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高考小題分項(xiàng)練8　立體幾何 1．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題： (1)α∥β?l⊥m；(2)α⊥β?l∥m；(3)l∥m?α⊥β；(4)l⊥m?α∥β. 其中正確的命題是(　　) A．(1)與(2) B．(1)與(3) C．(2)與(4) D．(3)與(4) 答案　B 解析　∵直線l⊥平面α，α∥β，∴l(xiāng)⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，故(1)正確；∵直線l⊥平面α，α⊥β， ∴l(xiāng)∥平面β，或l?平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交，還可以異面，故(2)錯誤；∵直線l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直線m?平面β，∴α⊥β，故(3)正確；∵直線l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m?α，又∵直線m?平面β，則α與β可能平行也可能相交，故(4)錯誤．故選B. 2．已知如圖所示的正方體ABCD—A1B1C1D1，點(diǎn)P、Q分別在棱BB1、DD1上，且＝，過點(diǎn)A、P、Q作截面截去該正方體的含點(diǎn)A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的正(主)視圖的是(　　) 答案　A 解析　當(dāng)P、B1重合時，正(主)視圖為選項(xiàng)B；當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比到B1近時，正(主)視圖為選項(xiàng)C；當(dāng)P到B點(diǎn)的距離比到B1遠(yuǎn)時，正(主)視圖為選項(xiàng)D，因此答案為A. 3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C．4 D. 答案　B 解析　由三視圖知幾何體為四棱錐，四棱錐的右邊側(cè)面與底面垂直，其直觀圖如圖． 四棱錐的底面是邊長為2的正方形，由側(cè)(左)視圖中等腰三角形的腰長為，得棱錐的高為＝2，∴幾何體的體積V＝222＝.故選B. 4．設(shè)a，b，l均為直線，α，β均為平面，則下列命題判斷錯誤的是(　　) A．若l∥α，則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l平行 B．若α⊥β，則α內(nèi)存在無數(shù)條直線與β不垂直 C．若α∥β，則α內(nèi)存在直線m，β內(nèi)存在直線n，使得m⊥n D．若a⊥l，b⊥l，則a與b不可能垂直 答案　D 解析　由直線與平面平行的性質(zhì)可知A正確；當(dāng)α⊥β時，平面α內(nèi)與兩平面的交線不垂直的直線均與平面β不垂直，故B正確；由兩平面平行的性質(zhì)可知，C正確；當(dāng)a⊥l，b⊥l時，a⊥b可以成立，例如長方體一個頂點(diǎn)上的三條直線就滿足此條件，所以D錯，故選D. 5．如圖，ABCD—A1B1C1D1是邊長為1的正方體，S—ABCD是高為1的正四棱錐，若點(diǎn)S，A1，B1，C1，D1在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A.π B.π C.π D.π 答案　D 解析　按如圖所示作輔助線，點(diǎn)O為球心，設(shè)OG1＝x，則OB1＝SO＝2－x，同時由正方體的性質(zhì)知B1G1＝，則在Rt△OB1G1中，OB＝OG＋G1B，即(2－x)2＝x2＋()2，解得x＝，所以球的半徑R＝OB1＝，所以球的表面積為S＝4πR2＝π，故選D. 6．如圖，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.點(diǎn)A、B是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C、D是平面β內(nèi)的兩點(diǎn)，且DA⊥l ，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.點(diǎn)P是平面α上的一動點(diǎn)，且有∠APD＝∠BPC，則四棱錐P—ABCD的體積的最大值是(　　) A．48 B．16 C．24 D. 144 答案　A 解析　由題意知： △PAD，△PBC是直角三角形， 又∠APD＝∠BPC，所以△PAD∽△PBC. 因?yàn)镈A＝4，CB＝8，所以PB＝2PA. 作PM⊥AB于點(diǎn)M，則PM⊥β. 令A(yù)M＝t，則PA2－t2＝4PA2－(6－t)2， 所以PA2＝12－4t， 所以PM＝， 即為四棱錐的高． 又底面為直角梯形，S＝(4＋8)6＝36， 所以V＝36 ＝12≤124＝48. 7．如圖所示是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．57＋24π B．57＋15π C．48＋15π D．48＋24π 答案　D 解析　本題為圓錐與直四棱柱的組合體．注意表面積分為三部分，圓錐側(cè)面展開圖，即扇形面積5＝15π；圓錐底面圓，S＝πr2＝9π；直四棱柱側(cè)面積，344＝48，總面積為48＋24π. 8．如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝，則下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱錐A—BEF的體積為定值 D．△AEF的面積與△BEF的面積相等 答案　D 解析　連接BD，則AC⊥BD，BB1⊥AC， 所以AC⊥平面BDD1B1，則AC⊥BE，故A正確； 因?yàn)锽1D1∥平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正確；因?yàn)槿忮FA—BEF的底面是底邊為EF＝，高為棱長BB1＝1的△BEF，面積為，三棱錐的高為，所以三棱錐A—BEF的體積是定值，故C正確；顯然△AEF與△BEF有相同的底邊，但B到EF的距離與A到EF的距離不相等，即兩三角形的面積不相等，故D錯誤．