高中數(shù)學 第2章 幾個重要的不等式 2.1 柯西不等式學案 北師大版選修4-5
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1柯西不等式1.1簡單形式的柯西不等式1.2一般形式的柯西不等式1認識柯西不等式的幾種不同的形式,理解它們的幾何意義,能證明柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式(重點、易混點)2理解用參數(shù)配方法討論柯西不等式一般情況的過程(重點難點)3能利用柯西不等式求特定函數(shù)的最值和進行簡單的證明(難點)基礎初探教材整理1簡單形式的柯西不等式閱讀教材P27P28,完成下列問題1定理1對任意實數(shù)a,b,c,d,有(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當向量(a,b)與向量(c,d)共線時,等號成立2柯西不等式的向量形式設,是兩個向量,則|,當且僅當是零向量,或存在實數(shù)k,使k時,等號成立判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)(1)不等式(a2b2)(d2c2)(acbd)2是柯西不等式()(2)(ab)(cd)()2,是柯西不等式,其中a,b,c,d為正數(shù)()(3)在柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2中,a,b,c,d是任意實數(shù)()【解析】柯西不等式中,四個數(shù)的組合是有對應順序的,故(1)不對,(2)中,a,b,c,d可分別寫成()2,()2,()2,()2,所以是正確的,(3)正確【答案】(1)(2)(3)教材整理2一般形式的柯西不等式閱讀教材P29P30“練習”以上部分,完成下列問題1定理2設a1,a2,an與b1,b2,bn是兩組實數(shù),則有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,當向量(a1,a2,an)與向量(b1,b2,bn)共線時,等號成立2推論設a1,a2,a3,b1,b2,b3是兩組實數(shù),則有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.當向量(a1,a2,a3)與向量(b1,b2,b3)共線時“”成立在一般形式的柯西不等式中,等號成立的條件記為aikbi(i1,2,3,n),可以嗎?【解】不可以若bi0而ai0,則k不存在質疑手記預習完成后,請將你的疑問記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問1: 解惑: 疑問2: 解惑: 疑問3: 解惑: 小組合作型利用柯西不等式證明不等式(1)已知a2b21,x2y21,求證:|axby|1;(2)設a,b,c為正數(shù),求證:(abc)【精彩點撥】本題考查柯西不等式及證明不等式的基礎知識,考查推理論證能力及代數(shù)式的變式能力解答本題(1)可逆用柯西不等式,而解答題(2)需將,增補,使其滿足柯西不等式左邊結構方可應用【自主解答】(1)|axby|1.(2)由柯西不等式得:ab,即ab.同理:bc,ac.將上面三個同向不等式相加得:()2(abc),所以(abc)利用二維柯西不等式的代數(shù)形式證題時,要抓住不等式的基本特征:(a2b2)(c2d2)(acbd)2,其中a,b,c,dR或(ab)(cd)(r(ac)r(bd)2,其中a,b,c,d為正數(shù).找出待證不等式中相應的兩組數(shù),當這兩組數(shù)不太容易找時,需分析,增補(特別是對數(shù)字的增補:如a1a)變形等.再練一題1設a,b,c為正數(shù),求證:abc.【證明】由柯西不等式()2()2()2.于是(abc)(abc)2,即abc.運用柯西不等式求參數(shù)范圍已知正數(shù)x,y,z滿足xyzxyz,且不等式恒成立,求的取值范圍. 【導學號:94910029】【精彩點撥】“恒成立”問題需求的最大值,設法應用柯西不等式求最值【自主解答】.故參數(shù)的取值范圍是.此題也是通過構造轉化應用柯西不等式,由此可見,應用柯西不等式,首先要對不等式形式、條件熟練掌握,然后根據(jù)題目的特點“創(chuàng)造性”應用定理.再練一題2已知實數(shù)a,b,c,d滿足abcd3,a22b23c26d25,試求a的取值范圍【解】由柯西不等式得,(2b23c26d2)(bcd)2,即2b23c26d2(bcd)2.由條件可得,5a2(3a)2,解得1a2,所以實數(shù)a的取值范圍是1,2探究共研型利用柯西不等式求最值探究1柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2是如何證明的?【提示】要證(a2b2)(c2d2)(acbd)2,只要證a2c2b2c2a2d2b2d2a2c22abcdb2d2,即證b2c2a2d22abcd,只要證(bcad)20.因為上式顯然成立,故(a2b2)(c2d2)(acbd)2.