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高考小題分項練7　數　列 1．在等比數列{an}中，若a1＝，a4＝3，則該數列前五項的積為(　　) A．3 B．3 C．1 D．1 答案　D 解析　因為a4＝a1q3,3＝q3，q＝3， 所以a1a2a3a4a5＝a＝(a1q2)5＝(9)5＝1，故選D. 2．已知數列{an}是公差為2的等差數列，且a1，a2，a5成等比數列，則a2為(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 答案　D 解析　a1＝a2－2，a5＝a2＋6， ∴a＝a1a5＝(a2－2)(a2＋6)，解得a2＝3，故選D. 3．等差數列{an}的前n項和為Sn，若＝，則等于(　　) A．2 B. C. D. 答案　C 解析　當n＝3時，＝＝， ∴＝.故選C. 4．已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2，則該數列的前12項和為(　　) A．211 B．212 C．126 D．147 答案　D 解析　∵a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋sin2， ∴a3＝a1＋1＝2，a4＝2a2＝4，…，a2k－1＝a2k－3＋1，a2k＝2a2k－2 (k∈N*，k≥2)． ∴數列{a2k－1}成等差數列，數列{a2k}成等比數列． ∴該數列的前12項和為(a1＋a3＋…＋a11)＋(a2＋a4＋…＋a12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝＋＝21＋27－2＝147.故選D. 5．設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2＋a7＋a12＝24，則S13等于(　　) A．52 B．78 C．104 D．208 答案　C 解析　由a2＋a7＋a12＝24，得a7＝8， 所以，S13＝＝13a7＝104，故選C. 6．正項等比數列{an}中的a1，a4 031是函數f(x)＝x3－4x2＋6x－3的極值點，則loga2 016等于(　　) A．1 B．2 C. D．－1 答案　A 解析　∵f′(x)＝x2－8x＋6，∴a1a4 031＝6， ∴a＝6，∵a2 016>0， ∴a2 016＝，loga2 016＝1. 7．設Sn為數列{an}的前n項和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，則an等于(　　) A．3(3n－2n) B．3n＋2 C．3n D．32n－1 答案　C 解析　由已知得， 解得 代入選項檢驗，只有C符合． 8．《九章算術》“竹九節(jié)”問題：現有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為(　　) A．1升 B.升 C.升 D.升 答案　B 解析　設竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：a1，a2，…，a9，且為等差數列，根據題意得：a1＋a2＋a3＋a4＝3， a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，①3a1＋21d＝4，② ②4－①3得：66d＝7，解得d＝， 代入①得：a1＝，則a5＝＋(5－1)＝. 9．已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1an＝2n (n∈N*)，則S2 015等于(　　) A．22 015－1 B．21 009－3 C．321 007－3 D．21 008－3 答案　B 解析　∵a1＝1，an＋1an＝2n，∴a2＝2， ∴當n≥2時，anan－1＝2n－1， ∴＝＝2， ∴數列{an}中奇數項、偶數項分別成等比數列， ∴S2 015＝＋＝21 009－3，故選B. 10．已知數列{an}的通項公式為an＝log2 (n∈N*)，設其前n項和為Sn，則使Sn<－5成立的自然數n(　　) A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31 答案　A 解析　∵an＝log2(n∈N*)， ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝log2＋log2＋…＋log2 ＝log2(…)＝log2， 又因為Sn<－5＝log2?62， 故使Sn<－5成立的正整數n有最小值63.故選A. 11．已知函數f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　) A．0 B．－100 C．100 D．10 200 答案　B 解析　∵f(n)＝n2cos(nπ) ＝＝(－1)nn2， ∴由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)nn2＋(－1)n＋1(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1(2n＋1)， 得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50(－2)＝－100.故選B. 12．設等比數列{an}的公比為q，其前n項之積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2 015a2 016>1，<0.給出下列結論： ①00；③T2 016的值是Tn中最大的；④使Tn>1成立的最大自然數等于4 030.其中正確的結論為(　　) A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案　C 解析　由<0可知：a2 015<1或a2 016<1. 如果a2 015<1，那么a2 016>1，若a2 015<0，則q<0； 又因為a2 016＝a1q2 015，所以a2 016應與a1異號， 即a2 016<0，這與假設矛盾，所以q>0. 若q≥1，則a2 015>1且a2 016>1，與推出的結論矛盾，所以01，a2 016<1，所以數列從第2 016項開始小于1，所以T2 015最大．故③錯誤． 由結論①可知數列從第2 016項開始小于1，而Tn＝a1a2a3…an， T4 031＝a1a2…a4 031＝(a1a4 031)(a2a4 030)…(a2 015a2 017)a2 016<1， 所以Tn>1對應的最大自然數為4 030，故④正確． 13．已知等比數列{an}是遞增數列，Sn是{an}的前n項和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，則S6＝________. 答案　63 解析　解方程x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4. 因為數列{an}是遞增數列，且a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的兩個根，所以a1＝1，a3＝4. 設等比數列{an}的公比為q，則q2＝＝＝4， 所以q＝2.則S6＝＝＝63. 14．某慢性疾病患者，因病到醫(yī)院就醫(yī)，醫(yī)生給他開了處方藥(片劑)，要求此患者每天早、晚間隔12小時各服一次藥，每次一片，每片200毫克．假設該患者的腎臟每12小時從體內大約排出這種藥在其體內殘留量的50%，并且醫(yī)生認為這種藥在體內的殘留量不超過400毫克時無明顯副作用．若該患者第一天上午8點第一次服藥，則第二天上午8點服完藥時，藥在其體內的殘留量是________毫克．若該患者堅持長期服用此藥，則________明顯副作用(此空填“有”或“無”)． 答案　350　無 解析　設該病人第n次服藥后，藥在體內的殘留量為an毫克， 所以a1＝200，a2＝200＋a1(1－50%)＝300， a3＝200＋a2(1－50%)＝350. 由an＝200＋0.5an－1 (n≥2)， 得an－400＝0.5(an－1－400) (n≥2)， 所以{an－400}是一個等比數列， 所以an－400＝－2000.5n－1<0，∴an<400. 所以若該患者堅持長期服用此藥無明顯副作用． 15．若數列{an}是正項數列，且＋＋…＋＝n2＋3n，則＋＋…＋＝________. 答案　2n2＋6n 解析　記Tn＝＋＋…＋， ∴＝Tn－Tn－1＝n2＋3n－[(n－1)2＋3(n－1)] ＝2(n＋1)， ∴an＝4(n＋1)2 (n≥2)． 令n＝1，∴＝4?a1＝16，∴an＝4(n＋1)2， ∴＝4(n＋1)． ∴＋＋…＋＝4(2＋3＋…＋n＋1) ＝4n＝2n2＋6n. 16．已知各項均為正數的數列{an}滿足an＋1＝＋，a1＝，Sn為數列{an}的前n項和，若對于任意的n∈N*，不等式≥2n－3恒成立，則實數k的取值范圍為________． 答案　k≥ 解析　an＋1＝Aan＋B?an＋1－＝A(an－)， 因此an＋1－＝(an－)， 故{an－}是首項為3，公比為的等比數列． 因此2Sn－n＝12(1－)， 故不等式可化簡為k≥. 因此令函數f(n)＝， 令f′(n)＝＝0， 解得2n＝＋3，正整數n可取2或3， f(2)＝，f(3)＝. 所以k≥.