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江西省崇仁縣第一中學2017屆九年級數(shù)學上學期第一次月考試題 （時間：120分鐘，滿分120分） 一、選擇題（本大題共6分，每小題3分，共18分。） 1．（本題3分）下列命題中，真命題是（）. A．兩條對角線垂直且相等的四邊形是正方形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 2．（本題3分）如圖，一個含有30角的直角三角板的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，如果∠1=25，那么∠2的度數(shù)是（） A．100 B．105 C．115 D．120 3．（本題3分）如圖，要使平行四邊形ABCD成為菱形，需添加的一個條件是（） A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90 D．AC與BD互相平分 4．（本題3分）若方程是關于x的一元二次方程，則m的值是（） A． B．m=2 C．m= —2 D． 5．（本題3分）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2－6x＋8＝0的一個根，則這個三角形的周長是（） A．9 B．11 C．13 D．11或13 6．（本題3分）根據(jù)下列表格的對應值,判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍是 x 3．23 3．24 3．25 3．26 ax2+bx+c -0．06 -0．02 0．03 0．09 A．3＜x＜3．23 B．3．23＜x＜3．24 C．3．24＜x＜3．25 D．3．25＜x＜3．26 二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．（本題3分）若關于x的一元二次方程ax2－bx+c=0有一個根為0，則c=． 8．（本題3分）菱形ABCD的周長為36，其相鄰兩內角的度數(shù)比為1：5，則此菱形的面積為． 9．（本題3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E， 連接DF，則∠CDF等于____ 10．（本題3分）如圖，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面積為16，AE=1，則正方形EFGH的面積為． 10題 12題 9題 11．（本題3分）在實數(shù)范圍內定義一種運算“”，其規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則，方程的解為． 12．（本題3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點F是對角線BD上的一點，EF∥AB交AD于點E，F(xiàn)G∥BC交DC于點G，四邊形EFGP是平行四邊形，給出如下結論： ①四邊形EFGP是菱形； ②△PED為等腰三角形； ③若∠ABD=90，則△EFP≌△GPD； ④若四邊形FPDG也是平行四邊形，則BC∥AD且∠CDA=60． 其中正確的結論的序號是（把所有正確結論的序號都填在橫線上）． 三、解答題（6+6+6+6+6+8+8+8+8+10+12=84分） 13．（本題6分）（（12分）如圖，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 14題15題 求證：四邊形BCDE是矩形． 14．（本題6分）（本題滿分4分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠ABD，CE∥AD交AB于E．求證：四邊形AECD是菱形； 15．（本題6分）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB． 求證：四邊形BEDF是正方形． 16．（本題6分）（8分）已知是方程的一個根，求的值 17．（本題6分）（本題滿分10分）按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 18．（本題8分）（2015?江西校級模擬）如圖是一個正方形網(wǎng)格圖，圖中已畫了線段AB和線段EG，請使用無刻度的直尺在正方形網(wǎng)格中畫圖． （1）畫一個以AB為邊的正方形ABCD； （2）畫一個以EG為一條對角線的菱形EFGH，且面積與（1）中正方形的面積相等． （1）畫一個以AB為邊的正方形ABCD； （2）畫一個以EG為一條對角線的菱形EFGH，且面積與（1）中正方形的面積相等． 19．（本題8分）閱讀下面的材料，回答問題： 解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是： 設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 當y=1時，x2=1，∴x=1； 當y=4時，x2=4，∴x=2； ∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 20．（本題8分）（8分）（2010?泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90． （1）求證：AC∥DE； （2）過點B作BF⊥AC于點F，連接EF，試判別四邊形BCEF的形狀，并說明理由． 21．（本題8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點． 22題 （1）求證：四邊形EGFH是菱形； （2）若AB=1，則當∠ABC+∠DCB=90時，求四邊形EGFH的面積． 22．（本題10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 23．（本題12分）（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求的度數(shù)． （2）如圖②，在Rt△ABD中，，，點M，N是BD邊上的任意兩點，且，將△ABM繞點A逆時針旋轉至△ADH位置，連接，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關系，并說明理由． （3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若，，，求AG，MN的長． 