高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5
《高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第2章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修4-5(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用1會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的不等式及綜合問(wèn)題2了解貝努利不等式及其應(yīng)用的條件,會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理貝努利不等式定理閱讀教材P38P39“練習(xí)”以上部分,完成下列問(wèn)題定理對(duì)任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n,有(1x)n1nx.在貝努利不等式中當(dāng)x0時(shí),n為大于1的自然數(shù),不等式形式將有何變化?【解】當(dāng)x0時(shí),不等式將變成等式,即(1x)n1nx. 質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后,請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄,并與“小伙伴們”探討交流:疑問(wèn)1: 解惑: 疑問(wèn)2: 解惑: 疑問(wèn)3: 解惑: 小組合作型貝努利不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用設(shè)ba0,nN,證明:(ba)1.【精彩點(diǎn)撥】由ba0,令1x(x0),利用貝努利不等式證明【自主解答】由ba0,知1,令1x(x0),則x1,由貝努利不等式(1x)n1nx,(1x)n1nx1n,故(ba)1.利用1x代換,為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件.再練一題1試證明1與(nN)【證明】由nN,n12.由貝努利不等式,得(1)11.(2)由(1)得1,故.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式試證明:2n2n2(nN)【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)當(dāng)n1時(shí),左邊2124,右邊1,左邊右邊;當(dāng)n2時(shí),左邊2226,右邊224,所以左邊右邊;當(dāng)n3時(shí),左邊23210,右邊329,所以左邊右邊因此當(dāng)n1,2,3時(shí),不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時(shí),不等式成立當(dāng)nk1時(shí),2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k22k1)(k1)(k3)(因k3,則k30,k10)k22k1(k1)2.所以2k12(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí),原不等式也成立根據(jù)(1)(2)知,原不等式對(duì)于任何nN都成立通過(guò)本例可知,在證明nk1時(shí)命題成立的過(guò)程中,針對(duì)目標(biāo)k22k1,采用縮小的手段,但是由于k的取值范圍(k1)太大,不便于縮小,因此,用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n1擴(kuò)大到驗(yàn)證n1,2,3)的方法,使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3,促使放縮成功,達(dá)到目標(biāo).再練一題2已知Sn1(n1,nN),求證:S2n1(n2,nN). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):94910039】【證明】(1)當(dāng)n2時(shí),S2211,即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立,即S2k11.當(dāng)nk1時(shí),S2k11111.故當(dāng)nk1時(shí),命題也成立由(1)(2)知,對(duì)nN,n2,S2n1都成立.探究性問(wèn)題設(shè)f(n)1,由f(1)1,f(3)1,f(7),f(15)2,.(1)你能得到怎樣的結(jié)論?并證明;(2)是否存在一個(gè)正數(shù)T,使對(duì)任意的正整數(shù)n,恒有f(n).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n1時(shí),f(211)f(1)1,不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN)時(shí)不等式成立,即f(2k1),則f(2k11)f(2k1)f(2k1)f(2k1).當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)知,對(duì)任何nN原不等式均成立(2)對(duì)任意給定的正數(shù)T,設(shè)它的整數(shù)部分為T(mén),記mT1,則mT.由(1)知,f(22m1)m,f(22m1)T,這說(shuō)明,對(duì)任意給定的正數(shù)T,總能找到正整數(shù)n(如可取假設(shè)中n為2m),使得f(n)T,不存在正數(shù)T,使得對(duì)任意的正整數(shù)n,總有f(n)對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論【解】當(dāng)n1時(shí),則,a.(1)n1時(shí),已證(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí),.當(dāng)nk1時(shí),.,0,也成立由(1),(2)可知,對(duì)一切nN,都有,a的最大值為25.構(gòu)建體系1用數(shù)學(xué)歸納法證明2nn2(n5,nN)成立時(shí)第二步歸納假設(shè)的正確寫(xiě)法是()A假設(shè)nk時(shí)命題成立B假設(shè)nk(kN)時(shí)命題成立C假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立D假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立【解析】由題意知n5,nN,應(yīng)假設(shè)nk(k5)時(shí)命題成立【答案】C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1f(n)(n2,nN)的過(guò)程,由nk到nk1時(shí),左邊增加了()A1項(xiàng)Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng)D2k項(xiàng)【解析】1.共增加2k項(xiàng)【答案】D3用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1成立,起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2,即1,.n7,n取8,選B.