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高考小題分項練8　立體幾何 1．已知直線l⊥平面α，直線m?平面β，有下面四個命題： ①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β. 其中正確的命題是____________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案?、佗? 解析　∵直線l⊥平面α，α∥β，∴l(xiāng)⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，故①正確；∵直線l⊥平面α，α⊥β， ∴l(xiāng)∥平面β，或l?平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)與m可能平行也可能相交，還可以異面，故②錯誤；∵直線l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直線m?平面β，∴α⊥β，故③正確；∵直線l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m?α，又∵直線m?平面β，則α與β可能平行也可能相交，故④錯誤． 2．給出四個命題： ①平行于同一平面的兩個不重合的平面平行； ②平行于同一直線的兩個不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的兩個不重合的平面平行； ④垂直于同一直線的兩個不重合的平面平行． 其中真命題的序號是________． 答案?、佗? 解析?、倨叫杏谕黄矫娴膬蓚€不重合的平面平行，故①命題正確；②平行于同一直線的兩個不重合的平面不一定平行，故②命題錯誤；③垂直于同一平面的兩個不重合的平面不一定平行，故③命題錯誤；④垂直于同一直線的兩個不重合的平面平行，故④命題正確． 3．底面邊長為a的正四面體的體積為________． 答案　a3 解析　由題意得正四面體的高為 ＝a， V＝aa2＝a3. 4．將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個扇形作為三個圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________. 答案　5 解析　由題意得，扇形弧長為對應(yīng)圓錐底面周長， 因此2π(r1＋r2＋r3)＝2π5 ?r1＋r2＋r3＝5. 5．如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，O為BD1的中點，三棱錐O—ABD的體積為V1，四棱錐O—ADD1A1的體積為V2，則的值為________． 答案　 解析　設(shè)長方體長，寬，高分別為a，b，c， V1＝abc＝， V2＝bca＝， ＝. 6．如圖，ABCD—A1B1C1D1是邊長為1的正方體，S—ABCD是高為1的正四棱錐，若點S，A1，B1，C1，D1在同一球面上，則該球的表面積為__________． 答案　π 解析　按如圖所示作輔助線，點O為球心，設(shè)OG1＝x，則OB1＝SO＝2－x，同時由正方體的性質(zhì)知B1G1＝，則在Rt△OB1G1中，OB＝OG＋G1B，即(2－x)2＝x2＋()2，解得x＝，所以球的半徑R＝OB1＝，所以球的表面積為S＝4πR2＝π. 7.如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題： ①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC. 其中正確的命題是______(填上所有正確命題的序號)． 答案?、冖? 解析?、馘e誤，PA?平面MOB；②正確；③錯誤，否則，有OC⊥AC，這與BC⊥AC矛盾；④正確，因為BC⊥平面PAC. 8．已知矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝3，若沿對角線AC折疊，使得平面DAC⊥平面BAC，則三棱錐D—ABC的體積為________． 答案　 解析　因為平面DAC⊥平面BAC，所以D到直線AC的距離為三棱柱D—ABC的高， VD—ABC＝S△ABCh， S△ABC＝34＝6，h＝＝， V＝6＝. 9．已知正四棱錐底面邊長為4，體積為32，則此四棱錐的側(cè)棱長為______． 答案　5 解析　V＝Sh＝32，S＝44＝32，得h＝3. 正四棱錐底面對角線長為8， 則此四棱錐的側(cè)棱長為＝5. 10．如圖，將邊長為5＋的正方形，剪去陰影部分后，得到圓錐的側(cè)面和底面的展開圖，則圓錐的體積是______． 答案　π 解析　設(shè)圓錐底面半徑為R＝MO，底面周長＝2πR＝弧長FE＝2πAM，∴AM＝4R，OC＝R，AC＝AM＋MO＋OC＝(5＋)R，正方形邊長＝5＋＝AC， 即5＋＝(5＋)R，∴R＝， AM＝4，h＝＝， V＝πR2h＝π2＝. 11．在正三棱錐S—ABC中，點M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2，則正三棱錐S—ABC的外接球的表面積為________． 答案　12π 解析　因為三棱錐S—ABC為正三棱錐，所以SB⊥AC， 又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三線兩兩垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝322＝12，所以球的表面積S＝4πR2＝12π. 12．正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1 cm，過AC作平行于對角線BD1的截面，則截面面積為________ cm2. 答案　 解析　如圖所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中點F為AC與BD的交點，∴點E為DD1的中點，∴S△ACE＝ (cm2)． 13．四棱錐P－ABCD的五個頂點都在一個球面上，底面ABCD是矩形，其中AB＝3，BC＝4，又PA⊥平面ABCD，PA＝5，則該球的表面積為________． 答案　50π 解析　由勾股定理得AC＝5，在等腰直角三角形PAC中，PC＝2R＝5，因此表面積S＝4πR2＝50π. 14．如圖所示是正方體的平面展開圖，在這個正方體中： ①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60角；④DM與BN垂直． 以上四個說法中，正確說法的序號依次是________． 答案?、邰? 解析　如圖所示，逐個判斷即可．