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專(zhuān)題七 圖形與證明 第十七章 圖形的全等與相似 考 情 分 析 高頻考點(diǎn) 考查頻率 所占分值 1.命題 ★ 6～9分 2.全等三角形的判定和性質(zhì) ★★★ 3.角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理 ★ 4.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理 ★★ 5.等腰三角形中“三線(xiàn)合一”及“等邊對(duì)等角” ★★ 6.等邊三角形的性質(zhì) ★ 7.平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例 ★ 8.相似三角形的判定和性質(zhì) ★★★ 知能圖譜 第38講　命題與證明 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）命題的概念及組成 （1）命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫作命題。 （2）命題的組成：命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。命題常寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的部分是題設(shè)，“那么”后面的部分是結(jié)論。 注意 （1）命題必須是一個(gè)完整的句子，是對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷。 （2）如果命題的題設(shè)和結(jié)論不那么明確，我們可以先把它改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，再找題設(shè)和結(jié)論。 知能解讀（二）真命題與假命題 1真命題 如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫作真命題。 2假命題 題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫作假命題。 注意 要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例，即舉一個(gè)例子具備命題的題設(shè)，而不具備命題的結(jié)論即可。 知能解讀（三）基本事實(shí)與定理 1基本事實(shí) 如果—個(gè)命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫基本事實(shí)。 例如：“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)”“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”等。 2定理 命題的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫作定理。定理可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)。 知能解讀（四）定義、基本事實(shí)、定理、命題之間的區(qū)別和聯(lián)系 （1）聯(lián)系：這四者都是命題。 （2）區(qū)別：定義、基本事實(shí)、定理都是真命題，都可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過(guò)基本事實(shí)是最原始的依據(jù)，而命題不一定是真命題，因而它不能作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)。 知能解讀（五）互逆命題與互逆定理 （1）互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫原命題，那么另一個(gè)命題就叫它的逆命題。 （2）互逆定理：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱(chēng)這兩個(gè)定理互為逆定理，其中—個(gè)定理叫作另—個(gè)定理的逆定理。 注意 每個(gè)命題都有逆命題，但每個(gè)定理不一定都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題也是真命題時(shí)，這個(gè)定理才有逆定理。 知能解讀（六）證明的含義及證明的一般步驟 （1）定義：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明。 （2）證明的一般步驟： ①仔細(xì)讀題，領(lǐng)會(huì)題意，分清命題的題設(shè)和結(jié)論； ②根據(jù)題意，畫(huà)出正確的圖形，并在圖上標(biāo)注字母和符號(hào)； ③根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出“已知”“求證”； ④縫過(guò)分析，探求解題的途徑，書(shū)寫(xiě)出推理過(guò)程，并注明依據(jù)。 知能解讀（七）幾種證明題的思維方法（拓展） 1直接證法 （1）綜合法：從已知條件入手，運(yùn)用已學(xué)過(guò)的基本事實(shí)、定義、定理等進(jìn)行一步步的推理，一直推到結(jié)論為止，這種思維方法叫綜合法。它是從已知到可知，從可知到未知的思維過(guò)程。 （2）分析法：所謂分析法，就是從問(wèn)題的結(jié)論入手，運(yùn)用已學(xué)過(guò)的基本事實(shí)、定義和定理，一步步尋找使結(jié)論成立的條件，一直“追”到這個(gè)結(jié)論成立的條件就是已知條件為止?？梢?jiàn)分析法是執(zhí)果索因的思維過(guò)程，它與綜合法的思維方向相反。 （3）分析綜合法：把分析法和綜合法“聯(lián)合”起來(lái)，從問(wèn)題的兩頭向中間“靠攏”，從而發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口，這種思維方法叫分析綜合法。對(duì)于比較復(fù)雜的題目，往往采用這種思維方法。 2間接證法 （1）反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫作反證法。 用反證法證明的一般步驟： ①假設(shè)命題的結(jié)論不成立； ②由假設(shè)推導(dǎo)出矛盾（與基本事實(shí)、定理、定義、已知條件等矛盾）； ③由矛盾判定所作假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立。 （2）反例法：判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子（反例），它符合命題的題設(shè)，但不滿(mǎn)足結(jié)論就可以了。 