高中數(shù)學 第2章 概率 2_5_2 離散型隨機變量的方差學案 北師大版選修2-3
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第2課時 離散型隨機變量的方差 1．理解離散型隨機變量的方差的意義．(重點) 2．能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理 離散型隨機變量的方差的概念 閱讀教材P61～P62“習題2－5”以上部分，完成下列問題． 1．離散型隨機變量的方差和標準差 (1)方差DX＝________. (2)標準差為________． 【答案】 (1)E(X－EX)2 (2) 2．方差的性質(zhì) D(aX＋b)＝________. 【答案】 a2DX 3．方差的意義 方差可用來衡量X與EX的________，方差越小，則隨機變量的取值就越__________________；方差越大，則隨機變量的取值就越________． 【答案】 平均偏離程度 集中在其均值周圍 分散 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定．( ) (2)若X是常數(shù)，則DX＝0.( ) (3)若DX＝0，則X是常數(shù)．( ) (4)如果X是離散型隨機變量，Y＝3X＋2，那么DY＝9DX.( ) 【答案】 (1) (2)√ (3)√ (4)√ 2．已知隨機變量X的分布列是 X 1 2 3 P(X) 0.4 0.2 0.4 則DX等于( ) A．0 B．0.8 C．1 D．2 【解析】 ∵EX＝10.4＋20.2＋30.4＝2， ∴DX＝0.4(1－2)2＋0.2(2－2)2＋0.4(3－2)2＝0.8. 【答案】 B [質(zhì)疑手記] 預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： [小組合作型] 求離散型隨機變量的方差 編號為1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學生的人數(shù)是ξ，求Eξ和Dξ. 【精彩點撥】 首先確定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，進而求出Eξ和Dξ的值． 【自主解答】 ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位學生全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學生， 則P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三位學生只有1位學生坐對了， 則P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三位學生全坐對了，即對號入座， 則P(ξ＝3)＝＝. 所以，ξ的分布列為 ξ 0 1 3 P Eξ＝0＋1＋3＝1； Dξ＝(0－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2＝1. 求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法 1．已知分布列型(超幾何分布或二項分布)：直接利用定義求解，具體如下： (1)求均值；(2)求方差． 2．已知分布列是超幾何分布或二項分布型：直接套用公式求解，具體如下， (1)若X服從超幾何分布，則DX＝n. (2)若X～B(n，p)，則DX＝np(1－p)． 3．未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉(zhuǎn)化成1中的情況． 4．對于已知DX求D(aX＋b)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D(aX＋b)＝a2DX求解． [再練一題] 1．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片數(shù)字之和為ξ，求Eξ和Dξ. 【解】 這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，這一變量的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上均標有2， 則P(ξ＝6)＝＝. ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標有2，一張標有5， 則P(ξ＝9)＝＝. ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標有2，兩張標有5， 則P(ξ＝12)＝＝. ∴ξ的分布列為 ξ 6 9 12 P ∴Eξ＝6＋9＋12＝7.8. Dξ＝(6－7.8)2＋(9－7.8)2＋(12－7.8)2＝3.36. 二項分布的方差 為防止風沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨立的，成活率為p，設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學期望Eξ為3，方差Dξ為. (1)求n和p的值，并寫出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種．求需要補種沙柳的概率． 【精彩點撥】 (1)利用二項分布的期望與方差計算公式求解．(2)利用互斥事件的概率計算公式求解． 【自主解答】 由題意知，ξ服從二項分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n. (1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝， 得1－p＝，從而n＝6，p＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)記“需要補種沙柳”為事件A，則P(A)＝P(ξ≤3)， 得P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝. 所以需要補種沙柳的概率為. 對于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過程中應(yīng)注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2Dξ，這樣處理既避免了求隨機變量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁雜的計算，簡化了計算過程. [再練一題] 2．(1)已知隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，且EX＝7，DX＝6，則p等于( ) A. B. C. D. 【解析】 np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝， ∴p＝. 【答案】 A (2)已知η的分布列為： η 0 10 20 50 60 P ①求方差； ②設(shè)Y＝2η－Eη，求DY. 【解】?、佟逧η＝0＋10＋20＋50＋60＝16， Dη＝(0－16)2＋(10－16)2＋(20－16)2＋(50－16)2＋(60－16)2＝384. ②∵Y＝2η－Eη， ∴DY＝D(2η－Eη) ＝22Dη＝4384＝1 536. [探究共研型] 均值、方差的綜合應(yīng)用 探究1 A，B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表： A機床 次品數(shù)X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B機床 次品數(shù)X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 試求EX1，EX2. 【提示】 EX1＝00.7＋10.2＋20.06＋30.04＝0.44. EX2＝00.8＋10.06＋20.04＋30.10＝0.44. 探究2 在探究1中，由EX1＝EX2的值能比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？ 【提示】 不能．因為EX1＝EX2. 探究3 在探究1中，試想利用什么指標可以比較A，B兩臺機床加工質(zhì)量？ 【提示】 利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定． 甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的數(shù)學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)． 【精彩點撥】 (1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列． (2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學期望，然后再看其方差值． 【自主解答】 (1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分別為 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)得： Eξ＝100.5＋90.3＋80.1＋70.1＝9.2； Eη＝100.3＋90.3＋80.2＋70.2＝8.7； Dξ＝(10－9.2)20.5＋(9－9.2)20.3＋(8－9.2)20.1＋(7－9.2)20.1＝0.96； Dη＝(10－8.7)20.3＋(9－8.7)20.3＋(8－8.7)20.2＋(7－8.7)20.2＝1.21. 由于Eξ>Eη，Dξ下載提示(請認真閱讀)
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