高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文
《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題 文(15頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第30練與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一,應(yīng)用廣泛,是高考的重點(diǎn)考查對(duì)象,拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問題都是高考熱點(diǎn)考查形式有選擇題、填空題也有解答題,小題難度一般為低中檔層次,解答題難度為中檔偏上體驗(yàn)高考1(2015四川)設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x5)2y2r2(r0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn),若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)答案D解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則相減得(y1y2)(y1y2)4(x1x2),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),符合條件的直線l必有兩條;當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí),如圖x1x2,則有2,即y0k2,由CMAB得,k1,y0k5x0,25x0,x03,即M必在直線x3上,將x3代入y24x,得y212,2y02,點(diǎn)M在圓上,(x05)2yr2,r2y412416,又y44,4r216,2r4.故選D.2(2015浙江)如圖,設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則BCF與ACF的面積之比是()A.B.C.D.答案A解析由圖形可知,BCF與ACF有公共的頂點(diǎn)F,且A,B,C三點(diǎn)共線,易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)F(1,0),作準(zhǔn)線l,則l的方程為x1.點(diǎn)A,B在拋物線上,過A,B分別作AK,BH與準(zhǔn)線垂直,垂足分別為點(diǎn)K,H,且與y軸分別交于點(diǎn)N,M.由拋物線定義,得|BM|BF|1,|AN|AF|1.在CAN中,BMAN,.3(2016四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D1答案C解析如圖,由題意可知F,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,顯然,當(dāng)y00時(shí),kOM0時(shí),kOM0,要求kOM的最大值,不妨設(shè)y00.則(),kOM,當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時(shí)等號(hào)成立故選C.4(2016課標(biāo)全國(guó)乙)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn)已知|AB|4,|DE|2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4C6 D8答案B解析不妨設(shè)拋物線C:y22px(p0),則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r0),如圖,又可設(shè)A(x0,2),D,點(diǎn)A(x0,2)在拋物線y22px上,82px0,點(diǎn)A(x0,2)在圓x2y2r2上,x8r2,點(diǎn)D在圓x2y2r2上,25r2,聯(lián)立,解得p4,即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4,故選B.5(2015上海)拋物線y22px(p0)上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1,則p_.答案2解析根據(jù)拋物線的性質(zhì),我們知道當(dāng)且僅當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)的時(shí)候,才與拋物線焦點(diǎn)的距離最小,所以有|PQ|min1p2.高考必會(huì)題型題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1已知P為拋物線y26x上一點(diǎn),點(diǎn)P到直線l:3x4y260的距離為d1.(1)求d1的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d2,求d1d2的最小值解(1)設(shè)P(,y0),則d1|(y04)236|,當(dāng)y04時(shí),(d1)min,此時(shí)x0,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)時(shí),(d1)min.(2)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則F(,0),且d2|PF|,d1d2d1|PF|,它的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離,(d1d2)min.點(diǎn)評(píng)與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑變式訓(xùn)練1(1)(2016浙江)若拋物線y24x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是_(2)已知點(diǎn)P在拋物線y24x上,那么點(diǎn)P到Q(2,1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(,1) B(,1)C(1,2) D(1,2)答案(1)9(2)B解析(1)拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1,0)準(zhǔn)線為x1,由M到焦點(diǎn)的距離為10,可知M到準(zhǔn)線x1的距離也為10,故M的橫坐標(biāo)滿足xM110,解得xM9,所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9.(2)拋物線y24x焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線為x1,作PQ垂直于準(zhǔn)線,垂足為M,根據(jù)拋物線定義,|PQ|PF|PQ|PM|,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,直角三角形斜邊大于直角邊知:|PQ|PM|的最小值是點(diǎn)Q到拋物線準(zhǔn)線x1的距離所以點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1,則橫坐標(biāo)為,即(,1)題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)例2(2015福建)已知點(diǎn)F為拋物線E:y22px(p0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上,且|AF|3.(1)求拋物線E的方程;(2)已知點(diǎn)G(1,0),延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B,證明:以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切方法一(1)解由拋物線的定義得|AF|2.因?yàn)閨AF|3,即23,解得p2,所以拋物線E的方程為y24x.(2)證明因?yàn)辄c(diǎn)A(2,m)在拋物線E:y24x上,所以m2,由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,從而B.又G(1,0),所以kGA,kGB.所以kGAkGB0,從而AGFBGF,這表明點(diǎn)F到直線GA,GB的距離相等,故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切方法二(1)解同方法一(2)證明設(shè)以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)A(2,m)在拋物線E:y24x上,所以m2,由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x,從而B.又G(1,0),故直線GA的方程為2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點(diǎn)F到直線GB的距離dr.這表明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切點(diǎn)評(píng)(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可以首先確定拋物線的開口方向、焦點(diǎn)的位置及p的值,再進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p,只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程變式訓(xùn)練2已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)(1)求拋物線C的方程;(2)若一個(gè)等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,求該等邊三角形的面積;(3)過點(diǎn)M作拋物線C的兩條弦MA,MB,設(shè)MA,MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1k22時(shí),試證明直線AB的斜率為定值,并求出該定值解(1)設(shè)拋物線C的方程為x22py(p0),由點(diǎn)M(2,1)在拋物線C上,得42p,則p2,拋物線C的方程為x24y.