中考數(shù)學(xué)命題研究 第三編 綜合專題闖關(guān)篇 專題六 二次函數(shù)中存在性問題試題
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專題六 二次函數(shù)中存在性問題 二次函數(shù)中存在性問題是貴陽(yáng)中考必考內(nèi)容，近5年共考了4次，主要與幾何圖形結(jié)合起來考查，且都以解答題形式出現(xiàn)，分值12分． 預(yù)計(jì)2017年貴陽(yáng)中考對(duì)二次函數(shù)存在性問題仍會(huì)考查，且涉及到的內(nèi)容有：等腰三角形，直角三角形，相似三角形、面積最值、特殊四邊形等存在性問題． ,中考重難點(diǎn)突破) 相似三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例1】(2016貴陽(yáng)模擬)如圖，已知拋物線經(jīng)過A(－2，0)，B(－3，3)及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； (2)設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】(1)由于拋物線經(jīng)過A(－2，0)，B(－3，3)及原點(diǎn)O，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式； (2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②△PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo). 【學(xué)生解答】解：(1)y＝x2 ＋2x；(2)當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DE∥AO，DE＝AO，由A(－2，0)知：DE＝AO＝2, 若D在對(duì)稱軸直線x＝－1左側(cè)， 則D橫坐標(biāo)為－3，代入拋物線表達(dá)式得D1(－3，3), 若D在對(duì)稱軸直線x＝－1右側(cè)， 則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線表達(dá)式得D2(1，3). 綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－3，3)或(1，3)；(3)存在．理由如下：∵B(－3，3)，C(－1，－1), 根據(jù)勾股定理得：BO2＝18，CO2＝2，BC2 ＝20, ∵BO2＋CO2＝BC2 , ∴△BOC是直角三角形， 假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似， 設(shè)P(x，y)，由題意知x＞0，y＞0，且y＝x2 ＋2x, ①若△AMP∽△BOC，則＝， 即＝， 故x＋2＝3(x2＋2x)，得：x1＝，x2＝－2(舍去). 當(dāng)x＝時(shí)，y＝，即P(，)；②若△PMA∽△BOC，則＝， 即＝，故x2 ＋2x＝3(x＋2), 得：x1＝3，x2＝－2(舍去)，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝15，即P(3，15). 故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是(，)或(3，15)． 1．(2017預(yù)測(cè))如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)，與x軸交于點(diǎn)A，B(A在B的左側(cè))． (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)若過點(diǎn)A的直線l平分△ABC的面積，求直線l的表達(dá)式； (3)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，連接PQ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)△PBQ與△ABC相似時(shí)t的值． 解：(1)－x2＋x＋3；(2)令y＝－x2＋x＋3＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)B(4，0)．設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，)．∵直線l過點(diǎn)A，且平分△ABC的面積，∴直線l過點(diǎn)A和點(diǎn)E，設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx＋b，將點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)E(2，)代入得解得∴直線l的表達(dá)式為y＝x＋；(3)∵A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，∴AB＝6，BC＝5.∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位，∴BP＝6－2t，BQ＝t.∵∠PBQ＝∠ABC，∴若＝時(shí)，△PBQ∽△ABC或＝時(shí)，△QBP∽△ABC，①當(dāng)＝時(shí)，則＝，解得t＝；②當(dāng)＝時(shí)，則＝，解得t＝.綜上所述，△PBQ與△ABC相似時(shí)，t的值為或. 2．(2015西寧中考)如圖，拋物線y＝－x2＋x－2交x軸于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，分別過點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF. (1)求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)表達(dá)式； (2)求△BCF的面積； (3)在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)直線BC的表達(dá)式為y＝x－2；(2)△BCF的面積為10；(3)存在．分兩種情況討論：①如圖，過A作AP1∥y軸交線段BC于點(diǎn)P1，則△BAP1∽△BOC.∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，∴點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)是2；∵點(diǎn)P1在點(diǎn)BC所在的直線上，∴y＝x－2＝2－2＝－1，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，－1)；②如圖，過點(diǎn)A作AP2⊥BC于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作P2Q⊥x軸于點(diǎn)Q.∴△BAP2∽△BCO，∴＝＝，∴＝＝，解得AP2＝，BP2＝；∴S△AP2B＝ABQP2＝AP2BP2，∴2QP2＝，解得QP2＝，∴點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是－；∵點(diǎn)P2在BC所在直線上，∴x＝，∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(，－)，∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)或(，－)． 