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高考小題分項練4 函數與導數
1．已知函數y＝xf′(x)的圖象如下圖所示(其中f′(x)是函數f(x)的導函數)，下列四個圖象中y＝f(x)的圖象大致是( )
答案 C
解析 由函數y＝xf′(x)的圖象可知：
當x<－1時，xf′(x)<0，f′(x)>0，此時f(x)單調遞增；
當－1
0，f′(x)<0，此時f(x)單調遞減；
當01時，xf′(x)>0，f′(x)>0，此時f(x)單調遞增．
故符合f(x)的圖象為C.
2．定義在R上的函數f(x)滿足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，則不等式exf(x)>ex＋3(其中e為自然對數的底數)的解集為( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 A
解析 令g(x)＝exf(x)－ex，
∴g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex
＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，
∵f(x)＋f′(x)>1，∴g′(x)>0，
∴y＝g(x)在定義域上單調遞增，
∵exf(x)>ex＋3，∴g(x)>3，
∵g(0)＝3，∴g(x)>g(0)，∴x>0，故選A.
3．不等式ex－x>ax的解集為P，且(0,2]?P，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，e－1) B．(e－1，＋∞)
C．(－∞，e＋1) D．(e＋1，＋∞)
答案 A
解析 不等式ex－x>ax在(0,2]上恒成立，即a<(－1)min，x∈(0,2]，令y＝－1，x∈(0,2]，則y′＝＝0?x＝1，列表分析可得x＝1時，y＝－1取最小值e－1，從而a的取值范圍是(－∞，e－1)，
故選A.
4．若函數f(x)＝－ln x－ (a>0，b>0)的圖象在x＝1處的切線與圓x2＋y2＝1相切，則a＋b的最大值是( )
A．4 B．2
C．2 D.
答案 D
解析 f(x)＝－ln x－ (a>0，b>0)，
所以f′(x)＝－，則f′(1)＝－為切線的斜率，
切點為(1，－)，
所以切線方程為y＋＝－(x－1)，
整理得ax＋by＋1＝0.
因為切線與圓相切，所以＝1，即a2＋b2＝1.
由基本不等式得a2＋b2＝1≥2ab，
所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝1＋2ab≤2，
所以a＋b≤，即a＋b的最大值為.
5．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的導數為f′(x)，f′(0)>0，對于任意的實數x都有f(x)≥0，則的取值范圍是( )
A．[，＋∞) B．[2，＋∞)
C．[，＋∞) D．[3，＋∞)
答案 B
解析 由題意得，f′(x)＝2ax＋b，
∵f′(0)>0，∴b>0，
又∵?x∈R，都有f(x)≥0，∴a>0，
∴Δ＝b2－4ac≤0?ac≥?≥?≥，
∴c>0.∴＝＝1＋＋
≥1＋2 ≥1＋2＝2，
當且僅當＝＝?a＝c＝b>0時，等號成立，
∴的取值范圍是[2，＋∞)，故選B.
6．函數f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，其導函數f′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區(qū)間(a，b)內極小值點的個數為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 f′(x)>0時，f(x)單調遞增，f′(x)<0時，f(x)單調遞減．f(x)的圖象如圖所示，顯然f(x)在(a，b)內的極小值點只有一個．
7．已知定義域為R的奇函數y＝f(x)的導函數為y＝f′(x)，當x≠0時，xf′(x)－f(x)<0，若a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系正確的是( )
A．ae>ln 2知<<，即c0.
∴不等式f(x)1恒成立，則實數a的取值范圍是( )
A．[15，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(－∞，15] D．(－∞，6]
答案 A
解析 >1
?>0，
∴g(x)＝f(x＋1)－(x＋1)在(0,1)內是增函數，
∴g′(x)>0在(0,1)內恒成立，
即－(2x＋3)>0恒成立，
∴a>[(2x＋3)(x＋2)]max，
∵x∈(0,1)時，(2x＋3)(x＋2)<15，
∴實數a的取值范圍為[15，＋∞)，
故選A.
13．?(＋3)dx＝______________.
答案 ＋＋6
解析 令y＝，則(x－2)2＋y2＝4，
所以?dx表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓在第一象限內1≤x≤3部分的面積，其面積為4π＋21＝π＋.
所以?(＋3)dx
＝?()dx＋?3dx
＝＋＋(3x)|＝＋＋6.
14．(2016課標全國丙)已知f(x)為偶函數，當x＜0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________．
答案 2x＋y＋1＝0
解析 設x＞0，則－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，
又f(x)為偶函數，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，
f′(1)＝－2，切線方程為y＝－2x－1，
即2x＋y＋1＝0.
15．如圖，陰影部分的面積是________．
答案
解析 聯立直線y＝2x與拋物線y＝3－x2，解得交點為(－3，－6)和(1,2)．設陰影部分面積為S，如圖，
則S＝?(3－x2－2x)dx
＝－－x2＋3x|
＝(－－1＋3)－(9－9－9)
＝.
16．設函數f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋m.有下列五個命題：
①若對任意x∈[1,2]，關于x的不等式f(x)>g(x)恒成立，則mg(x0)成立，則mg(x2)恒成立，則mg(x2)成立，則mg(x2)成立，則mg(x)恒成立，即f(x)－g(x)>0恒成立，令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－ln x－m，F′(x)＝ex－>0 (x∈[1,2])，只需F(1)＝e－m>0，即mg(x0)成立，由①可知只需F(2)＝e2－ln 2－m>0，即mg(x2)恒成立，即f(x)min>g(x)max，即f(1)>g(2)，所以mg(x2)成立，則f(x)min>g(x)min，即f(1)>g(1)，所以mg(x2)成立，則f(x)max>g(x)min，即f(2)>g(1)，所以m
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