方法技巧歸納 方法技巧（一）命題的識(shí)別法 判斷語(yǔ)句是否為命題要抓住兩條：（1）命題必須是一個(gè)完整的帶有判斷性語(yǔ)氣的句子，通常是陳述句（包括肯定句和否定句），而疑問(wèn)句和命令性語(yǔ)句都不是命題；（2）命題必須對(duì)某件事作出肯定或者否定的判斷。 注意 只有對(duì)一件事情作出肯定或否定判斷的語(yǔ)句，才是命題。如果一個(gè)句子既沒(méi)有肯定什么，也沒(méi)有否定什么，那么它一定不是命題。 方法技巧（二）命題的題設(shè)與結(jié)論的識(shí)別法 如果是用“如果……那么……”的形式表示的命題，那么以“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，以“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論；如果不是用“如果……那么……”的形式表示的命題，那么一般先將其改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，再找題設(shè)和結(jié)論。 點(diǎn)撥 準(zhǔn)確地把命題改寫(xiě)為“如果……那么……”的形式，對(duì)找命題的題設(shè)與結(jié)論有很大幫助。 方法技巧（三）識(shí)別真、假命題的方法 首先應(yīng)掌握一些公式、性質(zhì)、判定等，這些都是真命題，另外有些命題要通過(guò)分析判斷真假。要證明一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)反例即可。 點(diǎn)撥 舉反例是說(shuō)明命題是假命題的重要方法。 方法技巧（四）找一個(gè)命題的逆命題的方法 首先找出原命題的題設(shè)與結(jié)論，然后把題設(shè)與結(jié)論互換就可以找到其逆命題。 點(diǎn)撥 一個(gè)命題一定有逆命題，但當(dāng)原命題是真命題時(shí)，其逆命題不一定是真命題。 方法技巧（五）用反證法證明命題的方法 反證法一般從結(jié)論的反面出發(fā)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，從而肯定原結(jié)論正確。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.逆命題與逆定理。 區(qū)別：所有的命題都有逆命題，當(dāng)然真命題也不例外，但由于真命題的逆命題不一定是真命題，因此不是所有的定理都有逆定理。 2.反證法與舉反例。 區(qū)別：反證法是從結(jié)論的反面證明命題正確的方法，而舉反例是說(shuō)明命題為假命題的方法。 易混易錯(cuò)（一）命題的題設(shè)與結(jié)論區(qū)分不準(zhǔn)確致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）用反證法證題時(shí)，結(jié)論反面找錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 證明題是中考中必不可少的部分，占分較多，涉及直線(xiàn)、三角形、四邊形、圓等各章知識(shí)，題型有說(shuō)理題、探究開(kāi)放題等，對(duì)于命題、概念的考查主要以填空題、選擇題為主。 中考試題（一）反證法的應(yīng)用 中考試題（二）真、假命題的判斷 第39講 全等三角形 知能解讀（一）全等形 能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等形。 知能解讀（二）全等三角形 1全等三角形的概念及表示方法 （1）概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形。 把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫作對(duì)應(yīng)角。 （2）全等三角形的符號(hào)表示、讀法：與全等，記作，“”讀作“全等于”。 注意 （1）記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。 （2）找全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的幾種常用方法： ①全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊。 ②全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角。 ③有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊。 ④有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角。 ⑤有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角。 ⑥兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊（或最大角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對(duì)最短邊（或最小角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。 ⑦由全等三角形的表示方法確定對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，如：若，則AB和DE，AC和DF，BC和EF分別是對(duì)應(yīng)邊；和，和，和分別是對(duì)應(yīng)角。 2全等三角形的性質(zhì) （1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線(xiàn)以及對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等。（3）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等。 3三角形全等的判定方法 （1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS"（基本事實(shí)）； （2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS’（基本事實(shí)）； （3）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA’（基本事實(shí)）； （4）兩角和其中一角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS"； （5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”。 注意 “SSA”“AAA’不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與。非直角三角形中，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。 