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A．15° B．20° C．25° D．30° 3．如圖，已知△ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中，和△ABC全等的圖形是 （ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 4．如圖4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分別是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分線． （1）請證明AD＝A'D'； （2）把上述結論用文字敘述出來； （3）你還能得出其他類似的結論嗎? 圖4－9 5．如圖4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經過頂點C，過A、B兩點分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足． （1）當直線l不與底邊AB相交時，求證：EF＝AE＋BF． 圖4－10 （2）如圖4－11，將直線l繞點C順時針旋轉，使l與底邊AB交于點D，請你探究直線l在如下位置時，EF、AE、BF之間的關系． ①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD． 圖4－11 【知識點二：等腰三角形的判定與性質】 等腰三角形的判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊） 等腰三角形的性質： ① 等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）； ② 等腰三角形“三線合一”的性質：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合； ③ 等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高、中線也相等． 【典型例題】 1．等腰三角形的兩邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長為（　?。? A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一個角是80°，則它頂角的度數是（　?。? A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20° 3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，則腰長x的取值范圍是（　?。? A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6 4．如圖，∠MON=43°，點A在射線OM上，動點P在射線ON上滑動， 要使△AOP為等腰三角形，那么滿足條件的點P共有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 5．如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE過O且平行于BC，已知△ADE的周長為10cm，BC的長為5cm，求△ABC的周長． 6、如下圖，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一點（M與A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分線于點D，求證：MD=MA. 【鞏固練習】 1．如圖，已知直線AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，則∠A等于（　?。? A．30° B．40° C．50° D．70° 2．下列說法錯誤的是（　?。? A．頂角和腰對應相等的兩個等腰三角形全等 B．頂角和底邊對應相等的兩個等腰三角形全等 C．斜邊對應相等的兩個等腰直角三角形全等 D．兩個等邊三角形全等 3．如圖，是一個5×5的正方形網格，網格中的每個小正方形的邊長均為1．點A和點B在小正方形的頂點上．點C也在小正方形的頂點上．若△ABC為等腰三角形，滿足條件的C點的個數為（　?。? A．6 B．7 C．8 D．9 4．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交 AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，則線段MN的長為（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如圖：E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF=EF，BD=CE，過D作DG∥AC交BC于G．求證： （1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形． 【知識點三：等邊三角形的判定與性質】 判定：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形； 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個角都是60°的三角形是等邊三角形； 有兩個叫是60°的三角形是等邊三角形． 性質：等邊三角形的三邊相等，三個角都是60°． 【典型例題】 1．下列說法中不正確的是（　?。? A．有一腰長相等的兩個等腰三角形全等 B．有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等 C．斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等 D．斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等 2．如圖，在等邊△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，則∠CDE的度數是（　?。? A．10° B．12.5° C．15° D．20° 3、如右圖，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，求證：AE=CD. 【變式練習】 1．下列命題：①兩個全等三角形拼在一起是一個軸對稱圖形；②等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線所在直線；③等邊三角形一邊上的高所在直線就是這邊的垂直平分線；④一條線段可以看作是以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形．其中錯誤的有（ 　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 2．如圖，AC=CD=DA=BC=DE．則∠BAE是∠BAC的（　?。? A．4倍 B．3倍 C．2倍 D．1倍 3．如圖，等邊△ABC的周長是9，D是AC邊上的中點，E在BC的延 長線上．若DE=DB，則CE的長為 ． 4．如圖，等邊△ABC中，點D、E分別為BC、CA上的兩點， 且BD=CE，連接AD、BE交于F點，則∠FAE+∠AEF的度數 是（　?。? A．60° B．110° C．120° D．135° 5．如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A6B6A7的邊長為（　?。? A．6 B．12 C．32 D．64 6.如圖①，M、N點分別在等邊三角形的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點Q． （1）求證：∠BQM=60°； （2）如圖②，如果點M、N分別移動到BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）中的結論是否仍然成立? 若成立，給予證明；若不成立，說明理由． 7．如圖，C為線段BD上一點（不與點B，D重合），在BD同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點F，AD與CE交于點H，BE與AC交于點G． （1）求證：BE=AD；（2）求∠AFG的度數；（3）求證：CG=CH． 【知識點四：反證法】 反證法：先假設命題的結論不成立，然后推導出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，從而證明命題的結論一定成立．這種證明方法稱為反證法． 【基礎練習】 1、否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反正假設為（　　） A．a、b、c都是奇數 B．a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數 C．