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高考小題分項練6　平面向量 1．已知平面向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，則|a＋b|＝________.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案　 解析　∵a⊥(a－2b)，∴a(a－2b)＝0， ∴ab＝a2＝， ∴|a＋b|＝＝ ＝ ＝. 2．已知向量a，b，其中a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)，則b在a上的投影為______． 答案　 解析　由a＝(－1，)，且a⊥(a－3b)， 得a(a－3b)＝0＝a2－3ab＝4－3ab，ab＝， 所以b在a上的投影為＝＝. 3．平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A，B分別為x軸，y軸上一點，且AB＝2，若點P(2，)，則|＋＋|的取值范圍是______． 答案　[7,11] 解析　設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a2＋b2＝4， ＝(2－a，)，＝(2，－b)， |＋＋|＝|(6－a,3－b)| ＝， 令c＝2a＋b，a＝－代入a2＋b2＝4， 得(－)2＋b2＝4， 化簡得b2－cb＋－4＝0， Δ＝－4(－4)≥0， 解得－6≤c≤6， 則|＋＋|的取值范圍是[7,11]． 4．已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，AD是圓的直徑，若滿足＋＝2，則||＝________. 答案　2 解析　因為AD是直徑，所以∠ABD＝∠ACD＝， 所以＝2，＝2， 所以2＋2＝2， 即∠BAC＝，BC是直徑，所以||＝2. 5．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，＝2，點F在邊CD上，若＝3，則的值為________． 答案?。? 解析　如圖所示，＝2?BE＝BC＝， ＝3?AFcos∠BAF＝1?DF＝1， 以點A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，AD所在直線為x軸，AB所在直線為y軸， 則B(0,3)，F(xiàn)(，1)，E(，3)， 因此＝(，－2)，＝－23＝2－6＝－4. 6．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n (m，n∈R)，則＝________. 答案?。? 解析　如圖，作AE∥DC，交BC于點E，則ADCE為平行四邊形，＝＝m＋n， 又＝＋＝－， 所以故＝－3. 7．在Rt△ABC中，CA＝CB＝3，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且MN＝，則的取值范圍為________． 答案　[4,6] 解析　以點C為坐標(biāo)原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(3,0)，B(0,3)， ∴AB所在直線的方程為：＋＝1， 則y＝3－x. 設(shè)N(a,3－a)，M(b,3－b)， 且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨設(shè)a>b， ∵MN＝，∴(a－b)2＋(b－a)2＝2， ∴a－b＝1，∴a＝b＋1，∴0≤b≤2， ∴＝(b,3－b)(a,3－a) ＝2ab－3(a＋b)＋9＝2(b2－2b＋3) ＝2(b－1)2＋4,0≤b≤2， ∴當(dāng)b＝0或b＝2時有最大值6； 當(dāng)b＝1時有最小值4. ∴的取值范圍為[4,6]． 8．△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊長分別是a，b，c，設(shè)向量n＝(a＋c，sin B－sin A)，m＝(a＋b，sin C)，若m∥n，則角B的大小為________． 答案　 解析　若m∥n，則(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，由正弦定理可得：(a＋b)(b－a)－c(a＋c)＝0， 化為a2＋c2－b2＝－ac，∴cos B＝＝－. ∵B∈(0，π)，∴B＝. 9．已知m＝(cos α，sin α)，n＝(2,1)，α∈(－，)，若mn＝1，則sin(2α＋)＝________. 答案　－ 解析　mn＝2cos α＋sin α＝1，sin α＝1－2cos α， 由sin2α＋cos2α＝1，得(1－2cos α)2＋cos2α＝1， 即5cos2α－4cos α＋1＝1， 又α∈(－，)，解得cos α＝. sin(2α＋)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－. 10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，m＝(a，b)，n＝(sin B，cos A)，m⊥n，b＝2，a＝，則△ABC的面積為______． 答案　 解析　∵在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c， m＝(a，b)，n＝(sin B，cos A)，m⊥n，b＝2，a＝， ∴mn＝asin B＋bcos A＝sin B＋2cos A＝0， ∴sin B＝－， 由正弦定理得＝， 整理得sin A＝－cos A， ∴sin2A＋cos2A＝4cos2A＝1，cos A<0， ∴cos A＝－.∵00)，則sin A的值為________． 答案　 解析　如圖，過點B作BE⊥AC，垂足為E，取AC中點F，連結(jié)BF，則＝λ(＋) (λ>0) ＝λ(＋)＝， ∴和共線，∴點D和點F重合， ∴D是AC的中點． ∵＝(＋)， ∴||2＝(||2＋||2＋2) ＝＋||＋＝5. 又AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos B， 即AC2＝＋BC2－BC， 解方程可得BC＝2，AC＝， 由正弦定理＝，且sin B＝＝＝， 可得sin A＝＝＝.