高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 學業(yè)分層測評9 二維形式的柯西不等式 新人教A版選修4-5
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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 學業(yè)分層測評9 二維形式的柯西不等式 新人教A版選修4-5 (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，則ax＋by的最大值為( ) A．1 B．2 C. D.4 【解析】 ∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2， ∴ax＋by≤. 【答案】 C 2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則( ) A．ab≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D.a2＋b2≤3 【解析】 ∵(12＋12)(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4， ∴a2＋b2≥2. 【答案】 C 3．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，則P＝(ax＋by)2與Q＝ax2＋by2的關系是( ) 【導學號：32750050】 A．P≤Q B．PQ 【解析】 設m＝(x，y)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|mn|≤|m||n| ＝ ＝＝， ∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q. 【答案】 A 4．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍是( ) A．[－2，2] B．[－2，2] C．[－，] D.(－，) 【解析】 (a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2. ∵a2＋b2＝10，∴(a－b)2≤20. ∴－2≤a－b≤2. 【答案】 A 5．若a＋b＝1且a，b同號，則2＋2的最小值為( ) A．1 B．2 C. D. 【解析】 ＋ ＝a2＋2＋＋b2＋2＋＝(a2＋b2)＋4. ∵a＋b＝1，ab≤＝， ∴a2＋b2＝(a2＋b2)(1＋1) ≥(a＋b)2＝，1＋≥1＋42＝17， ∴＋≥＋4＝. 【答案】 C 二、填空題 6．設實數(shù)x，y滿足3x2＋2y2≤6，則P＝2x＋y的最大值為________． 【解析】 由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]＝(3x2＋2y2)≤6＝11， 于是2x＋y≤. 【答案】 7．設xy＞0，則的最小值為________． 【解析】 原式＝≥＝9(當且僅當xy＝時取等號)． 【答案】 9 8．設x，y∈R＋，且x＋2y＝8，則＋的最小值為________． 【解析】 (x＋2y) ＝[()2＋()2][＋]≥＝25，當且僅當＝，即x＝，y＝時，“＝”成立．又x＋2y＝8， ∴＋≥. 【答案】 三、解答題 9．已知θ為銳角，a，b均為正實數(shù)．求證：(a＋b)2≤＋. 【證明】 設m＝，n＝(cos θ，sin θ)， 則|a＋b|＝ ＝|mn|≤|m||n|＝ ＝ ， ∴(a＋b)2≤＋. 10．已知實數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1，求證：－≤c≤1. 【證明】 因為a＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1， 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. 由柯西不等式得(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2， 當且僅當b＝2a時，等號成立，即5(1－c2)≥(1－c)2， 整理得3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1. [能力提升] 1．函數(shù)y＝＋2的最大值是( ) A. B. C．3 D．5 【解析】 根據柯西不等式，知y＝1＋2≤＝. 【答案】 B 2．已知4x2＋5y2＝1，則2x＋y的最大值是( ) A. B．1 C．3 D．9 【解析】 ∵2x＋y＝2x1＋y1 ≤＝＝. ∴2x＋y的最大值為. 【答案】 A 3．函數(shù)f(x)＝＋的最大值為______． 【導學號：32750051】 【解析】 設函數(shù)有意義時x滿足≤x2≤2，由柯西不等式得[f(x)]2＝ ≤(1＋2)＝， ∴f(x)≤， 當且僅當2－x2＝，即x2＝時取等號． 【答案】 4．在半徑為R的圓內，求內接長方形的最大周長． 【解】 如圖所示，設內接長方形ABCD的長為x，寬為，于是 ABCD的周長l＝2(x＋)＝2(1x＋1)． 由柯西不等式 l≤2[x2＋()2](12＋12)＝22R ＝4R， 當且僅當＝，即x＝R時，等號成立． 此時，寬＝＝R，即ABCD為正方形， 故內接長方形為正方形時周長最大，其周長為4R.
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