【答案】B4用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí),第一步即證明不等式_成立. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):94910040】【解析】因?yàn)閚1,所以第一步n2,即證明12成立【答案】125證明:12(nN)【證明】(1)當(dāng)n1時(shí),不等式成立(2)假設(shè)nk時(shí),不等式成立,即12.那么nk1時(shí),2(n2)的過(guò)程中,由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊()A增加了一項(xiàng)B增加了兩項(xiàng)和C增加了B中的兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D以上均不正確【解析】由.故選C.【答案】C2利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“n22n對(duì)于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí),n0應(yīng)取值為()A1B3C5D7【解析】1223,4224,利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證n5,故n0的值為5.【答案】C3對(duì)于不等式n1(nN),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下:(1)當(dāng)n1時(shí),11,不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí),不等式成立,即k1,則當(dāng)nk1時(shí),(k1)1,當(dāng)nk1時(shí),不等式成立,則上述證法()A過(guò)程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確【解析】在nk1時(shí),沒(méi)有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法【答案】D4對(duì)于正整數(shù)n,下列說(shuō)法不正確的是()A3n12nB0.9n10.1nC0.9n對(duì)大于1的一切自然數(shù)n都成立,則自然數(shù)m的最大值為()A12B13C14D不存在【解析】令f(n),易知f(n)是單調(diào)遞增的f(n)的最小值為f(2).依題意,m14.因此取m13.【答案】B二、填空題6用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN)”時(shí),第一步的驗(yàn)證為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):94910041】【解析】當(dāng)n1時(shí),2111212,即44成立【答案】21112127觀察式子:1,1,1,則可歸納出_【答案】1(n2,nN)8用數(shù)學(xué)歸納法證明 (a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),nN)時(shí),假設(shè)nk時(shí)不等式 (*)成立,再推證nk1時(shí)不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式同乘_【解析】要想辦法出現(xiàn),兩邊同乘以,右邊也出現(xiàn)了要求證的.【答案】三、解答題9設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),證明:對(duì)任意nN,有(ab)nannan1b.【證明】由(1x)n1nx(x1,nN),n1,即1,(ab)nann,故(ab)nannban1.10設(shè)0a1,定義a11a,an1a.求證:對(duì)一切正整數(shù)nN,有1an1,又a11a,當(dāng)n1時(shí),命題成立(2)假設(shè)nk(k1,kN)時(shí),命題1ak(1a)a1,同時(shí),ak1a1a,當(dāng)nk1時(shí),命題也成立,即1ak1.綜合(1)、(2)可知,對(duì)一切正整數(shù)n,有1an,假設(shè)nk時(shí),不等式成立,則當(dāng)nk1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)是()A.B.C.D.【解析】注意不等式兩邊含變量“n”的式子,因此當(dāng)nk1時(shí),應(yīng)該是含“n”的式子發(fā)生變化,所以nk1時(shí),應(yīng)為.【答案】A2若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面,則(k1)棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為()A2f(k)Bk1f(k)Cf(k)kDf(k)2【解析】由nk到nk1時(shí)增加的對(duì)角面的個(gè)數(shù)與底面上由nk到nk1時(shí)增加的對(duì)角線一樣,設(shè)nk時(shí),底面為A1A2Ak,nk1時(shí)底面為A1A2A3AkAk1,增加的對(duì)角線為A2Ak1,A3Ak1,A4Ak1,Ak1Ak1,A1Ak,共有(k1)條,因此對(duì)角面也增加了(k1)個(gè)【答案】B3設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn),若用f(n)表示這n條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(4)_;當(dāng)n4時(shí),f(n)_(用n表示). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):94910042】【解析】f(3)2,f(4)5,f(5)9,每增加一條直線,交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來(lái)直線的條數(shù)f(4)f(3)3,f(5)f(4)4,f(n)f(n1)n1.累加,得f(n)f(3)34(n1)(n3),f(n)(n1)(n2)【答案】5(n1)(n2)4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足a1,an2SnSn10(n2,nN)(1)判斷是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論;(2)證明:SSS.【解】(1)S1a1,2.當(dāng)n2時(shí),anSnSn1,即SnSn12SnSn1.2,故是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列(2)證明:當(dāng)n1時(shí),S,成立假設(shè)nk(k1,且kN)時(shí),不等式成立,即SSS成立,則當(dāng)nk1時(shí),SSSS.即當(dāng)nk1時(shí),不等式成立由可知對(duì)任意nN不等式成立- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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