絕密★啟用前 崇仁一中2016-2017學年度上學期初三月考一 數(shù)學試題解答參考 一、選擇題（本大題共6分，每小題3分，共18分。） 1．（本題3分）下列命題中，真命題是（）. A．兩條對角線垂直且相等的四邊形是正方形 B．兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 D．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 【答案】C 【解析】 試題分析：因為兩條對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，所以A錯誤，是假命題；因為兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B錯誤，是假命題；因為兩條對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以C正確，是真命題；因為一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以D錯誤，是假命題,故選：C. 考點：1.特殊四邊形的判定；2.命題. 2．（本題3分）如圖，一個含有30角的直角三角板的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，如果∠1=25，那么∠2的度數(shù)是（） A．100 B．105 C．115 D．120 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)題意可得：∠AEF=90－25=65，根據(jù)AD∥BC可得∠AEF+∠2=180，則∠2=115． 考點：平行線的性質． 3．（本題3分）如圖，要使平行四邊形ABCD成為菱形，需添加的一個條件是（） A．AB=BC B．AC=BD C．∠ABC=90 D．AC與BD互相平分 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)菱形的判定方法得出A正確，B、C、D不正確；即可得出結果． 解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC， ∴平行四邊形ABCD是菱形，故本選項正確； B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD， ∴平行四邊形ABCD是矩形，故本選項錯誤； C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC=90， ∴四邊形ABCD是矩形， 不能推出，平行四邊形ABCD是菱形，故本選項錯誤； D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD互相平分， ∴四邊形ABCD是矩形，不是菱形； 故選：A． 考點：菱形的判定． 4．（本題3分）若方程是關于x的一元二次方程，則m的值是（） A． B．m=2 C．m= —2 D． 【答案】B 【解析】 試題分析：由題意得，所以m=2； 故選B 考點：一元二次方程的定義 5．（本題3分）三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2－6x＋8＝0的一個根，則這個三角形的周長是（） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【解析】 試題分析：根據(jù)題意知：x2-6x+8=0，利用因式分解法可得（x-2）（x-4）=0，因此x-2=0，x-4=0，解得x1=2，x2=4，所以： 當x=2時，2+3＜6，不符合三角形的三邊關系定理，所以x=2舍去， 當x=4時，符合三角形的三邊關系定理，三角形的周長是3+6+4=13， 故選C 考點：因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關系 6．（本題3分）根據(jù)下列表格的對應值,判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍是 x 3．23 3．24 3．25 3．26 ax2+bx+c -0．06 -0．02 0．03 0．09 A．3＜x＜3．23 B．3．23＜x＜3．24 C．3．24＜x＜3．25 D．3．25＜x＜3．26 【答案】C 【解析】 試題分析：因為當x=3．24時，ax2+bx+c=-0．02＜0，當x=3．2,5時，ax2+bx+c=0．03＞0，所以方程ax2+bx+c=0一個解在3．24＜x＜3．25，故選：C． 考點：一元二次方程根的估算．  二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分） 7．（本題3分）若關于x的一元二次方程ax2－bx+c=0有一個根為0，則c=． 【答案】0 【解析】 試題分析：由于方程有一個根為0，直接代入原方程可得c=0. 考點：方程的解 8．（本題3分）菱形ABCD的周長為36，其相鄰兩內角的度數(shù)比為1：5，則此菱形的面積為． 【答案】40.5 【解析】 試題分析：根據(jù)相鄰兩內角的度數(shù)比為1：5，可求出一個30角，根據(jù)周長為36，求出菱形的邊長，根據(jù)直角三角形里30角的性質求出高，從而求出面積． 解：作AE⊥BC于E點， ∵其相鄰兩內角的度數(shù)比為1：5， ∴∠B=180=30， ∵菱形ABCD的周長為36， ∴AB=BC=36=9． ∴AE=9=． ∴菱形的面積為：BC?AE=9=40.5． 故答案為：40.5． 點評：本題考查菱形的性質，菱形的鄰角互補，四邊相等． 9．（本題3分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E， 連接DF，則∠CDF等于____ 【答案】60. 【解析】 試題分析：連接BF可得△CDF和△CBF全等，則∠CDF=∠CBF，根據(jù)∠BAD=80可得∠BAF=40，∠ABC=100，根據(jù)EF為中垂線，則AF=BF，即∠ABF=∠BAF=40，則∠CBF=∠ABC－∠ABF=60，即∠CDF=60. 