4三角形全等的證題思路 （1） （2） （3） 5全等變換（拓展） 一個(gè)圖形與另一個(gè)圖形的形狀一樣，大小相等，只是位置不同，我們稱(chēng)這個(gè)圖形是另一個(gè)圖形的全等變換。三種基本全等變換：（1）旋轉(zhuǎn)；（2）翻轉(zhuǎn)；（3）平移。 知能解讀（三）角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及逆定理 （1）性質(zhì)定理：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。 注意 （1）定理作用：①證明線(xiàn)段相等；②為證明三角形全等準(zhǔn)備條件。 （2）如圖所示，點(diǎn)P在的平分線(xiàn)上，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，則。 （3）性質(zhì)定理中的“距離”是指點(diǎn)到射線(xiàn)的距離，是垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。 （2）性質(zhì)定理的逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上。 注意 如圖1-39-1所示，，，根據(jù)“HL”得，，是的平分線(xiàn)。 （3）三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，此點(diǎn)到三角形三邊的距離相。 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用全等三角形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)或角的度數(shù)的方法 解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般先根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊（或角）相等，找出相等的邊（或角），然后利用邊（或角）的和差關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理等求出所求的邊（或角）。 方法技巧（二）三角形全等的判定、性質(zhì)與角平分線(xiàn)判定定理的綜合應(yīng)用 在解決三角形中邊或角的問(wèn)題時(shí)，可結(jié)合已知條件和隱含條件，看是否能通過(guò)三角形的全等來(lái)解決，同時(shí)選擇合適的判定方法。 點(diǎn)撥 如果一個(gè)點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，且點(diǎn)在角的內(nèi)部，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。 方法技巧（三）利用三角形全等解決實(shí)際問(wèn)題 首先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形問(wèn)題，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題。 點(diǎn)撥 利用全等三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是正確建立全等三角形模型。 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 混淆“HL”與“SSA”。 一般的兩個(gè)三角形滿(mǎn)足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即“SSA”條件時(shí)，它們并不全等，但當(dāng)其中的“A”是直角時(shí)，這兩個(gè)直角三角形就是全等的，這就是判定兩個(gè)直角三角形全等特有的“HL’定理。 易混易錯(cuò)（一）錯(cuò)用兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等說(shuō)明三角形全等 易混易錯(cuò)（二）利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理時(shí)，混淆“點(diǎn)與點(diǎn)”與“點(diǎn)與線(xiàn)”之間的距離致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 運(yùn)用三角形全等的性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和推理，運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題都是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。另外本講知識(shí)還常與四邊形、圓等構(gòu)成綜合題，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。近幾年添加的有關(guān)全等的條件或結(jié)論的開(kāi)放性問(wèn)題也成為中考的熱點(diǎn)，題型有選擇題、填空題、解答題。 中考試題（一）添加全等的條件 中考試題（二）利用三角形全等的判定和性質(zhì)進(jìn)行證明 中考試題（三）綜合運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì) 中考試題（四）全等三角形性質(zhì)和判定的創(chuàng)新 點(diǎn)撥 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，讀懂問(wèn)題背景，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)。 第40講 等腰三角形 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念 經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫作這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。 知能解讀（二）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 注意 （1）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的作用是：證明兩條線(xiàn)段相等。如圖所示，若CD垂直平分線(xiàn)段AB，則。 （2）在CD上任意取一點(diǎn)P都有。 知能解讀（三）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理（判定定理） 與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。 