中考數(shù)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)聚焦 第十二章 二次函數(shù)
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第十二章 二次函數(shù)考情分析高頻考點(diǎn)考查頻率所占分值1.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)2.二次函數(shù)圖象的平移3.二次函數(shù)圖象位置與字母系數(shù)的關(guān)系4.二次函數(shù)解析式的確定5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系6.二次函數(shù)的最值問題7.二次函數(shù)的實(shí)際問題中的應(yīng)用1520分知能圖譜第26講 二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)知識(shí)能力解讀知能解讀(一)二次函數(shù)的定義一般地,形如(是常數(shù),且)的函數(shù)叫作二次函數(shù).其中是自變量,分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).例如,等都是二次函數(shù).注意(1)任何一個(gè)二次函數(shù)的解析式都可以化成 (是常數(shù),且)的形式,因此,把 (是常數(shù),且)叫作二次函數(shù)的一般式.(2)二次函數(shù)中,都是變量,是常量,自變量的取值是全體實(shí)數(shù),和可以是任意實(shí)數(shù),是不為0的實(shí)數(shù),所以二次函數(shù)還有如下特殊形式: (當(dāng)時(shí)); (當(dāng)時(shí)); (當(dāng)時(shí)).(3)二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征:等號(hào)右邊是關(guān)于自變量的二次整式.知能解讀(二)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,它的對(duì)稱軸是軸,頂點(diǎn)是原點(diǎn).圖象開口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸軸軸增減性當(dāng)時(shí),隨的增大而減小;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),隨的增大而減小最值當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),注意(1)(供參考)拋物線的開口大小由決定,越大,拋物線的開口越??;越小,拋物線的開口越大.(2)畫的圖象時(shí),描點(diǎn)法畫出的只是整個(gè)圖象的一部分,是近似的,由于可取一切實(shí)數(shù),所以圖象應(yīng)向兩方無(wú)限延伸.(3)選取自變量的值時(shí),為了計(jì)算方便,一般取整數(shù).知能解讀(三)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,它的對(duì)稱軸是軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的符號(hào)圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸軸(直線)軸(直線)頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性當(dāng)時(shí),隨的增大而減??;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),隨的增大而減小最值當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,它的對(duì)稱軸是平行于軸或與軸重合的直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.函數(shù)圖象頂點(diǎn)最低點(diǎn)最高對(duì)稱軸直線,當(dāng)時(shí),對(duì)稱軸在軸的右側(cè);當(dāng)時(shí),對(duì)稱軸在軸的左側(cè)開口方向向上向下增減性當(dāng)時(shí),隨的增大而減?。划?dāng)時(shí),隨的增大而增大當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),隨的增大而減小最值當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,它的對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.函數(shù)圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸經(jīng)過點(diǎn)且平行于軸的直線經(jīng)過點(diǎn)且平行于軸的直線頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn),坐標(biāo)是頂點(diǎn)是圖象的最高點(diǎn),坐標(biāo)是增減性當(dāng)時(shí),隨的增大而減??;當(dāng)時(shí),隨的增大而增大(簡(jiǎn)記為“左減右增”)當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),隨的增大而減?。ê?jiǎn)記為“左增右減”)最值當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),注意(1)由可直接看出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(2) 決定拋物線的形狀、大小,決定拋物線的位置.具體的平移操作如圖所示.點(diǎn)撥(1)對(duì)于函數(shù)的性質(zhì),要注意與對(duì)比學(xué)習(xí),通過圖象得出函數(shù)的性質(zhì).(2)二次函數(shù)的圖象可由拋物線的圖象平移得到,與的符號(hào)分別確定左右平移和上下平移的方向,與的絕對(duì)值確定平移的距離.拋物線平移規(guī)律是“左右平移,左加右減:上下平移.上加下減”知能解讀(四)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)關(guān)系式一般式頂點(diǎn)式圖象形狀拋物線開口方向當(dāng)時(shí),開口向上;到那個(gè)時(shí),開口向下頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸增減性對(duì)稱軸左側(cè),即或隨增大而減??;對(duì)稱軸右側(cè),即或隨增大而增大對(duì)稱軸左側(cè),即或隨增大而增大;對(duì)稱軸右側(cè),即或隨增大而減小最大值當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),知能解讀(五)二次函數(shù)圖象的畫法(1)描點(diǎn)法,其步驟如下:把二次函數(shù)解析式化成的形式;確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);在對(duì)稱軸兩側(cè),以頂點(diǎn)為中心,左右對(duì)稱描點(diǎn)畫圖.注意若拋物線與軸有交點(diǎn),最好選取交點(diǎn)描點(diǎn),特別是作拋物線草圖時(shí),應(yīng)抓住以下五點(diǎn):開口方向;對(duì)稱軸;頂點(diǎn);與軸交點(diǎn);與軸交點(diǎn).(2)平移法,其步驟如下:利用配方法把二次函數(shù)解析式化成的形式,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo);作出的圖象;將的圖象平移,使其頂點(diǎn)移到.