掌握因式分解的解法是解本題的關鍵18已知拋物線的頂點坐標是(3,1),與y軸的交點是(0,4),求這個二次函數(shù)的解析式【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點坐標設出頂點形式,把(0,4)代入求出a的值,即可確定出解析式【解答】解:設拋物線解析式為y=a(x3)21,把(0,4)代入得:4=9a1,即a=,則拋物線解析式為y=(x3)21【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵19已知x1、x2是方程x23x5=0的兩實數(shù)根(1)求x1+x2,x1x2的值;(2)求2x12+6x22015的值【考點】根與系數(shù)的關系【分析】(1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關系,求出方程的兩根之和和兩根之積即可;(2)利用一元二次方程根與系數(shù)的關系,求出方程的兩根之和和兩根之積,再將代數(shù)式加以整理代入數(shù)值即可【解答】解:(1)x1、x2是方程x23x5=0的兩實數(shù)根,x1+x2=3,x1x2=5,;(2)x1、x2是方程x23x5=0的兩實數(shù)根,x123x15=0,x12=3x1+5,2x12+6x22015=2(3x1+5)+6x22015=6(x1+x2)2015=1987【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系和一元二次方程解的意義,遇到此類求代數(shù)式求值問題,應對代數(shù)式進行適當?shù)淖冃危蛊浜袃筛?、兩根積的形式,再求得其值20如圖所示,ABC與點O在1010的網(wǎng)格中的位置如圖所示(1)畫出ABC繞點O逆時針旋轉90后的圖形;(2)畫出ABC繞點O逆時針旋轉180后的圖形;(2)若M能蓋住ABC,則M的半徑最小值為【考點】作圖-旋轉變換;三角形的外接圓與外心【專題】作圖題【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質畫出點A、B、C的對應點A、B、C,于是可得到ABC;(2)利用網(wǎng)格特點和中心對稱的性質畫出點A、B、C的對應點A、B、C,于是可得到ABC;(3)ABC的外接圓是能蓋住ABC得最小圓,畫AB和AC的垂中平分線,兩垂直平分線的交點為M,則點M為ABC的外接圓的圓心,然后利用勾股定理計算出MA即可【解答】解:(1)如圖,ABC為所作;(2)如圖,ABC為所求;(3)如圖,點M為ABC的外接圓的圓心,此時M是能蓋住ABC的最小的圓,M的半徑為=故答案為【點評】本題考查了作圖旋轉變換:根據(jù)旋轉的性質可知,對應角都相等都等于旋轉角,對應線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應點,順次連接得出旋轉后的圖形也考查了三角形的外心21如圖,在O中,半徑OA垂直于弦BC,垂足為E,點D在CA的延長線上,若DAB+AOB=60(1)求AOB的度數(shù);(2)若AE=1,求BC的長【考點】圓周角定理;勾股定理;垂徑定理【分析】(1)連接OC,根據(jù)垂徑定理和三角形的外角的性質證明DAB=AOB,求出AOB的度數(shù);(2)根據(jù)直角三角形的性質得到BE=OB,設O的半徑為r,根據(jù)勾股定理求出r,根據(jù)等邊三角形的性質得到答案【解答】解:(1)連接OC,OABC,OC=OB,AOC=AOB,ACO=ABO,DAO=ACO+AOC=OAB+DAB,ACO=OAB,DAB=AOC,DAB=AOB,又DAB+AOB=60,AOB=30;(2)AOB=30,BE=OB,設O的半徑為r,則BE=r,OE=r1,由勾股定理得,r2=(r)2+(r1)2,解得r=4,OB=OC,BOC=2AOB=60,BC=r=4【點評】本題考查的是勾股定理、圓周角定理和垂徑定理的應用,正確作出輔助線、理解垂直于弦的直徑平分這條弦、等邊對等角是解題的關鍵22飛機著陸后滑行的距離S(單位:m)關于滑行時間t(單位:s)的函數(shù)解析式是:S=60t1.5t2(1)直接指出飛機著陸時的速度;(2)直接指出t的取值范圍;(3)畫出函數(shù)S的圖象并指出飛機著陸后滑行多遠才能停下來?【考點】二次函數(shù)的應用【分析】(1)直接由函數(shù)解析式得出答案即可;(2)由于飛機著陸,不會倒著跑,所以當S取得最大值時,t也取得最大值,求得t的取值范圍即可;(3)利用配方法求得函數(shù)的最值,也就是飛機著陸后滑行的最遠距離【解答】解:(1)飛機著陸時的速度V=60;(2)當S取得最大值時,飛機停下來,則S=60t1.5t2=1.5(x20)2+600,此時t=20因此t的取值范圍是0t20;(3)如圖,S=60t1.5t2=1.5(x20)2+600飛機著陸后滑行600米才能停下來【點評】此題考查二次函數(shù)的實際運用,運用二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法是解題關鍵23如圖,ABC是邊長為6cm的等邊三角形,點D從B點出發(fā)沿BA方向在線段BA上以a cm/s速度運動,與此同時,點E從線段BC的某個端點出發(fā),以b