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高考小題分項(xiàng)練14　推理與證明 1．某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班；丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋畵?jù)此可判斷丙必定值班的日期是(　　) A．2日和5日 B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日 答案　C 解析　由題意，得1至12的和為78，因?yàn)槿烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟龋匀烁髯灾蛋嗟娜掌谥蜑?6.根據(jù)甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是6日和11日，故選C. 2．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 答案　A 解析　反證法證明問題時(shí)，反設(shè)實(shí)際是命題的否定，∴用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是方程x2＋ax＋b＝0沒有實(shí)根．故選A. 3．觀察下列規(guī)律|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，….則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為(　　) A．76 B．80 C．86 D．92 答案　B 解析　觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)4,8,12，…可以構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝4n，則所求為第20項(xiàng)，所以a20＝80，故選B. 4．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是(　　) ①y＝cos x(x∈R)是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù)． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 答案　B 解析　根據(jù)“三段論”：“大前提”?“小前提”?“結(jié)論”可知：①y＝cos x(x∈R )是三角函數(shù)是“小前提”；②三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”；③y＝cos x(x∈R )是周期函數(shù)是“結(jié)論”．故“三段論”模式排列順序?yàn)棰冖佗郏蔬xB. 5．某電商在“雙十一”期間用電子支付系統(tǒng)進(jìn)行商品買賣，全部商品共有n類(n∈N*)，分別編號(hào)為1,2，…，n，買家共有m名(m∈N*，m＜n)，分別編號(hào)為1,2，…，m.若aij＝1≤i≤m,1≤j≤n，則同時(shí)購(gòu)買第1類和第2類商品的人數(shù)是(　　) A．a(chǎn)11＋a12＋…＋a1m＋a21＋a22＋…＋a2m B．a(chǎn)11＋a21＋…＋am1＋a12＋a22＋…＋am2 C．a(chǎn)11a12＋a21a22＋…＋am1am2 D．a(chǎn)11a21＋a12a22＋…＋a1ma2m 答案　C 解析　∵aij＝ 1≤i≤m,1≤j≤n， ∴ai1ai2表示第i名買家同時(shí)購(gòu)買第1類和第2類商品， ∴同時(shí)購(gòu)買第1類和第2類商品的人數(shù)是a11a12＋a21a22＋…＋am1am2，故選C. 6．對(duì)于任意正整數(shù)n，定義“n?。　比缦拢寒?dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n！?。絥(n－2)(n－4)…642，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n?。。絥(n－2)(n－4)…531，且有n！＝n(n－1)(n－2)…321.現(xiàn)有四個(gè)命題： ①2 016?。? 015?。。? 016??；②2 016！?。?1 0081 008??；③2 015??！的個(gè)位數(shù)字是5；④2 014！！的個(gè)位數(shù)字是0. 其中正確的命題有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 答案　D 解析　根據(jù)題意，依次分析四個(gè)命題可得： 對(duì)于①，2 016??！2 015?。。?2468…2 0082 0102 0122 0142 016)(1357…2 0092 0112 0132 015)＝12345…2 0122 0132 0142 0152 016＝2 016！，故①正確；對(duì)于②，2 016?。。?46810…2 0082 0102 0122 0142 016＝21 008(1234…1 008)＝21 0081 008！，故②正確；對(duì)于③，2 015！?。? 0152 0132 011…31，其個(gè)位數(shù)字與13579的個(gè)位數(shù)字相同，故其個(gè)位數(shù)字為5，故③正確；對(duì)于④，2 014！?。?468…2 0082 0102 0122 014，其中含有10，故個(gè)位數(shù)字為0，故④正確．故選D. 7. 已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列，若cn＝，則數(shù)列{cn}也為等差數(shù)列．已知數(shù)列{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列，類比上述結(jié)論可得(　　) A．若{dn}滿足dn＝，則{dn}也是等比數(shù)列 B．若{dn}滿足dn＝，則{dn}也是等比數(shù)列 C．若{dn}滿足dn＝[b1(2b2)(3b3)…(nbn)]，則{dn}也是等比數(shù)列 D．若{dn}滿足dn＝[b1bb…b]，則{dn}也是等比數(shù)列 答案　D 解析　等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系有：等差數(shù)列中的加法對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘法，等差數(shù)列中的除法對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的開方，據(jù)此，我們可以類比得：若{dn}滿足dn＝[b1bb…b]，則{dn}也是等比數(shù)列． 8．如圖，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BDBC；類似地有命題：在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為點(diǎn)M，延長(zhǎng)DM交BC于點(diǎn)E，則有S△ABC＝S△BCMS△BCD.上述命題是(　　) A．真命題 B．增加條件“AB⊥AC”才是真命題 C．增加條件“M為△BCD的垂心”才是真命題 D．