高中數(shù)學(xué) 第1章 不等關(guān)系與基本不等式 1.3 第1課時(shí) 平均值不等式學(xué)案 北師大版選修4-5
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3平均值不等式第1課時(shí)平均值不等式1了解兩個(gè)(三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均值與幾何平均值(易錯(cuò)、易誤點(diǎn))2掌握平均值不等式性質(zhì)定理,能用性質(zhì)定理證明簡(jiǎn)單的不等式(重點(diǎn)、難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理平均值不等式閱讀教材P10P12“思考交流”以上部分,完成下列問(wèn)題1定理1:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,有a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào))2定理2:對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a,b,有(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào))語(yǔ)言敘述為:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值3定理3:對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a,b,c,有a3b3c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”號(hào))4定理4:對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a,b,c,有(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”號(hào))語(yǔ)言敘述為:三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值判斷(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)x2.()(2)ex2.()(3)當(dāng)a,b,c不全為正數(shù)時(shí),成立()(4)3.()【解析】(1)當(dāng)x0時(shí),x2,當(dāng)x0,ex2,當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)(3)如a1,bc1時(shí),但1.這時(shí)有0且a1);任意x,tan x2;任意xR,sin x2.其中真命題有()ABCD【精彩點(diǎn)撥】關(guān)鍵看是否滿足平均值不等式【自主解答】在,中,lg xR,sin x1,1,不能確定lg x0與sin x0,因此,是假命題在中,ax0,ax2 2,當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào),故是真命題在中,當(dāng)x時(shí),tan x0,有tan x2,且x時(shí)取等號(hào),故是真命題【答案】C本題主要涉及平均值不等式成立的條件及取等號(hào)的條件.在定理1和定理2中,“ab”是等號(hào)成立的充要條件.但兩個(gè)定理有區(qū)別又有聯(lián)系:(1)是a2b22ab的特例,但二者適用范圍不同,前者要求a,b均為正數(shù),后者只要求a,bR;(2)a,b大于0是的充分不必要條件;a,b為實(shí)數(shù)是a2b22ab的充要條件.再練一題1設(shè)a,b為實(shí)數(shù),且ab0,下列不等式中一定成立的個(gè)數(shù)是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):94910010】2;ab2;ab.A1 B2C3D4【解析】ab0,22,成立;a,b0時(shí),不成立;,成立;當(dāng)a1,b2時(shí),不成立因此,成立【答案】B證明簡(jiǎn)單的不等式(1)已知a,b,cR.求證:a4b4c4a2b2b2c2c2a2;(2)設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:abc.【精彩點(diǎn)撥】本題考查平均值不等式及不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能力解答此題需要先觀察所求式子的結(jié)構(gòu),然后拆成平均值不等式的和,再進(jìn)行證明【自主解答】(1)a4b42a2b2,同理a4c42a2c2,b4c42b2c2,將以上三個(gè)不等式相加得:a4b4a4c4b4c42a2b22a2c22b2c2,即a4b4c4a2b2a2c2b2c2.(2)當(dāng)a0,b0時(shí),ab2,22c.同理:22b,22a.將以上三個(gè)不等式相加得:22(abc),abc.平均值不等式具有將“和式”和“積式”相互轉(zhuǎn)化的放縮功能,常常用于證明不等式,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇好利用平均值不等式的切入點(diǎn).但應(yīng)注意連續(xù)多次使用平均值不等式定理的等號(hào)成立的條件是否保持一致.再練一題2設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:(abc)227.【證明】a0,b0,c0,abc30,從而(abc)290,又30,(abc)23927.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立故原不等式成立探究共研型平均值不等式的變式及條件不等式的證明探究1不等式,成立的條件都是a,b,c為正數(shù),在條件ba0成立時(shí),a,b之間有怎樣的大小關(guān)系?【提示】ab.探究2若問(wèn)題中一端出現(xiàn)“和式”,另一端出現(xiàn)“積式”時(shí),這便是應(yīng)用不等式的“題眼”,那么若條件中有“和式為1”時(shí),應(yīng)如何思考?