(2)設(shè)該等邊三角形OPQ的頂點(diǎn)P,Q在拋物線上,且P(xP,yP),Q(xQ,yQ),則x4yP,x4yQ,由|OP|OQ|,得xyxy,即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP0,yQ0,則yPyQ,|xP|xQ|,即線段PQ關(guān)于y軸對(duì)稱POy30,yPxP,代入x4yP,得xP4,該等邊三角形邊長(zhǎng)為8,SPOQ48.(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x4y1,x4y2,k1k2(x12x22)2.x1x212,kAB(x1x2)3.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3已知拋物線C:ymx2(m0),焦點(diǎn)為F,直線2xy20交拋物線C于A,B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn),過P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3,求此時(shí)m的值;(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由解(1)拋物線C:x2y,它的焦點(diǎn)F(0,)(2)|RF|yR,23,得m.(3)存在,聯(lián)立方程消去y得mx22x20,依題意,有(2)24m(2)0m.設(shè)A(x1,mx),B(x2,mx),則(*)P是線段AB的中點(diǎn),P(,),即P(,yP),Q(,)得(x1,mx),(x2,mx),若存在實(shí)數(shù)m,使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則0,即(x1)(x2)(mx)(mx)0,結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得40,即2m23m20,m2或m,而2(,),(,)存在實(shí)數(shù)m2,使ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形點(diǎn)評(píng)(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題,要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|x1x2p,若不過焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解變式訓(xùn)練3(2015課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:y與直線l:ykxa(a0)交于M,N兩點(diǎn),(1)當(dāng)k0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有OPMOPN?說明理由解(1)由題設(shè)可得M(2,a),N(2,a),或M(2,a),N(2,a)又y,故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為,C在點(diǎn)(2,a)處的切線方程為ya(x2),即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為,C在點(diǎn)(2,a)處的切線方程為ya(x2),即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn),證明如下:設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn),M(x1,y1),N(x2,y2),直線PM,PN的斜率分別為k1,k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k,x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時(shí),有k1k20,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故OPMOPN,所以點(diǎn)P(0,a)符合題意高考題型精練1如圖所示,過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2x答案C解析如圖,分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線,分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,設(shè)|BF|a,則由已知得:|BC|2a,由定義得:|BD|a,故BCD30.在直角三角形ACE中,|AF|3,|AE|3,|AC|33a,2|AE|AC|,33a6,從而得a1,BDFG,求得p,因此拋物線方程為y23x,故選C.2已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,y0)若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則|OM|等于()A2B2C4 D2答案B解析設(shè)拋物線方程為y22px,則點(diǎn)M(2,2)焦點(diǎn),點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,24p9,解得p2(負(fù)值舍去),故M(2,2)|OM|2.3已知拋物線C:y2x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|x0,則x0等于()A1 B2C4 D8答案A解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x.因?yàn)閨AF|x0,根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0,解得x01.4已知拋物線C:y28x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(2,2),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若AMB90,則k等于()A.B.C.D2答案D解析拋物線C:y28x的焦點(diǎn)為F(2,0),由題意可知直線AB的斜率一定存在,所以設(shè)直線方程為yk(x2),代入拋物線方程可得k2x2(4k28)x4k20,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x24,x1x24,所以y1y2,y1y216,因?yàn)锳MB90,所以(x12,y12)(x22,y22)40,解得k2,故選D.5已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C:y22px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為()A.B.C.D.答案D解析拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x,而點(diǎn)A(2,3)在準(zhǔn)線上,所以2,即p4,從而C:y28x,焦點(diǎn)為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2),代入y28x得y2y2k30(k0),由于14(2k3)0,所以k2或k.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限,所以k.將k代入中,得y8,再代入y28x中得x8,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,8),所以直線BF的斜率為.6已知A(x1,y1)是拋物線y28x的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),B(x2,y2)是圓(x2)2y216上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)N(2,0),若ABx軸,且x10)和E2:y22p2x(p20),過原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點(diǎn),l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點(diǎn)(1)證明:A1B1A2B2;(2)過O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點(diǎn)記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2,求的值(1)證明設(shè)直線l1,l2的方程分別為yk1x,yk2x(k1,k20),由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以2p1.(,)2p2(,)故,所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2,同理可得B1C1B2C2,C1A1C2A2,所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知,故.12已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2)是過F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),求證:(1)y1y2p2,x1x2;(2)為定值;(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切證明(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)由題意可設(shè)直線方程為xmy,代入y22px,得y22p,即y22pmyp20.(*)則y1,y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以y1y2p2.因?yàn)閥2px1,y2px2,所以yy4p2x1x2,所以x1x2.(2).因?yàn)閤1x2,x1x2|AB|p,代入上式,得(定值)(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為C,D,過M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,則|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切- 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