高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題8 概率與統(tǒng)計 第34練 概率的兩類模型 文
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第34練概率的兩類模型題型分析高考展望概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的必考知識點在高考中,概率部分的命題主要有三個方面的特點:一是以古典概型的概率公式為考查對象,二是以幾何概型的概率公式為考查對象,三是古典概型與其他知識相交匯,題目多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)體驗高考1(2015課標全國)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.B.C.D.答案C解析從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為.故選C.2(2015山東)在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù)x,則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A.B.C.D.答案A解析由1log1,得x2,0x.由幾何概型的概率計算公式得所求概率P.3(2015福建)如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.答案B解析由圖形知C(1,2),D(2,2),S四邊形ABCD6,S陰31.P.4(2016課標全國乙)某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.答案B解析如圖所示,畫出時間軸:小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中,而當(dāng)他的到達時間落在線段AC或DB時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘,根據(jù)幾何概型得所求概率P,故選B.5(2016天津)甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是,甲獲勝的概率是,則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.B.C.D.答案A解析事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件,所以甲不輸?shù)母怕蕿?高考必會題型題型一古典概型問題例1(1)(2016課標全國丙)小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A.B.C.D.答案C解析第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,所以總的基本事件的個數(shù)為15,密碼正確只有一種,概率為,故選C.(2)某班級的某一小組有6位學(xué)生,其中4位男生,2位女生,現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級志愿者小組,求下列事件的概率:選取的2位學(xué)生都是男生;選取的2位學(xué)生一位是男生,另一位是女生解設(shè)4位男生的編號分別為1,2,3,4,2位女生的編號分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15種從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生,所取的2位全是男生的方法數(shù),即從4位男生中任取2個的方法數(shù),共有6種,即(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)所以選取的2位學(xué)生全是男生的概率為P1.從6位學(xué)生中任取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8種所以選取的2位學(xué)生一位是男生,另一位是女生的概率為P2.點評求解古典概型問題的三個步驟(1)判斷本次試驗的結(jié)果是不是等可能的,設(shè)出所求事件A.(2)分別計算基本事件的總數(shù)n和所求事件A所包含的基本事件的個數(shù)m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率若直接求解比較困難,則可以利用間接的方法,如逆向思維,先求其對立事件的概率,進而再求所求事件的概率變式訓(xùn)練1(2016北京)從甲,乙等5名學(xué)生中隨機選出2人,則甲被選中的概率為()A.B.C.D.答案B解析從甲,乙等5名學(xué)生中隨機選2人共有10種情況,甲被選中有4種情況,則甲被選中的概率為.題型二幾何概型問題例2(1)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A.B.C.D.(2)在區(qū)間0,內(nèi)隨機取兩個數(shù)分別記為a,b,則使得函數(shù)f(x)x22axb2有零點的概率為()A.B.C.D.答案(1)D(2)B解析(1)如圖所示,正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D,且區(qū)域D的面積為4,而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是,所以選D.(2)所求概率為幾何概型,測度為面積,則4a24b240a2b2得所求概率為1.點評(1)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗,如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結(jié)果,每個基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示,而所有基本結(jié)果對應(yīng)于一個區(qū)域,這時,與試驗有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決(2)幾何概型的概率求解,一般要將問題轉(zhuǎn)化為長度、面積或體積等幾何問題在轉(zhuǎn)化中,面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識,也就是用二元一次不等式(或其他簡單不等式)組表示區(qū)域幾何概型的試驗中事件A的概率P(A)只與其所表示的區(qū)域的幾何度量(長度、面積或體積)有關(guān),而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān)變式訓(xùn)練2(1)已知P是ABC所在平面內(nèi)一點,20,現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在ABC內(nèi),則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是()A. B. C. D.