cm/s速度在線段BC上運動,當D到達A點后,D、E運動停止,運動時間為t(秒)(1)如圖1,若a=b=1,點E從C出發(fā)沿CB方向運動,連AE、CD,AE、CD交于F,連BF當0t6時:求AFC的度數(shù);求的值;(2)如圖2,若a=1,b=2,點E從B點出發(fā)沿BC方向運動,E點到達C點后再沿CB方向運動當t3時,連DE,以DE為邊作等邊DEM,使M、B在DE兩側,求M點所經(jīng)歷的路徑長【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質;勾股定理;特殊角的三角函數(shù)值【專題】壓軸題【分析】(1)如圖1,由題可得BD=CE=t,易證BDCCEA,則有BCD=CAE,根據(jù)三角形外角的性質可求得EFC=60,即可得到AFC=120;延長FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,過點B作BHFG于H,如圖2,易證FAG是等邊三角形,結合ABC是等邊三角形可證到AGBAFC,則有GB=FC,AGB=AFC=120,從而可得BGF=60設AF=x,F(xiàn)C=y,則有FG=AF=x,BG=CF=y在RtBHG中運用三角函數(shù)可得BH=y,GH=y,從而有FH=xy在RtBHF中根據(jù)勾股定理可得BF2=x2xy+y2,代入所求代數(shù)式就可解決問題;(2)過點E作ENAB于N,連接MC,如圖3,由題可得BEN=30,BD=t,CE=2t6,從而有BE=122t,BN=6t,進而可得DN=EC由DEM是等邊三角形可得DE=EM,DEM=60,從而可得NDE=MEC,進而可證到DNEECM,則有DNE=ECM=90,故M點運動的路徑為過點C垂直于BC的一條線段然后只需確定點M的始點和終點位置,就可解決問題【解答】解:(1)如圖1,由題可得BD=CE=tABC是等邊三角形,BC=AC,B=ECA=60在BDC和CEA中,BDCCEA,BCD=CAE,EFC=CAE+ACF=BCD+ACF=ACB=60,AFC=120;延長FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,過點B作BHFG于H,如圖2,AFG=180120=60,F(xiàn)G=FA,F(xiàn)AG是等邊三角形,AG=AF=FG,AGF=GAF=60ABC是等邊三角形,AB=AC,BAC=60,GAF=BAC,GAB=FAC在AGB和AFC中,AGBAFC,GB=FC,AGB=AFC=120,BGF=60設AF=x,F(xiàn)C=y,則有FG=AF=x,BG=CF=y在RtBHG中,BH=BGsinBGH=BGsin60=y,GH=BGcosBGH=BGcos60=y,F(xiàn)H=FGGH=xy在RtBHF中,BF2=BH2+FH2=(y)2+(xy)2=x2xy+y2=1;(2)過點E作ENAB于N,連接MC,如圖3,由題可得:BEN=30,BD=1t=t,CE=2(t3)=2t6BE=6(2t6)=122t,BN=BEcosB=BE=6t,DN=t(6t)=2t6,DN=ECDEM是等邊三角形,DE=EM,DEM=60NDE+NED=90,NED+MEC=1803060=90,NDE=MEC在DNE和ECM中,DNEECM,DNE=ECM=90,M點運動的路徑為過點C垂直于BC的一條線段當t=3時,E在點B,D在AB的中點,此時CM=EN=CD=BCsinB=6=3;當t=6時,E在點C,D在點A,此時點M在點C當3t6時,M點所經(jīng)歷的路徑長為3【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、銳角三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、三角形外角的性質等知識,綜合性比較強,有一定的難度;構造旋轉型全等三角形(由共頂點的兩個等邊三角形組成)是解決第1(2)小題的關鍵,證到ECM=90是解決第(2)小題的關鍵24定義:我們把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡(滿足條件的所有點所組成的圖形)叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線(1)已知拋物線的焦點F(0,),準線l:,求拋物線的解析式;(2)已知拋物線的解析式為:y=x2n2,點A(0,)(n0),B(1,2n2),P為拋物線上一點,求PA+PB的最小值及此時P點坐標;(3)若(2)中拋物線的頂點為C,拋物線與x軸的兩個交點分別是D、E,過C、D、E三點作M,M上是否存在定點N?若存在,求出N點坐標并指出這樣的定點N有幾個;若不存在,請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】(1)直接根據(jù)新定義即可求出拋物線的解析式;(2)首先求出拋物線的焦點坐標以及準線方程,根據(jù)PA+PH最短時,P、B、A共線,據(jù)此求出PA+PB的最小值及此時P點坐標;(3)設OQ=m(m0),則CQ=QE=n2m,在RtOQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2m)2,進而求出ON是定值,據(jù)此作出判斷【解答】解:(1)設拋物線上有一點(x,y),由定義知:x2+(y)2=|y+|2,解得y=ax2;(2)如圖1,由(1)得拋物線y=x2的焦點為(0,),準線為y=,y=x2n2由y=x2向下平移n2個單位所得,其焦點為A(0,n2),準線為y=n2,由定義知P為拋物線上的點,則PA=PH,PA+PH最短為P、B、A共線,此時P在P處,x=1,y=1n22n2,點B在拋物線內,BI=yByI=2n2(n2)=,PA+PB的最小值為,此時P點坐標為(1,1n2);(3)由(2)知E(|n|,0),C(0,n2),設OQ=m(m0),則CQ=QE=n2m,在RtOQE中,由勾股定理得|n|2+m2=(n2m)2,解得m=,則QC=+=QN,ON=QNm=1,即點N(0,1),故AM過定點N(0,1)【點評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識,此題涉及到求拋物線解析式、平移的知識、點的共線、勾股定理等知識,解答本題的關鍵是新定義,拋物線焦點、拋物線的準線等知識,此題難度不大- 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