a、b、c都是偶數 D．a、b、c中至少有兩個偶數 2、用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，反證假設正確的是（　　） A．假設三內角都不大于60° B．假設三內角都大于60° C．假設三內角至多有一個大于60° D．假設三內角至多有兩個大于60° 3、證明：在一個三角形中至少有兩個角是銳角． 【知識點五：直角三角形】 1、直角三角形的有關知識． l 勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方； l 勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形； l 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 2、互逆命題、互逆定理 在兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題. 如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理. 【典型例題】 1、說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假： （1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內角互補；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0； （4）在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊相等 2．使兩個直角三角形全等的條件是（　?。? A．一個銳角對應相等 B．兩個銳角對應相等 C．一條邊對應相等 D．兩條邊對應相等 3．等腰三角形的底邊長為6，底邊上的中線長為4，它的腰長為（　?。? A．7 B．6 C．5 D．4 4．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與 對角線BD重合，折痕為DG，則AG的長為（　?。? A．1 B． C． D．2 5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分線， 若CD=2，那么BD等于（　?。? A．6 B．4 C．3 D．2 6．如圖，在4×4正方形網格中，以格點為頂點的△ABC的面積等于3， 則點A到邊BC的距離為（　?。? A． B． C．4 D．3 7．如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三點在同一直線上，連接BD，AE，并延長AE交BD于F． （1）求證：△ACE≌△BCD； （2）直線AE與BD互相垂直嗎? 請證明你的結論． 8．如圖，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中有一個△ABC，△ABC的三個頂點均與小正方形的頂點重合． （1）在圖中畫△BCD，使△BCD的面積=△ABC的面積（點D在小正方形的頂點上）． （2）請直接寫出以A、B、C、D為頂點的四邊形的周長． 9．如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處； （1）求證：B′E=BF； （2）設AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關系，并給予證明． 【變式練習】 1．利用基本尺規(guī)作圖，下列條件中，不能作出唯一直角三角形的是（　?。? A．已知斜邊和一銳角 B．已知一直角邊和一銳角 C．已知斜邊和一直角邊 D．已知兩個銳角 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，則點C到AB的距離是（　?。? A． B． C． D． 3．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2．則最大的正方形E的面積是 ． 4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=AB，則∠A等于（　?。? A．30° B．45° C．60° D．不能確定 5．已知：如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分別為AB、MB的中點． 求證：CD⊥AB． 6．如圖，在5×5的方格紙中，每一個小正方形的邊長都為1，∠BCD是不是直角? 請說明理由． 7．正方形網格中的每個小正方形邊長都是1．每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形： （1）在圖1中，畫△ABC，使△ABC的三邊長分別為3、、； （2）在圖2中，畫△DEF，使△DEF為鈍角三角形且面積為2． 【提高練習】 1．如圖．矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3．則AB的長為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 2．如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（　?。? A．4 B．6 C．16 D．55 n 2 3 4 5 … a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … 3．張老師在一次“探究性學習”課中，設計了如下數表： （1）請你分別觀察a，b，c與n之間的關系，并用含自然數n（n＞1）的代數式表示： a= ，b= ，c= ； （2）猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的猜想． 4．如圖，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于點D，則AD的長為（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，BD=8，則AC= ． 6．圖1、圖2分別是10×8的網格，網格中每個小正方形的邊長均為1，A、B兩點在小正方形的頂點上，請在圖1、圖2中各取一點C（點C必須在小正方形的頂點上），使以A、B、C為頂點的三角形分別滿足以下要求： （1）在圖1中畫一個△ABC，使△ABC為面積為5的直角三角形； （2）在圖2中畫一個△ABC，使△ABC為鈍角等腰三角形． 7．已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P． （1）求證：△AEB≌△CDA；??? （2）求∠BPQ的度數； （3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的長． 【知識點六：線段的垂直平分線】 l 線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。 l 線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 n 三角形的三邊的垂直平分線交于一點，并且這個點到三個頂點的距離相等。 【典型例題】 1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分線 DE交AB于點D，交BC于點E，則下列結論不正確的是（　?。? A．AE=BE B．AC=BE C．CE=DE D．∠CAE=∠B 2．如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，大于AB 的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，交BC于 點D，連接AD．若△ADC的周長為10，AB=7，則△ABC的 周長為（　?。? A．7 B．14 C．17 D．20 3．三角形內有一點到三角形三頂點的距離相等，則這點一定是三角形的（　?。? A．三條中線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條高的交點 D．三條角平分線的交點 4．如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應建在（　　） A．在AC，BC兩邊高線的交點處 B．在AC，BC兩邊中線的交點處 C．在AC，BC兩邊垂直平分線的交點處 D．在∠A，∠B兩內角平分線的交點處 5．如圖，AD為∠BAC的角平分，線段AD的垂直平分線交AB于M，交AC于N，試說明MD∥AC． 6．如圖所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F．求證：BF=2CF． 7．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC邊上的中點，CE⊥AD于點E，BF∥AC交CE的延長線于點F，求證：AB垂直平分DF． 