(2)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為_答案(1)D(2)1解析(1)由20,可得2,由向量加法的幾何意義可知點P在ABC的中線AD上,且,如圖所示,由共線向量定理知22,所以,所以P為AD的中點,所以PBC的面積是ABC面積的,根據(jù)幾何概型可知黃豆落在PBC內(nèi)的概率是P,故選D.(2)V正238,V半球13,故點P到O的距離大于1的概率為1.高考題型精練1從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是()A.B.C.D.答案B解析從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)共有6(種)不同取法,其中取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的有2種不同取法,故所求概率為,選B.2擲兩顆均勻的骰子,則點數(shù)之和為5的概率等于()A.B.C.D.答案B解析擲兩顆骰子,點數(shù)有以下情況:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種,其中點數(shù)之和為5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,故所求概率為.3(2016課標全國甲)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.B.C.D.答案B解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為,故選B.4在區(qū)間0,10內(nèi)隨機取出兩個數(shù),則這兩個數(shù)的平方和在區(qū)間0,10內(nèi)的概率為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)這兩個數(shù)為x,y,則0x10,0y10,構(gòu)成一個正方形,面積為102,這兩個數(shù)的平方和x2y20,10,在正方形中形成的陰影面積為,因此所求概率為,選A.5如圖,已知點A在坐標原點,點B在直線y1上,點C(3,4),若AB,則ABC的面積大于5的概率是()A.B.C.D.答案C解析設(shè)B(x,1),由AB,知,解得x3,3根據(jù)題意知點D(,1),若ABC的面積小于或等于5,則DB45,即DB,此時點B的橫坐標x,又x3,3,所以點B的橫坐標x,3,所以ABC的面積小于或等于5的概率為P,所以ABC的面積大于5的概率是1P.6一只螞蟻在三邊長分別為3,4,5的三角形的內(nèi)部爬行,某時間該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率為()A6B6C1D2答案C解析因為三角形的面積為346,離三角形的三個頂點的距離不超過1的面積為12,所以某時間該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過1的概率P1,故選C.7(2016四川)從2、3、8、9任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是_答案解析從2、3、8、9任取兩個數(shù)分別為記為(a,b),則有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12種情況,其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og3 9和log2 8兩種情況,所以P.8若袋中5個外形相同的小球,其中紅球2個,白球3個,現(xiàn)從中任取2個球,則取出的球中有紅球的概率為_答案解析5個外形相同的小球,記其中的2個紅球為1,2,3個白球為a,b,c.從中任取2個球,共有10種可能的結(jié)果,其中沒有紅球有3種可能的結(jié)果所以有紅球的概率為1.9在區(qū)間1,5和2,4上分別各取一個數(shù),記為m和n,則方程1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是_答案解析方程1表示焦點在x軸上的橢圓,mn.如圖,由題意知,在矩形ABCD內(nèi)任取一點Q(m,n),點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率,易知直線mn恰好將矩形平分,所求的概率為P.10連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6),記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A,則P(A)最大時,m_.答案7解析112,123,134,145,156,167,213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值,知7出現(xiàn)次數(shù)最多11甲、乙、丙三人組成一組,參加一個闖關(guān)游戲團體賽,三人各自獨立闖關(guān),其中甲闖關(guān)成功的概率為,甲、乙都闖關(guān)成功的概率為,乙、丙闖關(guān)成功的概率為,每人闖關(guān)成功得2分,三人得分之和記為小組團體總分(1)求乙、丙各自闖關(guān)成功的概率;(2)求團體總分為4分的概率;(3)若團體總分不小于4分,則小組可參加復(fù)賽,求該小組可參加復(fù)賽的概率解記甲、乙、丙三人各自獨立闖關(guān)成功的事件依次為A、B、C,則由已知條件得P(A),P(AB),P(BC).(1)P(AB)P(A)P(B),P(B).同理,P(C).(2)每人闖關(guān)成功記2分,要使團體總分為4分,則需要兩人闖關(guān)成功,兩人都闖關(guān)成功的概率P1,即團體總分為4分的概率P1.(3)團體總分不小于4分,則團體總分可能為4分,可能為6分,團體總分為6分,需要三人都闖關(guān)成功,三人闖關(guān)都成功的概率P2.由(2)知團體總分為4分的概率P1,團體總分不小于4分的概率PP1P2.12如圖是一個方形迷宮,甲、乙兩人分別位于迷宮的A、B兩處,兩人同時以每一分鐘一格的速度向東、西、南、北四個方向行走,已知甲向東、西行走的概率都為,向南、北行走的概率為和p,乙向東、西、南、北四個方向行走的概率均為q.(1)求p和q的值;(2)問最少幾分鐘,甲乙二人相遇?并求出最短時間內(nèi)可以相遇的概率解(1)p1,p,又4q1,q.(2)最少需要2分鐘,甲乙二人可以相遇(如圖,在C、D、E三處相遇)設(shè)在C、D、E三處相遇的概率分別為pC、pD、pE,則pC()(),pD2()2(),pE()(),pCpDpE(),即所求的概率為.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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