探究2根據(jù)柯西不等式,下列結論成立嗎?(1)(ab)(cd)()2(a,b,c,d為非負實數(shù));(2)|acbd|(a,b,c,dR);(3)|ac|bd|(a,b,c,dR)【提示】成立已知x22y23z2,求3x2yz的最小值【精彩點撥】利用x22y23z2為定值,構造柯西不等式形式,再利用公式得出范圍,求解最小值【自主解答】(x22y23z2)(3x2yz)2,(3x2yz)2(x22y23z2)12.23x2yz2,3x2yz的最小值為2.利用柯西不等式求最值時,關鍵是對原目標函數(shù)進行配湊,以保證出現(xiàn)常數(shù)結果.同時,要保證取到等號成立的條件.再練一題3若3x4y2,試求x2y2的最小值及最小值點【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2,得25(x2y2)4,所以x2y2.當且僅當時“”成立,為求最小值點,需解方程組因此,當x,y時,x2y2取得最小值,最小值為,最小值點為.構建體系1設x,yR,且2x3y13,則x2y2的最小值為()A. B169C13D0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2),x2y213.【答案】C2已知a,b,c大于0,且abc1,則a2b2c2的最小值為()A1B4C.D【解析】根據(jù)柯西不等式,有(a2b2c2)(121212)(abc)21,a2b2c2.【答案】C3已知a2b2c21,x2y2z21,taxbycz,則t的取值范圍是()A(0,1)B(1,1)C(1,0)D1,1【解析】設(a,b,c),(x,y,z)|1,|1,由|,得|t|1.t的取值范圍是1,1【答案】D4已知x,y0,的最小值為4,則xy_. 【導學號:94910030】【解析】,24,又0,1,xy1.【答案】15已知3x22y26,求證:2xy.【證明】由柯西不等式得(2xy)2(x)2(y)2(3x22y2)611.于是2xy.我還有這些不足:(1) (2) 我的課下提升方案:(1) (2) 學業(yè)分層測評(十)(建議用時:45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1已知a,b為正數(shù),且ab1,則P(axby)2與Qax2by2的關系是()APQBPQCPQDPQ【解析】 設m(x,y),n(,),則|axby|mn|m|n| ,所以(axby)2ax2by2.即PQ.【答案】A2已知xy1,那么2x23y2的最小值是()A.BC.D【解析】2x23y2(2x23y2)(xy)2.【答案】B3已知x,y,z均大于0,且xyz1,則的最小值為()A24B30C36D48【解析】(xyz)36,36.【答案】C4設x,y,m,n0,且1,則uxy的最小值是()A()2BC.D(mn)2【解析】根據(jù)柯西不等式,得xy(xy)()2,當且僅當時,等號成立,這時u取最小值為()2.【答案】A5函數(shù)y2的最大值是()A.BC3D5【解析】根據(jù)柯西不等式,知y12.【答案】B二、填空題6函數(shù)y的最大值為_【解析】由,非負且()2()23,所以 .【答案】7設x,y為正數(shù),且x2y8,則的最小值為_. 【導學號:94910031】【解析】(x2y)()2()225,又x2y8,.【答案】8設a,b,c,x,y,z都是正數(shù),且a2b2c225,x2y2z236,axbycz30,則_.【解析】由柯西不等式,得2536(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2302.當且僅當k時取“”,由k2(x2y2z2)22536,解得k,所以k.【答案】三、解答題9已知實數(shù)x,y,z滿足x2yz1,求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1,3(x24y2z2)1,即x24y2z2.當且僅當x2yz,即x,y,z時等號成立故x24y2z2的最小值為.10已知為銳角,a,b均為正數(shù)求證:(ab)2.【證明】設m,n(cos ,sin ),則|ab|mn|m|n| ,(ab)2.能力提升1已知x,y為正數(shù),且xy1,則的最小值為()A4B2C1D【解析】224.【答案】A2設a1,a2,an為正數(shù),P,Q,則P,Q間的大小關系為()APQBPQCPQDPQ【解析】(a1a2an)n2,.即PQ.【答案】B3已知函數(shù)y34,則函數(shù)的定義域為_,最大值為_【解析】函數(shù)的定義域為5,6,且y0,y345,當且僅當34,即x時取等號ymax5.【答案】5,654ABC的三邊長為a,b,c,其外接圓半徑為R.求證:(a2b2c2)36R2.【證明】由三角形中的正弦定理得:sin A,所以,同理,于是由柯西不等式可得左邊(a2b2c2)236R2,所以原不等式得證- 配套講稿:
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