等腰三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例2】如圖，已知直線y＝3x－3分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)(與A點(diǎn)不重合)． (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)求△ABC的面積； (3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【解析】(1)根據(jù)直線表達(dá)式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，可得出b，c的值，求出拋物線表達(dá)式；(2)由(1)求得的拋物線表達(dá)式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式即可計(jì)算；(3)根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對(duì)稱軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，m)，分三種情況討論，①M(fèi)A＝BA；②MB＝BA；③MB＝MA，求出m的值后即可得出答案． 【學(xué)生解答】 解：(1)拋物線表達(dá)式為y＝x2＋2x－3；(2)S△ABC＝ACOB＝43＝6；(3)存在，理由如下：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－1，假設(shè)存在M(－1，m)滿足題意，討論：①當(dāng)MA＝AB時(shí)，∵OA＝1，OB＝3，∴AB＝，∴＝，解得m＝，∴M1(－1，)，M2(－1，－)；②當(dāng)MB＝BA時(shí)，＝，解得m1＝0，m2＝－6，∴M3(－1，0)，M4(－1，－6)(不符合題意舍去)；③當(dāng)MA＝MB時(shí)，＝，解得m＝－1，∴M5(－1，－1)，故共存在4個(gè)點(diǎn)M1(－1，)，M2(－1，－)，M3(－1，0)，M5(－1，－1)使△ABM為等腰三角形． 3．(2015貴陽(yáng)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A(0，－6)和點(diǎn)C(6，0)． (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)若拋物線與x軸的負(fù)半軸交于B，試判斷△ABC的形狀．(鈍角三角形、直角三角形或銳角三角形) 解：(1)拋物線的表達(dá)式為y＝x2－5x－6；(2)△ABC為銳角三角形． 直角三角形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例3】(2016貴陽(yáng)中考說明) 如圖，拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1，0)，C(0，4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B. (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)已知點(diǎn)D(m，m＋1)在第一象限的拋物線上，連接CD，BD，把△BCD沿BC折疊， ①求點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)； ②在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△DD′P是以DD′為一直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】(1)把A(－1，0)，C(0，4)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx－4a，根據(jù)待定系數(shù)法可得這個(gè)拋物線的表達(dá)式；(2)①將點(diǎn)D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得到D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形的判定可得△OBC是等腰直角三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)一步得到點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)；②存在滿足條件的點(diǎn)P.過點(diǎn)D′作D′E∥BC交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P1，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線D′E的表達(dá)式，聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；過點(diǎn)D作DF∥BC交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P2，根據(jù)待定系數(shù)法可得直線DF的表達(dá)式，聯(lián)立方程組可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)． 【學(xué)生解答】 解：(1)y＝－x2＋3x＋4；(2)①如圖①，將點(diǎn)D(m，m＋1)代入y＝－x2＋3x＋4中，得：－m2＋3m＋4＝m＋1，化簡(jiǎn)得：m2－2m－3＝0，解得m1＝－1(舍去)，m2＝3；∴D(3，4)，∴CD∥x軸，∴∠DCO＝90，由B(4，0)，C(0，4)可得：OB＝OC＝4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB＝∠DCB＝45；把△BCD沿BC折疊，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D′落在y軸上，且CD＝CD′＝3，OD′＝OC－CD′＝1，則點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(0，1)；②存在滿足條件的點(diǎn)P.如圖②，過D′作D′E∥BC交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P1.∵DD′⊥BC，∴∠DD′P1＝90，△OD′E為等腰直角三角形，則E(1，0)，設(shè)直線D′E的表達(dá)式為y＝k1x＋b1，依題意得解得∴直線D′E的表達(dá)式為y＝－x＋1.由得過D作DF∥BC交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)P2.∵DD′⊥BC，∴DD′⊥DF，∠D′DP2＝90，△CDF為等腰直角三角形，則F(0，7)，設(shè)直線DF的表達(dá)式為y＝k2x＋b2，依題意得解得∴直線DF的表達(dá)式為y＝－x＋7.由得(不符合題意舍去)．故在拋物線上存在點(diǎn)P，使得△DD′P是以DD′為一直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2－，－1＋)或(2＋，－1－)或(1，6)． 4．(2016原創(chuàng))如圖，拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，已知A(－1，0)，C(0，2)． (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)判斷△ACD的形狀，并說明理由； (3)在拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：(1)拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋x＋2；(2)△ACD是等腰三角形，理由如下：∵拋物線y＝－x2＋x＋2的對(duì)稱軸為直線x＝，∴點(diǎn)D(，0)．