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成都龍泉實驗中學高2017屆高三上學期9月月考試題 數(shù) 學（理） （考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分） 第Ⅰ卷（選擇題 共60分） 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分. 1．復數(shù)滿足，則 A． B． C． D． 2．設則的大小關系是 A． B． C． D． 3．已知集合A＝{x｜≤0，x∈N}，B＝{x｜≤2，x∈Z}，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為 A．1 B．2 C．4 D．8 4.某程序框圖如圖所示，若該程序運行后輸出的值是， 則輸入的整數(shù)的可能值為 A.5 B.6 C.8 D.15 5．下列判斷錯誤的是 A．若為假命題，則至少之一為假命題 B. 命題“”的否定是“” C．“若且，則”是真命題 D．“若，則”的否命題是假命題 6．將A、B、C、D四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且A、B兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為 A.15 B.20 C.30 D.60 7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是 A． B． C． D． 8．若 ，則 A． B． C．1 D． 9．函數(shù)的圖像大致是 10．已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上， SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60，則球O的表面積為 A．4π B．12π C．16π D．64π 11.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，成等差數(shù)列，是數(shù)列的前項的和，則 A.1008 B.2016 C.2032 D.4032 12． 設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右焦點，過F1引圓＝9的切線F1P交雙 曲線的右支于點P，T為切點，M為線段F1P的中點，O為坐標原點，則｜MO｜－｜MT｜為 A．4 B．3 C．2 D．1 第Ⅱ卷（非選擇題 共90分） 二.填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．函數(shù)的值域是 . 14．展開式按的升冪排列，則第3項的系數(shù)為 ． 15. 已知正方形的邊長為，點為的中點．以為圓心，為半徑，作弧交于點，若為劣弧上的動點，則的最小值為___________. 16．若拋物線的焦點在直線上，則的準線方程為_____. 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且－sinBsinC＝． （Ⅰ）求A； （Ⅱ）若a＝4，求△ABC面積的最大值． 18.（本小題滿分12分） 　 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，， 點分別為和中點. (Ⅰ)求證：直線； (Ⅱ)求與平面所成角的正弦值. 19（本小題滿分12分） 2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，給當?shù)厝嗣裨斐闪司薮蟮呢敭a(chǎn)損失，適逢暑假，小張調(diào)查了當?shù)啬承^(qū)的100戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成，，，，五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）： （Ⅰ）臺風后居委會號召小區(qū)居民為臺風重災區(qū)捐款，小張調(diào)查的100戶居民捐款情況如右下表格，在圖2表格空白處填寫正確數(shù)字，并說明是否有以上的把握認為捐款數(shù)額多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關？ （Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率. 現(xiàn)在從該地區(qū)大量受災居民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1戶居民，抽取3次，記被抽取的3戶居民中自身經(jīng)濟損失超過4000元的 人數(shù)為. 若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列，期望和方差. 附：臨界值表隨機量變 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 20．（本題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點． （1）求橢圓C的方程； （2）求的取值范圍； （3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點． 21．（本小題滿分12分）如圖所示，橢圓C：+=1（a＞b＞0），其中e=，焦距為2，過點M（4，0）的直線l與橢圓C交于點A、B，點B在AM之間．又點A，B的中點橫坐標為，且=λ． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程； （Ⅱ）求實數(shù)λ的值． 請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑． 22．（本題滿分10分）選修4-1 幾何證明選講 如圖，是圓的直徑，點在弧上，點為弧的中點，作于點，與交于點，與交于點． （1）證明：； （2）若，，求圓的半徑． 23．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在直角坐標系中中，曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）；在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2的極坐標方程為曲線C1與C2交于A、B兩點， 求|AB|。 24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 設函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的最小值； （Ⅱ）若不等式恒成立，求a的取值范圍. 成都龍泉實驗中學高2017屆高三上學期9月月考試題 數(shù) 學（理）參考答案 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,滿分60分. 1—5 BADCC 6—10 CDADC 11—12 BD 二.填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13、 14、30 15. 16、 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17.解：（I）由，得， 所以. 所以，即. （Ⅱ）由余弦定理，得，當且僅當時取等，即. 所以. 所以面積的最大值為. 18.解：(Ⅰ)證明：作FM∥CD交PC于M. ∵點F為PD中點，∴. …………1分 ∵，∴， ∴AEMF為平行四邊形，∴AF∥EM， ……2分 ∵， ∴直線AF平面PEC. 　　　　 　……………4分 (Ⅱ)，. 如圖所示，建立坐標系，則 P(0,0,1),C(0,1,0),E(,0,0), A(，，0)，， ∴，. …8分 設平面PAB的一個法向量為. ∵，，∴，取，則， ∴平面PAB的一個法向量為. …………………………10分 設向量∵， ∴， ∴PC平面PAB所成角的正弦值為.　 　.…………………………12分 19.（本小題滿分12分） （Ⅰ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，經(jīng)濟損失不超過4000元的有70人，經(jīng)濟損失超過4000元的有30人，則表格數(shù)據(jù)如下 .因為，. 所以有以上的把握認為捐款數(shù)額是否多于或少于500元和自身經(jīng)濟損失是否到4000元有關． （Ⅱ）由頻率分布直方圖可知抽到自身經(jīng)濟損失超過4000元居民的頻率為0.3，將頻率視為概率. 由題意知的取值可能有，， ， ，，，從而的分布列為 ， 20．試題解析：（1）由題意知，∴，即， 又，∴，故橢圓的方程為． （2）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為， 由，得：， 由，得：， 設，則，，① ∴ ∴ ∵，∴，∴， ∴的取值范圍是． （3）證明：∵兩點關于x軸對稱，∴， 直線AE的方程為，令得：， 又，，∴， 由將①代入得：，∴直線與軸交于定點． 21. 解：（I）由條件可知，c=1，a=2， 故b2=a2﹣c2=3， 橢圓的標準方程是． （II）由，可知A，B，M三點共線， 設點A（x1，y1），點B（x2，y2）． 若直線AB⊥x軸，則x1=x2=4，不合題意． 當AB所在直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y=k（x﹣4）． 由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．① 由①的判別式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0， 解得，.， 由==，可得，即有． 將代入方程①，得7x2﹣8x﹣8=0， 則x1=，x2=． 又因為，，， 所以． 22.試題解析：（1）連接，因為點為的中點， 故， 又因為，是的直徑， （2）由知 直角中由勾股定理知 圓的半徑為10 23.解：在ρ＝10cosθ的兩邊同乘以ρ，得ρ2＝10ρcosθ， 則曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝10x，……………………………………3分 將曲線C1的參數(shù)方程代入上式，得(6＋t)2＋t 2＝10(6＋t)， 整理，得t 2＋t－24＝0， 設這個方程的兩根為t1，t2，則t1＋t2＝－，t1t2＝－24， 所以|AB|＝|t2－t1|＝＝3．……………………10分 24．選修4—5：不等式選講 由于所以函數(shù)的最小值為. （Ⅱ）若不等式的恒成立，則， 又解不等式得.所以a的取值范圍為.……………10分