知能解讀(六)待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式二次函數(shù)解析式有三種常見形式:(1)般式(或三點(diǎn)式): (為常數(shù),);(2)頂點(diǎn)式(或配方式): (為常數(shù),);(3)交點(diǎn)式(或兩根式): (是常數(shù),拓展點(diǎn)).注意(a)任何一個(gè)二次函數(shù)解析式通過配方都可以化成頂點(diǎn)式,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),拋物線頂點(diǎn)在軸上;當(dāng)時(shí),拋物線頂點(diǎn)在軸上;當(dāng)時(shí),拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)處.(2)兩根式又叫交點(diǎn)式,是拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即交點(diǎn),交點(diǎn). (3)確定二次函數(shù)解析式時(shí),根據(jù)所給的條件;合理地選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.一般地,已知拋物線上;任意三點(diǎn)時(shí),通常設(shè)函數(shù)解析式為一般式;當(dāng)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),通常設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式;當(dāng)已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),通常設(shè)函數(shù)解析式為交點(diǎn)式.知能解讀(七)二次函數(shù)的圖象特征與的符號(hào)之間的關(guān)系 項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征開口向上開口向下(同號(hào))(異號(hào))對(duì)稱軸為軸對(duì)稱軸在軸左側(cè)對(duì)稱軸在軸右側(cè)圖象過原點(diǎn)與軸正半軸相交與軸負(fù)半軸相交注意(1)由拋物線的開口方向可確定的符號(hào),簡(jiǎn)記為“上正下負(fù)”.(2)由的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置可確定的符號(hào).特殊地,對(duì)稱軸為軸時(shí),;般情況可簡(jiǎn)記為“左同右異”,即對(duì)稱軸在軸左側(cè),同號(hào),對(duì)稱軸在軸右側(cè),異號(hào).(3)當(dāng)拋物線與軸交于原點(diǎn)時(shí),否則可簡(jiǎn)記為“上正下負(fù)”,即拋物線與軸交于軸上方,為正;交于軸下方,為負(fù).方法技巧歸納方法技巧(一)識(shí)別二次函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù),主要依據(jù)有三條:(1)數(shù)解析式的右邊必須是整式;化筒后的自變量最高次數(shù)是2;(3)二次項(xiàng)系數(shù)必須不為零.方法技巧(二)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸的方法(1)公式法:,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸是直線.(2)配方法:運(yùn)用配方法,將拋物線的關(guān)系式化為的形式,得到頂點(diǎn)為,對(duì)稱軸是直線.(3)對(duì)稱點(diǎn)法:由于拋物線是軸對(duì)稱圖形,所以連接對(duì)稱點(diǎn)所得線段的垂直平分線是對(duì)稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).方法技巧(三)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要有二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),二次函數(shù)的增減性以及函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等問題.方法技巧(四)根據(jù)二次函數(shù)圖象獲取相關(guān)信息的方法(1)由拋物線的開口方向判斷的符號(hào),開口向上,;開口向下,.(2)由拋物線對(duì)稱軸的位置判斷的符號(hào),即對(duì)稱軸為軸,;對(duì)稱軸在軸左側(cè),則同號(hào);對(duì)稱軸在軸右側(cè),則異號(hào).(3)由拋物線與軸的交點(diǎn)位置判斷的符號(hào),當(dāng)交點(diǎn)在軸的正半軸上時(shí),;當(dāng)交點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí),;當(dāng)交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上時(shí),.方法技巧(五)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的技巧由于二次函數(shù)有多種表達(dá)形式,所以我們?cè)谇蠖魏瘮?shù)解析式時(shí),首先要根據(jù)已知條件的特點(diǎn),靈活選擇合適的表達(dá)形式,然后用“待定系數(shù)法”求解,可以達(dá)到簡(jiǎn)便、快捷的效果.1一般式這是最基本的方法,若已知函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可設(shè)函數(shù)解析式為.2頂點(diǎn)式若已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,則設(shè)函數(shù)解析式為頂點(diǎn)式,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為直線.3交點(diǎn)式若已知拋物線與軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)或已知拋物線與軸的一交點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,可通過設(shè)交點(diǎn)式來(lái)求解.方法技巧(六)拋物線的平移技巧拋物線在平移時(shí),的值不變,改變的只是頂點(diǎn)的位置,即只是或的值發(fā)生變化,因此解決拋物線平移問題,要把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式,并準(zhǔn)確求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)“左加右減,上加下減”的平移規(guī)律,即可確定平移后的二次函數(shù)解析式.方法技巧(七)解決二次函數(shù)綜合題的技巧當(dāng)問題的條件不確定時(shí),需要對(duì)可能的情況分別討論,這是二次函數(shù)中常用的思想方法.易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)由已知二次函數(shù)圖象平移得到另一個(gè)二次函數(shù)圖象時(shí),易將平移方向以及的符號(hào)混淆.易混易錯(cuò)(一)對(duì)二次函數(shù)的定義理解不透,忽視“”這一隱含條件易混易錯(cuò)(二)忽視隱含條件致錯(cuò)易混易錯(cuò)(三)平移時(shí)混淆中的符號(hào)而出錯(cuò).中考試題研究中考命題規(guī)律二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,主要考查二次函數(shù)的平移、圖象與性質(zhì),二次函數(shù)圖象位置與表達(dá)式中字母系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用.主要以填空題、選擇題或解答題的形式出現(xiàn).用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是中考的熱點(diǎn)之一.