【變式練習】 1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC 于點D，交BC于點E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數為（　?。? A．30° B．40° C．50° D．60° 2．如圖，在△ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分線交AB于點D， 交AC于點E．△BCE的周長等于50，則BC的長為（　?。? A．2l B．22 C．23 D．24 3．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC， BC=13cm，則△AEG的周長為（　?。? A．6.5cm B．13cm C．26cm D．15 4．已知：如圖，△ABC的∠A＞∠ABC，邊BC的垂直平分線DE 分別交AC，BC于D，E，則AD+BD與BC的關系是（　?。? A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定 5．如圖，A、B表示兩個倉庫，要在A、B一側的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應建在什么位置? 你能畫圖說明嗎? 6．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中點，且DE⊥AB，△BCE的周長為8cm，且AC－BC=2cm，求AB、BC的長． 【提高練習】 1．如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于D、E點．MN垂直平分AC，分別交AC、BC于M、N點． （1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度數； （2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度數； （3）若∠BAC=α（α≠90°），直接寫出用α表示∠EAN大小的代數式． 2．如圖2，點D為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點，∠A=35°， 則∠D等于（　?。? A．50° B．65° C．55° D．70° 3．如圖3，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC邊上的垂直平分線DE交 BC、BA分別于點D、E，則△AEC的周長等于（　?。? A．a+b B．a－b C．2a+b D．a+2b 4．如圖有一塊直角三角形紙片，∠ACB=90°，兩直角邊AC=4， BC=8，線段DE垂直平分斜邊AB，則CD等于（　?。? A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 5．如圖，∠ABC=50°，AD垂直平分線段BC于點D，∠ABC的 平分線交AD于E，連接EC；則∠AEC等于（　?。? A．100° B．105° C．115° D．120° 【知識點七：角平分線】 l 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。 l 角平分線逆定理：在角內部，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。 n 三角形三條角平分線交于一點，并且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內心。 【典型例題】 1．如圖，∠POA=∠POB，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，OP=13， OD=12，PD=5，則PE=（　　） A．13 B．12 C．5 D．1 2．三角形內有一點，它到三邊的距離相等，則這點是該三角形的（　?。? A．三條中線交點 B．三條角平分線交點 C．三條高線交點 D．三條高線所在直線的交點 3．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D， 若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 4．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B． 下列結論中不一定成立的是（　　） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 5．如圖，直線a、b、c，表示三條相互交叉的公路，現擬建一個 貨物中轉站，要求它到三條公路的距離都相等，則可以供選擇的 地址有（　?。? A．一處 B．四處 C．七處 D．無數處 6．求作一點P，使PC=PD，且點P到AC，AB的距離相等．（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法） 7．（1）班同學上數學活動課，利用角尺平分一個角（如圖所示）．設計了如下方案： （Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線． （Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線． （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行? 若可行，請證明；若不可行，請說明理由； （2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行? 請說明理由． 8．如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F，連接EF，EF交AD于點G、試判斷線段AD與EF的位置關系，并證明你的結論． 9．如圖，△ABC中，O是BC的中點，D是∠BAC平分線上的一點，且DO⊥BC，過點D分別作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N． 求證：BM=CN． 【變式練習】 1．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上的 一個動點，若PA=2，則PQ的最小值為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 2．如圖所示，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB， 垂足分別是C、D，若OE=4，∠AOB=60°，則DE= ． 3．如圖，利用尺規(guī)求作所有點P，使點P同時滿足下列兩個條件：①點P到A，B兩點的距離相等；②點P到直線l1，l2的距離相等．（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法） 4．已知：如圖所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求證：CF=EB． 5．已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC． （1）若連接AM，則AM是否平分∠BAD? 請你證明你的結論； （2）線段DM與AM有怎樣的位置關系? 請說明理由． 【提高練習】 1．如圖，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果 PC=6，那么PD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（　?。? ①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°； ③點D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作圖： （1）作∠A的角平分線交BC于D點． （2）作AD的中垂線交AC于E點． （3）連接DE． 根據他畫的圖形，判斷下列關系何者正確? （　?。? A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD=DE D．CD=BD 4．如下圖左，在矩形ABCD中，點P在AB上，且PC平分∠ACB．若PB=3，AC=10，則△PAC的面積為 ． 5．已知：如上圖右，AB∥CD，O為∠BAC、∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于點E，若兩平行線間的距離為6，則OE= ． 6．2011年4月21日是重慶一中80周年校慶日，學校準備進一步美化校園，在校內一塊四邊形草坪內栽上一棵銀杏樹如圖，要求銀杏樹的位置點P到邊AB、BC的距離相等，并且P到點A、D的距離也相等．請用尺規(guī)作圖作出銀杏樹的位置點P（不寫作法，保留作圖痕跡）． 21 .