【提示】應(yīng)用平均值不等式時(shí),一定要注意條件a0,b0,c0.若有“和式為1”時(shí),常反過(guò)來(lái)應(yīng)用“1”的代換,即把“1”化成“和”,再試著應(yīng)用平均值不等式已知a0,b0,c0,求證:(1) ;(2)(abc)【精彩點(diǎn)撥】(1)式兩端均是“和”,不能直接利用平均值不等式,解決的關(guān)鍵是對(duì) 的處理,先考慮平方關(guān)系,化難為易;(2)注意兩邊都是“和”式,可利用(1)題的結(jié)論【自主解答】(1)a2b22ab,2(a2b2)(ab)2, .又a0,b0, .(2)由(1)得 (ab)同理:(bc),(ac)三式相加得:(abc)當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),取“”號(hào)1第(2)問(wèn)利用了第(1)問(wèn)的結(jié)論 ,記住這一結(jié)論可幫我們找到解題思路,但此不等式要給予證明2一般地,數(shù)學(xué)中的定理、公式揭示了若干量之間的本質(zhì)聯(lián)系,但不能定格于某種特殊形式,因此平均值不等式a2b22ab的形式可以是a22abb2,也可以是ab,還可以是a2b(a0),2ba等解題時(shí)不僅要會(huì)利用原來(lái)的形式,而且要掌握它的幾種變形形式以及公式的逆用再練一題3已知a,b(0,),且ab1,求證:.【證明】因?yàn)閍,b(0,),且ab1,所以,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立,所以ab4,a2b2(ab)22ab12ab12,8.a2b2448,所以.構(gòu)建體系1“a0且b0”是“ab2”成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A2設(shè)x,y,z為正數(shù),且xyz6,則lg xlg ylg z的取值范圍是()A(,lg 6B(,3lg 2Clg 6,)D3lg 2,)【解析】6xyz3,xyz8,lg xlg ylg zlg (xyz)lg 83lg 2.【答案】B3設(shè)ab0,把,a,b按從大到小的順序排列是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):94910011】【解析】ab0,ab.【答案】ab4不等式2成立的充要條件是_【解析】由2,知0,即ab0.又由題意知,ab.因此,2的充要條件是ab0且ab.【答案】ab0且ab5設(shè)a,b,c均為正數(shù),且abc1,求證:9.【證明】332229.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)所以9.我還有這些不足:(1) (2) 我的課下提升方案:(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(四)(建議用時(shí):45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1下列不等式恒成立的是()Ax2Bsin x2C.2Dex2【解析】根據(jù)知,條件需a0,b0.A,B,C均不成立,D中,ex0,成立【答案】D2a,b為非零實(shí)數(shù),那么不等式恒成立的是()A|ab|ab|BC.abD2【解析】a,b為非零實(shí)數(shù)時(shí),A,B,D均不一定成立而ab0恒成立【答案】C3設(shè)a0,b0,且ab4,則有()A.B1C.2D【解析】4ab2,2.,21.【答案】B4設(shè)0ab,ab1,則下列不等式正確的是()A22aba2b2B2abba2b2C2aba2b2bD2aba2b2b【解析】0ab,且ab1,0ab2ab,ba2b2,且b.故2aba2b2bB.法二:A,B,故AB.【答案】AB8已知不相等的三個(gè)正數(shù)a,b,c且abc1,則a3b3c3與3的大小關(guān)系是_【解析】a,b,c是不相等的三個(gè)正數(shù),且abc1,a3b3c333.【答案】a3b3c33三、解答題9設(shè)a0,b0,ab1,求證:8.【證明】a0,b0,ab1,2ab.因此,4.則(ab)2248.10已知a,b,c大于0,求證:(abc).【證明】a,b,c大于0,(ab)(bc)(ca)30,30,(abc).當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立能力提升1設(shè)a,b,c為正數(shù),則“abc1”是“abc”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要的條件【解析】當(dāng)abc2時(shí),有abc,但abc1,所以必要性不成立;當(dāng)abc1時(shí),abc,所以充分性成立,故“abc1”是“abc”的充分不必要條件【答案】A2當(dāng)a,b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí),下列各式中最小的是()A.BC. D【解析】由及a2b22ab,且ab,A,B,C中,最小而.ab時(shí),ab20,(ab)2ab0,.綜上可知,最小,應(yīng)選D.【答案】D3若a0,b0,ab2,則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a,b恒成立的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))ab1;a2b22;a3b33;2.【解析】利用特殊值ab1排除.由平均值不等式ab1,正確由a2b2a2(2a)22a24a42(a1)212,正確由(ab)(22)2,正確【答案】4設(shè)正數(shù)a,b,c滿足abc1,求的最小值【解】因?yàn)閍,b,c均為正數(shù),且abc1,所以(3a2)(3b2)(3c2)9.于是(3a2)(3b2)(3c2)339,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),等號(hào)成立,即1,故的最小值為1.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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