∵A(－1，0)，C(0，2)，∴AC＝，AD＝1＋＝，CD＝＝，∴AD＝CD≠AC，∴△ACD是等腰三角形；(3)存在．令拋物線y＝－x2＋x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，則BC＝＝2，如圖，取BC的中點(diǎn)為S，則點(diǎn)S的坐標(biāo)為(2，1)．設(shè)對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P(，t)，使得△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則PS＝BC＝，即(2－)2＋(t－1)2＝5，解得t1＝1＋，t2＝1－，∴存在這樣的點(diǎn)P滿足條件，其坐標(biāo)為(，1＋)或(，1－)． 面積最值存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例4】(2015安順中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋與直線AB交于點(diǎn)A(－1，0)，B(4，)．點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD. (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)． 【解析】(1)將拋物線上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式列方程組求解即可；(2)先根據(jù)直線過A，B兩點(diǎn)列方程組并求出直線表達(dá)式，再用m表示出C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)得線段CD的長(zhǎng)，由圖可知，S＝S△ACD＋S△BCD，根據(jù)三角形面積公式可得S關(guān)于m的二次函數(shù)，利用配方法求出S最大時(shí)m的值即可計(jì)算此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo)． 【學(xué)生解答】 解：(1)拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋；(2)設(shè)直線AB為y＝kx＋d，則有解得∴y＝x＋.則D(m，－m2＋2m＋)，C(m，m＋)，CD＝(－m2＋2m＋)－(m＋)＝－m2＋m＋2.∴S＝(m＋1)CD＋(4－m)CD＝5CD＝5(－m2＋m＋2)＝－m2＋m＋5.∵－<0，∴拋物線開口向下．故當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值．當(dāng)m＝時(shí)，m＋＝＋＝，∴點(diǎn)C(，)．當(dāng)S取最大值時(shí)的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，)． 5．(2016白銀中考)如圖，已知拋物線y＝－x2 ＋bx＋c經(jīng)過A(3，0)，B(0，3)兩點(diǎn)． (1)求此拋物線的表達(dá)式和直線AB的表達(dá)式； (2)如圖①，動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB方向以個(gè)單位/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)中任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接EF，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s，當(dāng)t為何值時(shí)，△AEF為直角三角形？ (3)如圖②，取一根橡皮筋兩端點(diǎn)分別固定在A，B處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)構(gòu)成無(wú)數(shù)個(gè)三角形，在這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由． 解：(1)直線AB的表達(dá)式為y＝－x＋3，拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3；(2)∵OA＝OB＝3，∠BOA＝90，∴∠EAF＝45，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t s，則AF＝t，AE＝3－t；(Ⅰ)當(dāng)∠EFA＝90時(shí)，在Rt△EAF中，cos45＝＝，即＝.解得t＝1.(Ⅱ)當(dāng)∠FEA＝90時(shí)，在Rt△AEF中，cos45＝＝，即＝.解得t＝.綜上所述，當(dāng)t＝1或t＝時(shí)，△AEF是直角三角形；(3)存在．過點(diǎn)P作PN∥y軸，交直線AB于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BC⊥PN于點(diǎn)C.設(shè)點(diǎn)P(x，－x2＋2x＋3)，則點(diǎn)N(x，－x＋3)，∴PN＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△ABP＝S△BPN＋S△APN＝PNBC＋PNAD＝(－x2＋3x)x＋(－x2＋3x)(3－x)＝－(x－)2＋，當(dāng)x＝時(shí)，△ABP的面積最大，最大面積為，此時(shí)點(diǎn)P(，)． 特殊四邊形存在性問題 【經(jīng)典導(dǎo)例】 【例5】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，矩形OABC的邊長(zhǎng)OA，OC分別為12 cm，6 cm，點(diǎn)A，C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A，B，且18a＋c＝0. (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A開始沿AB邊以1 cm/s的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)B開始沿BC邊以2 cm/s的速度向終點(diǎn)C移動(dòng)； ①移動(dòng)開始后第t s時(shí)，設(shè)△PBQ的面積為S，試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍； ②當(dāng)S取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以P，B，Q，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】(1)由OA的長(zhǎng)從而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入表達(dá)式得c＝－12，再與18a＋c＝0聯(lián)立從而求出a的值，再利用對(duì)稱軸為直線x＝－＝3求得b的值，繼而求得二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)①由題意得AP＝t1PB＝6－t，QB＝2t，所以S＝PBBQ＝(6－t)2t＝－t2＋6t(0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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