考點：菱形的性質、中垂線的性質. 10．（本題3分）如圖，已知：正方形EFGH的頂點E、F、G、H分別在正方形ABCD的邊DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面積為16，AE=1，則正方形EFGH的面積為． 【答案】10 【解析】 試題分析：根據(jù)正方形的性質找出相等的邊角關系，從而證出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH，再由正方形ABCD的面積為16，AE=1，找出AF的長度，根據(jù)S正方形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AFE即可得出結論． 解：∵四邊形ABCD、EFGH均為正方形， ∴∠A=∠B=90，∠EFG=90，EF=FG． ∵∠AFE+∠BFG=90，∠BFG+∠BGF=90， ∴∠AFE=∠BGF． 在△AFE和△BGF中，， ∴△AFE≌△BGF（AAS）， ∴BF=AE=1． ∵正方形ABCD的面積為16， ∴AB=4，AF=AB﹣BF=3． 同理可證出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH． ∴S正方形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AFE=16﹣413=10． 故答案為：10． 【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及三角形的面積公式，解題的關鍵是找出△AFE≌△BGF≌△CHG≌△DEH．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用分割圖形求面積法求出面積是關鍵． 11．（本題3分）在實數(shù)范圍內定義一種運算“”，其規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則，方程的解為． 【答案】 【解析】 試題分析：因為，所以由可得：，所以，所以，所以． 考點：1．新運算2．解一元二次方程． 12．（本題3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠BAD和∠CDA均為銳角，點F是對角線BD上的一點，EF∥AB交AD于點E，F(xiàn)G∥BC交DC于點G，四邊形EFGP是平行四邊形，給出如下結論： ①四邊形EFGP是菱形； ②△PED為等腰三角形； ③若∠ABD=90，則△EFP≌△GPD； ④若四邊形FPDG也是平行四邊形，則BC∥AD且∠CDA=60． 其中正確的結論的序號是（把所有正確結論的序號都填在橫線上）． 【答案】①③④ 【解析】 試題分析：∵EF∥AB， ∴， ∵FG∥BC， ∴， ∴， ∵AB=BC， ∴EF=EG， ∵四邊形EFGP是平行四邊形， ∴四邊形EFGP是菱形，故①正確； ∵BC=CD， ∴∠DBC=∠BDC， ∵FG∥BC， ∴∠DBC=∠DFG， ∴∠DFG=∠BDC， ∴FG=DG， ∵PG=FG=PE， ∴PG=DG， ∵無法證得△PDG是等邊三角形， ∴PD不一定等于PE， ∴△PED不一定是等腰三角形，故②錯誤； ∵∠ABD=90，PG∥EF， ∴PG⊥BD， ∵FG=DG， ∴∠FGP=∠DGP． ∵四邊形EFGP是平行四邊形， ∴∠PEF=∠FGP． ∴∠DGP=∠PEF． 在△EFP和△GPD中 ∴△EFP≌△GPD（SAS）．故③正確； ∵四邊形FPDG也是平行四邊形， ∴FG∥PD， ∵FG∥EP， ∴E、P、D在一條直線上， ∵FG∥BC∥PE， ∴BC∥AD， ∵四邊形FPDG也是平行四邊形， ∵FG=PD， ∵FG=DG=PG， ∴PG=PD=DG， ∴△PGD是等邊三角形， ∴∠CDA=60． ∴四邊形ABCD還應滿足BC∥AD，∠CDA=60．故④正確． 故答案為①③④． 考點：四邊形綜合題 三、解答題（6+6+6+6+6+8+8+8+8+10+12=84分） 13．（本題6分）（（12分）如圖，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 求證：四邊形BCDE是矩形． 【答案】見解析 【解析】 試題分析：先求出∠BAE=∠CAD，進而證明△BAE≌△CAD，得出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四邊形BCDE，根據(jù)平行線性質得出∠BED+∠CDE=180，求出∠BED，根據(jù)矩形的判定求出即可． 試題解析：證明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD﹣∠BAC=∠CAE﹣∠BAC， ∴∠BAE=∠CAD， ∵在△BAE和△CAD中 ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠BEA=∠CDA，BE=CD， ∵DE=CB， ∴四邊形BCDE是平行四邊形， ∵AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠BEA=∠CDA， ∴∠BED=∠CDE， ∵四邊形BCDE是平行四邊形， ∴BE∥CD， ∴∠CDE+∠BED=180， ∴∠BED=∠CDE=90， ∴四邊形BCDE是矩形． 考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質． 14．（本題6分）（本題滿分4分）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠ABD，CE∥AD交AB于E．求證：四邊形AECD是菱形； 【答案】見解析． 【解析】 試題分析：根據(jù)角平分線的性質和平行線的性質說明AE=CE，利用鄰邊相等的平行四邊形為菱形進行判定． 試題解析：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠CAD ∵AD∥CE ∴∠ACE=∠CAD ∴∠CAB=∠ACE ∴AE=CE ∵AB∥CD，CE∥AD ∴四邊形AECD是平行四邊形∴□AECD是菱形… 考點：菱形的判定 15．