中考試題(一)二次函數(shù)圖象的平移中考試題(二)二次函數(shù)的性質(zhì)中考試題(三)二次函數(shù)的圖象位置與系數(shù)關(guān)系中考試題(四)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用中考試題(五)二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用第27講 二次函數(shù)的實(shí)踐與探索知識(shí)能力解讀知能解讀(一)拋物線與直線的交點(diǎn)直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的解.當(dāng)方程組有兩個(gè)不同解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)方程組只有一個(gè)解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn).知能解讀(二)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù),當(dāng)時(shí),得到一次方程,那么一元二次方程的根就是二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因此,二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況決定相應(yīng)一元二次方程根的情況.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.綜上,求一元二次方程的根也就是求二次函數(shù)的值為0時(shí)自變量的值,即拋物線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的三種情況分別對(duì)應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況,如下表所示:的取值二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)一元二次方程的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根注意若拋物線與軸的交點(diǎn)為和,則拋物線的對(duì)稱軸為直線,對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn).知能解讀(三)二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系(拓展點(diǎn))拋物線在軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正,所對(duì)應(yīng)的的所有值就是不等式的解集;在軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為負(fù),所對(duì)應(yīng)的的所有值就是不等式的解集,不等式中如果帶有等號(hào)其解集也相應(yīng)帶有等號(hào).二次函數(shù)與一元二次不等式及之間的關(guān)系如下:的取值拋物線與軸的交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)不等式的解集或(或)全體實(shí)數(shù)不等式的解集無(wú)解無(wú)解拋物線與軸的交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)不等式的解集無(wú)解無(wú)解不等式的解集或或(或)全體實(shí)數(shù)知能解讀(四)二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用指的是運(yùn)用函數(shù)概念建立函數(shù)模型,研究、解決某些實(shí)際問題的過程和方法,它包括兩個(gè)方面:(1)用二次函數(shù)表示實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系;(2)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題,其實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)的最大(小)值.注意(1)優(yōu)化問題,即求二次函數(shù)何時(shí)達(dá)到最大(小)值,此時(shí)需注意頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在實(shí)際問題中的取值范圍內(nèi).已知函數(shù)值,求自變量的對(duì)應(yīng)值.特別地,:求拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),這些可以通過解一元二次方程解決,但要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際問題的要求.方法技巧歸納方法技巧(一)求兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題的方法兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)就是兩函數(shù)解析式所組成的方程組的解.方法技巧(二)二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的綜合應(yīng)用主要依據(jù)判別式的符號(hào)來(lái)判斷,即當(dāng)時(shí),拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);當(dāng)時(shí),拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),拋物線與軸無(wú)交點(diǎn).方法技巧(三)利用二次函數(shù)圖象求不等式解集的方法(拓展)方法技巧(四)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的方法利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題通常先要建立變量之間的二次函數(shù)解析式,再利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解.方法技巧(五)與二次函數(shù)相關(guān)的綜合題易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)知識(shí)二次函數(shù)配方為頂點(diǎn)式與用配方法解一元二次方程混淆.易混易錯(cuò)(一)實(shí)際問題中忽視自變量取值范圍致錯(cuò)易混易錯(cuò)(二)忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0致錯(cuò)中考試題研究中考命題規(guī)律在近幾年的中考中,各地對(duì)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決生活中的問題及二次函數(shù)與方程、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、幾何圖形的綜合運(yùn)用考查較多.中考中的壓軸題多與二次函數(shù)相結(jié)合,尤其是二次函數(shù)的應(yīng)用題是考查二次函數(shù)的主流題目.題型有填空題、選擇題、解答題,主要以貼近生產(chǎn)生活、反映時(shí)代熱點(diǎn)的圖象信息題、閱讀理解題、開放探究題等為主.利用二次函數(shù)最值解決實(shí)際問題已成為中考的熱點(diǎn),這也是二次函數(shù)知識(shí)的創(chuàng)新點(diǎn),應(yīng)予以關(guān)注.中考試題(一)由圖象獲取信息中考試題(二)二次函數(shù)與一元二次方程中考試題(三)應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題中考試題(四)解決拋物線型問題- 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