增加條件“三棱錐A－BCD是正三棱錐”才是真命題 答案　A 解析　連接AE.因?yàn)锳D⊥平面ABC，AE?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝MEDE，又A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影為點(diǎn)M，所以AM⊥平面BCD，AM⊥BC，又AM∩AD＝A，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，BC⊥AE，S＝(BCAE)2＝BCEMBCDE＝S△BCMS△BCD，可得S＝S△BCMS△BCD，故選A. 9．下列推理是歸納推理的是(　　) A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜想出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 答案　B 解析　由S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理． 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋＋…＋>(n≥2)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時(shí)，不等式左邊(　　) A．增加了一項(xiàng) B．增加了一項(xiàng)＋ C．增加了＋，又減少了 D．增加了，又減少了 答案　C 解析　當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝＋＋…＋， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝＋＋…＋＝(＋＋…＋)－＋＋，故選C. 11．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元，某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝，其包裝費(fèi)用、銷售價(jià)格如表所示： 型號(hào) 小包裝 大包裝 重量 100克 300克 包裝費(fèi) 0.5元 0.7元 銷售價(jià)格 3.00元 8.4元 則下列說法正確的是(　　) ①買小包裝實(shí)惠；②買大包裝實(shí)惠；③賣3小包比賣1大包盈利多；④賣1大包比賣3小包盈利多． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 答案　D 解析　大包裝300克8.4元，則等價(jià)為100克2.8元，小包裝100克3元，則買大包裝實(shí)惠，故②正確；賣1大包盈利8.4－0.7－1.83＝2.3(元)，賣1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，則賣3小包盈利0.73＝2.1(元)，則賣1大包比賣3小包盈利多．故④正確，故選D. 12．如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙．在100個(gè)小伙子中，如果某人不亞于其他99人，就稱他為棒小伙子，那么100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有(　　) A．3個(gè) B．4個(gè) C．99個(gè) D．100個(gè) 答案　D 解析　先推出兩個(gè)小伙子的情形，如果甲的身高數(shù)>乙的身高數(shù)，且乙的體重?cái)?shù)>甲的體重?cái)?shù)，可知棒小伙子最多有2人．再考慮三個(gè)小伙子的情形，如果甲的身高數(shù)>乙的身高數(shù)>丙的身高數(shù)，且丙的體重?cái)?shù)>乙的體重?cái)?shù)>甲的體重?cái)?shù)，可知棒小伙子最多有3人．由此可以設(shè)想，當(dāng)有100個(gè)小伙子時(shí)，設(shè)每個(gè)小伙子為Ai(i＝1,2，…，100)，其身高數(shù)為xi，體重?cái)?shù)為yi， 當(dāng)y100>y99>…>yi>yi－1>…>y1，x1>x2>…>xi>xi＋1>…>x100時(shí)，由身高看，Ai不亞于Ai＋1，Ai＋2，…，A100；由體重看，Ai不亞于Ai－1，Ai－2，…，A1，所以，Ai不亞于其他99人(i＝1,2，…，100)，所以，Ai為棒小伙子(i＝1,2，…，100)．因此，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有100個(gè)．故選D. 13．在平面上，設(shè)ha，hb，hc是三角形ABC三條邊上的高，點(diǎn)P為三角形內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為Pa，Pb，Pc，我們可以得到結(jié)論：＋＋＝1.把它類比到空間，則三棱錐中的類似結(jié)論為______________． 答案?。? 解析　設(shè)ha，hb，hc，hd分別是三棱錐A－BCD四個(gè)面上的高，點(diǎn)P為三棱錐A－BCD內(nèi)任一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出結(jié)論：＋＋＋＝1. 14．設(shè)S＝ ＋ ＋ ＋…＋，則不大于S的最大整數(shù)[S]＝________. 答案　2 014 解析　∵ ＝ ＝＝1＋(－)， ∴S＝1＋(－)＋1＋(－)＋…＋1＋(－)＝2 015－，故[S]＝2 014. 15．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形，按下圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三個(gè)側(cè)面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結(jié)論是________． 答案　S＋S＋S＝S 解析　將側(cè)面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S＋S＋S＝S. 16．若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)仍是x的函數(shù)，就把y′＝f′(x)的導(dǎo)數(shù)y″＝f″(x)叫做函數(shù)y＝f(x)二階導(dǎo)數(shù)，記做y(2)＝f(2)(x)．同樣函數(shù)y′＝f′(x)的n－1階導(dǎo)數(shù)叫做y＝f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作y(n)＝f(n)(x)．在求y＝ln(x＋1)的n階導(dǎo)數(shù)時(shí)，已求得y′＝，y(2)＝－，y(3)＝，y(4)＝－，…，根據(jù)以上推理，函數(shù)y＝ln(x＋1)的n階導(dǎo)數(shù)為____________________． 答案　y(n)＝(－1)n－1 解析　由題意知：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)為正，n為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)為負(fù)． 故答案為 y(n)＝(－1)n－1.