故選D. 9．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．若α⊥γ，α⊥β，則γ∥β B．若m∥n，m?α，n?β，則α∥β C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，則α∥β D．若m∥n，m∥α，則n∥α 答案　C 解析　由m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，知： 若α⊥γ，α⊥β，則γ與β相交或平行，故A錯誤； 若m∥n，m?α，n?β，則α與β相交或平行，故B錯誤； 若m∥n，m⊥α，n⊥β，則由線面垂直的性質(zhì)定理得α∥β，故C正確； 若m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，故D錯誤．故選C. 10．如圖，已知斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1的各棱長均為2，∠A1AD＝60，∠BAD＝90，平面A1ADD1⊥平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　延長AD，過D1作D1E⊥AD于點(diǎn)E，連接BE. 因?yàn)槠矫鍭1ADD1⊥平面ABCD，平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，D1E?平面A1ADD1，所以D1E⊥平面ABCD，即BE為D1B在平面ABCD內(nèi)的射影，所以∠D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角，因?yàn)镈1E＝2sin 60＝，BE＝＝，所以tan∠D1BE＝＝＝.故選C. 11．如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和EF所成的角為(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 答案　C 解析　連接BC1，A1C1，A1B，如圖所示： 根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角，BC1＝A1C1＝A1B，∴△A1C1B為等邊三角形，故∠A1C1B＝60， 故選C. 12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使得點(diǎn)A，D重合于F，則此時二面角E—BC—F的余弦值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P. 由題意得BF＝CF＝2，PF⊥BC， 又∵EB＝EC＝＝，∴EP⊥BC， ∴∠EPF即為二面角E—BC—F的平面角， 而FP＝ ＝， ∴在△EPF中，cos∠EPF＝ ＝＝， 故選B. 13．如圖，在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于________． 答案　 解析　取BC的中點(diǎn)F，連接EF，OF， 由于點(diǎn)O為底面ABCD的中心，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，所以EF∥BC1∥AD1， 所以異面直線OE與AD1所成角，即OE與EF所成的角． 平面ABCD⊥平面BCC1B1， 平面ABCD∩BCC1B1＝BC， OF⊥BC，OF?平面ABCD， 所以O(shè)F⊥平面BCC1B1，EF?平面BCC1B1， 所以EF⊥OF. 因?yàn)镋F＝，OF＝1， 所以O(shè)E＝＝＝. 所以cos∠FEO＝＝＝. 14．四棱錐P－ABCD的五個頂點(diǎn)都在一個球面上，底面ABCD是矩形，其中AB＝3，BC＝4，又PA⊥平面ABCD，PA＝5，則該球的表面積為________． 答案　50π 解析　由勾股定理得AC＝5，在等腰直角三角形PAC中，PC＝2R＝5，因此表面積S＝4πR2＝50π. 15．已知矩形ABCD的周長為18，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為________． 答案　13π 解析　設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為y， 則6x＋y＝9,0＜x＜1.5， 正六棱柱的體積V＝6x2y＝(－6x3＋9x2)， ∴V′＝－9x(x－1)， ∴令V′＝0，則x＝0(舍)或x＝1. ∵當(dāng)x>1時，V′<0；當(dāng)00， ∴當(dāng)x＝1時，正六棱柱體積最大，此時y＝3. 可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點(diǎn)，則半徑為 ＝， ∴外接球的表面積為4π＝13π. 16．α，β是兩個平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件： ①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF. 其中能成為增加條件的序號是________． 答案?、佗? 解析　由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面， ①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF， 又∵AB⊥α，EF?α， ∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD， 又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，則有EF⊥平面ABCD，則有EF⊥AC成立，而AC與α，β所成的角相等是無法得到EF⊥AC的，故②錯誤；③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知EF⊥AC，由①可知③正確；④中，仿照②的分析過程可知④錯誤，故填：①③.