從線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理及其逆定理可以看出：在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l上的點(diǎn)與A，B兩點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l上，所以直線(xiàn)l可以看成是與A，B兩點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。 注意 （1）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理的作用是：判定一點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。如圖1-40-2所示，若，則點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上。 （2）等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線(xiàn)上。 （3）如果兩點(diǎn)到一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這兩點(diǎn)所在的直線(xiàn)是該線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)。如圖所示，若，，則點(diǎn)C，D都在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，CD與AB的交點(diǎn)O是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)。 知能解讀（四）三角形三邊垂直平分線(xiàn)的性質(zhì) 根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可以得到：三角形三邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 注意 （1）此定理的作用是：證明線(xiàn)段相等.如圖所示，若邊AB，BC，CA的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)P，則；（2）三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)段的交點(diǎn)必在第三邊的垂直平分線(xiàn)上；（3）證明三線(xiàn)共點(diǎn)，可先找到兩直線(xiàn)交點(diǎn)，再證明第三條直線(xiàn)也過(guò)這一點(diǎn)；（4）銳角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，直角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)恰是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形外部；（5）此定理給出了作一個(gè)點(diǎn)使其到三個(gè)不共線(xiàn)的點(diǎn)距離相等的方法，只需順次連接這三點(diǎn)組成一個(gè)三角形，作這個(gè)三角形兩邊的垂直平分線(xiàn)，交點(diǎn)即為所求. 知能解讀（五）等腰三角形的性質(zhì) （1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成：等邊對(duì)等角”）； （2）等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高相互重合（簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線(xiàn)合一”）； （3）等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸. 知能解讀（六）等腰三角形的判定 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）。 注意 （1）等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理互為逆定理. （2）“等角對(duì)等邊”應(yīng)用極為廣泛，往往通過(guò)計(jì)算三角形各角的度數(shù)得角相等，則可得邊相等. （3）底角為頂角2倍（頂角為，底角為）的等腰三角形非常特殊，其一條底角平分線(xiàn)將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形. 知能解讀（七）等邊三角形的性質(zhì)、判定 1　等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于。 注意 （1）等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有三條對(duì)稱(chēng)軸； （2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì). 等邊三角形的判定 （1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形； （2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形； （3）有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形。 注意 腰三角形的條件下.三個(gè)判定定理的前提不同，判定（1）和（2）是在普通三角形的條件下，判定（3）是在等腰三角形的條件下。 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)或判定進(jìn)行計(jì)算和推理 線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可直接用來(lái)證明兩條線(xiàn)段相等，而其逆定理可直接用來(lái)證明某一個(gè)點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，均不必證明三角形全等. 點(diǎn)撥 在解決有關(guān)線(xiàn)段或角的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，給合一元一次方程或二元一次方程組求解是一種比較常用的方法. 方法技巧（二）利用等腰三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)的方法 先利用等腰三角形的性質(zhì)得到等角，再借助三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)角與外角之間的關(guān)系，可以求角的度數(shù). 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理. 方法技巧（三）利用“三線(xiàn)合一”證明線(xiàn)段相等或角相等的方法 “三線(xiàn)合一”既可以提供等角、等線(xiàn)段，又可以提供直角，這些條件可用于證明線(xiàn)段相等或角相等. 