高一數(shù)學上學期周清 第十周周清 簡單的線性規(guī)劃問題及基本不等式
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第十周周清 簡單的線性規(guī)劃問題及基本不等式1.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品,若采用甲種原料,每噸成本1000元,運費500元,可得產(chǎn)品90千克;若采用乙種原料,每噸成本為1500元,運費400元,可得產(chǎn)品100千克,如果每月原料的總成本不超過6000元,運費不超過2000元,那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品?分析:將已知數(shù)據(jù)列成下表甲原料(噸)乙原料(噸)費用限額成本100015006000運費5004002000產(chǎn)品90100解:設此工廠每月甲、乙兩種原料各x噸、y噸,生產(chǎn)z千克產(chǎn)品,則:z=90x+100y作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域:由令90x+100y=t,作直線:90x+100y=0即9x+10y=0的平行線90x+100y=t,當90x+100y=t過點M()時,直線90x+100y=t中的截距最大,由此得出t的值也最大,最大值zmax=90=440.答:工廠每月生產(chǎn)440千克產(chǎn)品.2.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子,每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時,漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時;又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時,而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元,試問工廠每天應生產(chǎn)A、B型桌子各多少張,才能獲得利潤最大?解:設每天生產(chǎn)A型桌子x張,B型桌子y張.則目標函數(shù)為:z=2x+3y作出可行域:把直線l:2x+3y=0向右上方平移至l的位置時,直線經(jīng)過可行域上的點M,且與原點距離最大,此時z=2x+3y取最大值.解方程得M的坐標為(2,3).答:每天應生產(chǎn)A型桌子2張,B型桌子3張才能獲得最大利潤.評述:簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解,無論此類題目是以什么實際問題提出,其求解的格式與步驟是不變的:(1)尋找線性約束條件,線性目標函數(shù);(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域;(3)在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解.二、基本不等式基本不等式不等式成立的條件等號成立的條件a0,b0ab三、常用的幾個重要不等式(1)a2b22ab(a,bR) (2)ab()2(a,bR)(3)()2(a,bR) (4)2(a,b同號且不為零)上述四個不等式等號成立的條件都是ab.四、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a0,b0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為,幾何平均數(shù)為,基本不等式可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)四個“平均數(shù)”的大小關(guān)系;a,bR+:當且僅當ab時取等號.五、利用基本不等式求最值:設x,y都是正數(shù)(1)如果積xy是定值P,那么當xy時和xy有最小值2.(2)如果和xy是定值S,那么當xy時積xy有最大值S2.強調(diào):1、在使用“和為常數(shù),積有最大值”和“積為常數(shù),和有最小值”這兩個結(jié)論時,應把握三點:“一正、二定、三相等、四最值”.當條件不完全具備時,應創(chuàng)造條件. 正:兩項必須都是正數(shù); 定:求兩項和的最小值,它們的積應為定值;求兩項積的最大值,它們的和應為定值。等:等號成立的條件必須存在.2、當利用基本不等式求最大(小)值等號取不到時,如何處理?3)已知a0,b0,ab1,求證:4.【證明】(1)a0,b0,ab1,2224(當且僅當ab時等號成立)4.原不等式成立例4: (1)設0x2,求函數(shù)的最大值【分析】由和或積為定值從而利用基本不等式求最值,然后確定取得最值的條件【解】(1)0x0,y,當且僅當x2x即x1時取等號,當x1時,函數(shù)y的最大值是.(2) x0,求f(x)3x的最小值;- 配套講稿:
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