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高考小題分項練2 不等式
1.若a>b>0,則下列不等式不成立的是( )
A.a(chǎn)+b<2 B.a(chǎn)>b
C.ln a>ln b D.0.3a<0.3b
答案 A
解析 由題意及不等式的性質(zhì),知a+b>2,故選A.
2.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x對任意x都成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-2,2] B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]
答案 A
解析 原不等式等價于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,
①當(dāng)m=2時,對任意x不等式都成立;
②當(dāng)m-2<0時,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,
∴-2
0,b>0)的最大值為8,則ab的最大值為( )
A.1 B.2
C. D.4
答案 C
解析 由約束條件作出可行域如圖(含邊界).
聯(lián)立解得B(,).
化z=ax+by為y=-x+,由圖可知,當(dāng)直線y=-x+過點B時,直線在y軸上的截距最大,z最大.此時z=a+b=8,即3a+14b=20.
∵a>0,b>0,∴20=3a+14b≥2,即ab≤.
∴ab的最大值為,故選C.
6.已知變量x,y滿足約束條件若≤,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.(0,1] B.[0,1)
C.[0,1] D.(0,1)
答案 C
解析 表示區(qū)域內(nèi)點(x,y)與定點A(2,0)連線的斜率k,由圖易觀察到BC與y軸重合時,|k|≤kAC=,
當(dāng)BC向右移動時,|k|≤kAC<.
綜上,a∈[0,1].
7.已知直線ax+by=1經(jīng)過點(1,2),則2a+4b的最小值為( )
A. B.2
C.4 D.4
答案 B
解析 ∵直線ax+by=1經(jīng)過點(1,2),所以a+2b=1,
則2a+4b=2a+22b≥2=2=2.
故選B.
8.不等式x2+2x<+對任意a,b∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)x的取值范圍是( )
A.(-2,0)
B.(-∞,-2)∪(0,+∞)
C.(-4,2)
D.(-∞,-4)∪(2,+∞)
答案 C
解析 ∵a,b∈(0,+∞),∴+≥2=8,
當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時,等號成立,
∴由題意得x2+2x<8,解得-40),的最大值為6,則實數(shù)a的值為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 D
解析 =()2-2()+3=(-1)2+2,
設(shè)k=,則k的幾何意義是過區(qū)域內(nèi)的點與原點的直線的斜率,作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界):
由得即A(1,1),
則點A(1,1)在直線x+y1+1=2,
由 得即B(1,a-1).
AC對應(yīng)直線為y=x,斜率k=1,
則k=的最大值為k=a-1,則1≤k≤a-1 (a≥2),
則當(dāng)=a-1時,取得最大值為6,
即(a-1-1)2+2=6,
即(a-2)2=4,解得a-2=2或a-2=-2,
即a=4或a=0(舍),故選D.
13.已知變量x,y滿足則z=log4(2x+y+4)的最大值為________.
答案
解析 作的可行域如圖陰影部分(含邊界):
易知可行域為一個三角形,驗證知在點A(1,2)處,z1=2x+y+4取得最大值8,∴z=log4(2x+y+4)的最大值是,故答案為.
14.設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項,則+的最小值是________.
答案 4
解析 ∵是3a與3b的等比中項,
∴3a3b=3a+b=3,
∴a+b=1,∴ab≤=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立),∴+==≥4.
15.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域為D,已知點O(0,0),A(1,0),點M是D上的動點,=λ||,則λ的最大值為________.
答案
解析 作可行域如圖陰影部分(含邊界):
由題意知:B(,1),C(,2).所以∈[,].
設(shè)M(x,y),由=λ||得:x=λ,
所以λ==∈[,],
即λ的最大值為=.
16.已知自變量x,y滿足則當(dāng)3≤S≤5時,z=3x+2y的最大值的變化范圍為________.
答案 [7,8]
解析 (1)當(dāng)x+y=S與y+2x=4有交點時,最大值在兩直線交點處取得,最小范圍是當(dāng)S=3時,代入得z=7.
(2)當(dāng)x+y=S與y+2x=4沒有交點時,最大值在(0,4)處取得,代入得z=24=8.
綜上,z的最大值的變化范圍是[7,8].
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