（本題6分）如圖所示，在△ABC中，∠ABC=90，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB． 求證：四邊形BEDF是正方形． 【答案】見解析 【解析】 試題分析：由題意知，四邊形BEDF是矩形，只要證明有一組鄰邊相等即可得到，四邊形BEDF是正方形． 證明：∵∠ABC=90，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90． ∴四邊形BEDF為矩形． 又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DF=DE． ∴矩形BEDF為正方形． 點評：本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種： ①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等； ②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角． 16．（本題6分）（8分）已知是方程的一個根，求的值 【答案】 【解析】 試題分析：因為是方程的一個根，所以把，代入方程可得：，然后整體代入求值即可. 試題解析：因為是方程的一個根，所以把，代入方程可得：，所以=. 考點：1.方程的根；2.化簡求值. 17．（本題6分）（本題滿分10分）按要求解下列一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）由，得：，配方，得：， ∴，開方得：，∴； （2）由，得：，∴，∴． 考點：1．解一元二次方程-公式法；2．解一元二次方程-配方法． 18．（本題8分）（2015?江西校級模擬）如圖是一個正方形網(wǎng)格圖，圖中已畫了線段AB和線段EG，請使用無刻度的直尺在正方形網(wǎng)格中畫圖． （1）畫一個以AB為邊的正方形ABCD； （2）畫一個以EG為一條對角線的菱形EFGH，且面積與（1）中正方形的面積相等． 【答案】見解析 【解析】 試題分析：（1）利用網(wǎng)格結合勾股定理得出正方形ABCD的各邊； （2）利用菱形的面積公式得出其另一條對角線長為8，進而得出答案． 解：（1）如圖所示：正方形ABCD，即為所求； （2）如圖所示：菱形EFGH，即為所求． 考點：作圖—應用與設計作圖． 19．（本題8分）閱讀下面的材料，回答問題： 解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是： 設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變?yōu)閥2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4． 當y=1時，x2=1，∴x=1； 當y=4時，x2=4，∴x=2； ∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2． （1）在由原方程得到方程①的過程中，利用法達到的目的，體現(xiàn)了數(shù)學的轉化思想． （2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0． 【答案】（1）換元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2． 【解析】 試題分析：（1）本題主要是利用換元法降次來達到把一元四次方程轉化為一元二次方程，來求解，然后再解這個一元二次方程． （2）利用題中給出的方法先把x2+x當成一個整體y來計算，求出y的值，再解一元二次方程． 解：（1）換元，降次 （2）設x2+x=y，原方程可化為y2﹣4y﹣12=0， 解得y1=6，y2=﹣2． 由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2． 由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0， b2﹣4ac=1﹣42=﹣7＜0，此時方程無實根． 所以原方程的解為x1=﹣3，x2=2． 考點：換元法解一元二次方程． 20．（本題8分）（8分）（2010?泰州）如圖，四邊形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90． （1）求證：AC∥DE； （2）過點B作BF⊥AC于點F，連接EF，試判別四邊形BCEF的形狀，并說明理由． 【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形BCEF是平行四邊形，理由見解析． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質和∠EDC=∠CAB即可得∠EDC=∠ACD，所以AC∥DE；（2）根據(jù)已知易證△CDE≌△BAF（AAS），可得CE=BF，DE=AF，再由DE=AF，DE∥AF，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，所以AD=EF，再證得EF=BC，CE=BF，即可得四邊形BCEF是平行四邊形． 試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， ∵∠EDC=∠CAB， ∴∠EDC=∠ACD， ∴AC∥DE； （2）解：四邊形BCEF是平行四邊形． 理由如下： ∵BF⊥AC，四邊形ABCD是矩形， ∴∠DEC=∠AFB=90，DC=AB 在△CDE和△BAF中， ， ∴△CDE≌△BAF（AAS）， ∴CE=BF，DE=AF（全等三角形的對應邊相等）， ∵AC∥DE， 即DE=AF，DE∥AF， ∴四邊形ADEF是平行四邊形， ∴AD=EF， ∵AD=BC， ∴EF=BC， ∵CE=BF， ∴四邊形BCEF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）． 考點：矩形的性質；全等三角形的判定及性質；平行四邊形的判定及性質． 21．（本題8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點． （1）求證：四邊形EGFH是菱形； （2）若AB=1，則當∠ABC+∠DCB=90時，求四邊形EGFH的面積． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】 試題分析：（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等，即可證得； （2）根據(jù)平行線的性質可以證得∠GFH=90，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE的長，則正方形的面積可以求得． （1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點， ∴FG=CD，HE=CD，F(xiàn)H=AB，GE=AB． ∵AB=CD， ∴FG=FH=HE=EG． ∴四邊形EGFH是菱形． （2）解：∵四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點， ∴GF∥DC，HF∥AB． ∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC． ∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90． ∴∠GFH=90． ∴菱形EGFH是正方形． ∵AB=1， ∴EG=AB=． ∴正方形EGFH的面積=（）2=． 22．（本題10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE． （1）求證：CE=AD； （2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由； （3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由． 【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BECD是菱形，理由見解析；（3）當∠A=45時，四邊形BECD是正方形，理由見解析． 【解析】 試題分析：（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質推出即可； （2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據(jù)菱形的判定推出即可； （3）求出∠CDB=90，再根據(jù)正方形的判定推出即可． 試題解析：（1）∵DE⊥BC， ∴∠DFB=90， ∵∠ACB=90， ∴∠ACB=∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四邊形ADEC是平行四邊形， ∴CE=AD； （2）解：四邊形BECD是菱形， 理由是：∵D為AB中點， ∴AD=BD， ∵CE=AD， ∴BD=CE， ∵BD∥CE， ∴四邊形BECD是平行四邊形， ∵∠ACB=90，D為AB中點， ∴CD=BD， ∴?四邊形BECD是菱形； （3）當∠A=45時，四邊形BECD是正方形，理由是： ∵∠ACB=90，∠A=45， ∴∠ABC=∠A=45， ∴AC=BC， ∵D為BA中點， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB=90， ∵四邊形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即當∠A=45時，四邊形BECD是正方形． 考點：1．正方形的判定；2．平行四邊形的判定與性質；3．菱形的判定． 23．（本題12分）（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求的度數(shù)． （2）如圖②，在Rt△ABD中，，，點M，N是BD邊上的任意兩點，且，將△ABM繞點A逆時針旋轉至△ADH位置，連接，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關系，并說明理由． （3）在圖①中，連接BD分別交AE，AF于點M，N，若，，，求AG，MN的長． 【答案】（1） 45．（2） MN2=ND2+DH2．理由見解析；（3）5. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)高AG與正方形的邊長相等，證明三角形全等，進而證明角相等，從而求出解． （2）用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結論． （3）設出線段的長，結合方程思想，用數(shù)形結合得到結果． 試題解析：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）． ∴∠BAE=∠GAE． 同理，∠GAF=∠DAF． ∴∠EAF=∠BAD=45． （2）MN2=ND2+DH2． ∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45， ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45． ∴∠HAN=∠MAN． 又∵AM=AH，AN=AN， ∴△AMN≌△AHN． ∴MN=HN． ∵∠BAD=90，AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=45． ∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90． ∴NH2=ND2+DH2． ∴MN2=ND2+DH2． （3）由（1）知，BE=EG，DF=FG． 設AG=x，則CE=x-4，CF=x-6． 在Rt△CEF中， ∵CE2+CF2=EF2， ∴（x-4）2+（x-6）2=102． 解這個方程，得x1=12，x2=-2（舍去負根）． 即AG=12．（8分） 在Rt△ABD中， ∴BD=． 在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH， ∴MN2=ND2+BM2． 設MN=a，則a2=（12-3-a）2+（3）2． 即a 2=（9-a）2+（3） 2， ∴a=5．即MN=5. 考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.勾股定理．