點(diǎn)撥 使用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意“三線(xiàn)”是指“底邊”上的三線(xiàn).另外，“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)既是證明兩線(xiàn)段相等的方法，也是證明兩線(xiàn)垂直或某線(xiàn)是角平分線(xiàn)的方法. 方法技巧（四）利用“等角對(duì)等邊”證明線(xiàn)段相等的方法 如果所要證明的相等的兩條線(xiàn)段是同一個(gè)三角形的兩邊，可以先證明這兩邊所對(duì)的角相等，從而用“等角對(duì)等邊”來(lái)證明線(xiàn)段相等. 點(diǎn)撥 “等角對(duì)等邊”是繼全等三角形之后又一種證明線(xiàn)段相等的常用方法，應(yīng)注意它的使用前提條件是線(xiàn)段在同一個(gè)三角形中. 方法技巧（五）等腰三角形判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用 在等腰三角形中尋長(zhǎng)角或邊的等量關(guān)系時(shí)，首先考慮等腰三角形判定和性質(zhì)的運(yùn)用. 點(diǎn)撥 本題考查等腰三角形的判定，用到的知識(shí)有等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線(xiàn)的定義等.解題時(shí)找出圖中的三角形，逐個(gè)證明. 方法技巧（六）利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線(xiàn)段長(zhǎng)度的方法 點(diǎn)撥 本題綜合運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù). 方法技巧（七）利用等邊三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段相等的方法 等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都相等，為證明三角形全等提供了條件，由此可證明線(xiàn)段相等. 點(diǎn)撥 等腰三角形的底角相等、“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)以及等邊三角形三邊相等的性質(zhì)常與三角形全等綜合使用證明線(xiàn)段相等. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.涉及等腰三角形腰上“高”的問(wèn)題對(duì)由于考慮不全面漏解. 由于等腰三角形分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，所以腰上“高”的位置不同. 2.線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)相混淆. 區(qū)別：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)且與該線(xiàn)段垂直，而過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段不一定垂直. 考慮不全致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 等腰三角形的考查包括邊的計(jì)算、角的計(jì)算以及與全等、相似結(jié)合進(jìn)行計(jì)算，近年來(lái)也出現(xiàn)了一些操作型試問(wèn)題，題型主要以填空題、選擇題為主，分值為3分左右，有些綜合性解答題分值占到8～10分. 中考試題（一）利用等腰三角形的相關(guān)知識(shí)求解 中考試題（二）利用等腰三角形的相關(guān)知識(shí)推理證明 第41講 相 似 知識(shí)能力解讀 知能解讀（一）圖形的相似 （1）相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫作相似圖形.兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到. （2）相似多邊形：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形. （3）相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比. （4）線(xiàn)段成比例：對(duì)于四條線(xiàn)段a，b，c，d，如果其中兩條線(xiàn)段的比（即它們長(zhǎng)度的比）與另兩條線(xiàn)段的比相等，如（即），我們就說(shuō)這四條線(xiàn)段成比例. （5）相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例. 注意 （1）當(dāng)兩個(gè)多邊形全等時(shí)，其相似比為1；反之，如果兩個(gè)相似多邊形的相似比為1，那么這兩個(gè)多邊形全等. （2）相似比是有順序的，如：若正方形ABCD與正方形的相似比為，則正方形與正方形ABCD的相似比. 知能解讀（二）平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例 （1）基本事實(shí)：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例. （2）推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例. 知能解讀（三）相似三角形 1　相似三角形及表示方法 2　相似三角形的判定 （1）平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. （2）三邊成比例的兩個(gè)三角形相似. （3）兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似. （4）兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似. （5）斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似. 3　相似三角形的性質(zhì) （1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等. （2）相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例. （3）相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段（對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)）的比等于相似比。 （4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 拓展：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。 4　相似三角形的應(yīng)用 利用三角形相似，可以解決一些測(cè)量問(wèn)題。 知能解讀（四）位似圖形的概念及性質(zhì) 1　位似圖形 如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個(gè)圖形叫作位似圖形，這點(diǎn)叫作位似中心，這時(shí)我們說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似。 2　位似圖形的畫(huà)法 （1）確定位似中心；（2）分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng)；（3）根據(jù)位似比，找出所作的位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（4）順次連接上述各對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到放大或縮小后的圖形。 3　直角坐標(biāo)系中，位似圖形坐標(biāo)之間的關(guān)系 一般地，在平面與直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，新圖形與原圖形的相似比為，那么與原圖形上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為或。 方法技巧歸納 方法技巧（一）求兩條線(xiàn)段的比的方法 兩條線(xiàn)段的比所表示的是兩數(shù)的相除關(guān)系，因此求兩條線(xiàn)段的比，只要把線(xiàn)段長(zhǎng)度代入，然后約會(huì)就可以，在代入時(shí)應(yīng)注意統(tǒng)一單位。 點(diǎn)撥 （1）比例尺就是圖上距離與實(shí)際距離的比；（2）求線(xiàn)段的比時(shí)單位要一致。 方法技巧（二）相似三解形的判定方法 相似三解形的判定方法除定義外還有四種，其中使用最多的是利用平行判定相似和兩角分別相等的兩個(gè)三解形相似；如果既有邊又有角的條件，那么可以考慮“兩邊夾角”的方法判定；如果只有邊的條件，那么可以考慮用“三邊成比例”的方法判定。 方法技巧（三）相似三解形性質(zhì)的應(yīng)用 利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，有時(shí)通過(guò)尋找中間比組成比例式。 點(diǎn)撥 本題關(guān)鍵是抓住中間比，構(gòu)造比例式，從而求出的長(zhǎng). 方法技巧（四）相似三角形的實(shí)際應(yīng)用 相似三角形知識(shí)在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛，主要是運(yùn)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)測(cè)量、計(jì)算那些不易直接測(cè)量的物體的高度或?qū)挾?例如：通常利用在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例的原理解決測(cè)量高度問(wèn)題，或通過(guò)構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決測(cè)量寬度問(wèn)題. 點(diǎn)撥 本題需要運(yùn)用已知條件構(gòu)建比例式.構(gòu)建比例式的常用方法有： （1）三點(diǎn)定形法，尋找相似三角形； （2）等線(xiàn)段替換法，依據(jù)比例式不能組建三角形時(shí)選擇合適的相等線(xiàn)段替換，構(gòu)造三角形； （3）尋找“過(guò)渡比”，體會(huì)本例所采用的方法. 方法技巧（五）位似圖形、位似中心的知?jiǎng)e 識(shí)別似圖形，關(guān)鍵是看兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線(xiàn)是否相交于一點(diǎn)，相交于一點(diǎn)的就是位似圖形，交點(diǎn)就是位似中心. 點(diǎn)撥 位似圖形必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：①兩個(gè)圖形是相似圖形；②兩個(gè)相似圖形每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn).二者缺一不可. 方法技巧（六）位似的性質(zhì)的應(yīng)用 位似圖形是特殊的相似圖形，利用位似比等于相似比，而面積比等于相似比的平方可進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 求比值：由已知去求比值，多種途徑可利用.活用比例七性質(zhì)，變量替換也走紅，消元也是好辦法，殊途同歸會(huì)變通. 易混易錯(cuò)辨析 易混易錯(cuò)知識(shí) 1.計(jì)算比例尺時(shí)，容易忽視單位的統(tǒng)一. 比例尺是圖上距離與實(shí)際距離的比，在計(jì)算比值時(shí)單位必須要統(tǒng)一. 2.相似三角形中有時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系找不準(zhǔn). 3.位似圖形和相似圖形. 區(qū)別：相似圖形不受位置關(guān)系的限制，但位似圖形有位置上的要求.位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. 易混易錯(cuò)（一）求兩條線(xiàn)段的比時(shí)，忽視兩條線(xiàn)段的單位統(tǒng)一而致錯(cuò) 易混易錯(cuò)（二）利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，由于考慮不全面，導(dǎo)致漏解 易混易錯(cuò)（三）不能正確理解和把握位似與相似的關(guān)系致錯(cuò) 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本節(jié)內(nèi)容是中考必考內(nèi)容，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及利用圖形的位似求坐標(biāo)或計(jì)算圖形的面積比等問(wèn)題，題型有填空題、選擇題、解答題、作圖題及一些綜合型考題. 中考試題（一）利用相似求解 中考試題（二）應(yīng)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題 中考試題（三）運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)證明 比例中項(xiàng)：比例中項(xiàng)很重要，多種場(chǎng)合會(huì)碰到.成比例的四項(xiàng)中，外項(xiàng)相同有不少.有時(shí)內(nèi)項(xiàng)會(huì)相同，比例中項(xiàng)出現(xiàn)了.同數(shù)平方等異積，比例中項(xiàng)無(wú)處逃. 初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)手冊(cè)