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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 第二章 平面向量章末分層突破學案 北師大版必修4 [自我校對] ①單位向量 ②坐標表示 ③數乘向量 ④坐標 ⑤夾角公式 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 平面向量的線性運算 1.向量的加法、減法和數乘向量的綜合運算通常叫作向量的線性運算． 2．向量線性運算的結果仍是一個向量．因此對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意大小、方向兩個方面． 3．向量共線定理和平面向量基本定理是進行向量合成與分解的核心，是向量線性運算的關鍵所在，常應用它們解決平面幾何中的共線問題、共點問題． 4．題型主要有證明三點共線、兩直線平行、線段相等、求點或向量的坐標等． 　已知△OAB中，延長BA到C，使AB＝AC，D是將OB分成2∶1的一個分點，DC和OA交于E，設＝a，＝b(如圖2－1)， 圖2－1 (1)用a，b表示向量，； (1)若＝λ，求實數λ的值． 【精彩點撥】　(1)根據平行四邊形法則求解． (2)結合三角形法則與平行四邊形法則及向量共線定理求解． 【規(guī)范解答】　(1)∵A為BC的中點， ∴＝(＋)， ∴＝2－＝2a－b， ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b. (2)若＝λ，則＝－＝λ－ ＝λa－(2a－b) ＝(λ－2)a＋b. ∵與共線，∴存在實數m，使得＝m， 即(λ－2)a＋b＝m， ∴(λ＋2m－2)a＋b＝0. ∵a，b不共線， ∴解得λ＝. [再練一題] 1．(1)若a，b是不共線的兩個向量，且a與b的起點相同，則實數t為何值時，a，tb，(a＋b)三個向量的終點在一條直線上？ (2)已知A(－1,1)，B(1,5)，C(x，－5)，D(4,7)，與共線，求x的值． 【解】　(1)由題易知，存在唯一實數λ.使得 a－tb＝λ＝λa－λb， ∴ ∴t＝，即當t＝時，三向量共線． (2)＝(2,4)，＝(4－x,12)． ∵∥，∴212＝4(4－x)， ∴x＝－2. 向量的夾角、垂直及長度問題 1.求夾角問題 求向量a，b夾角θ的步驟：(1)求|a|，|b|，ab；(2)求cos θ＝(夾角公式)；(3)結合θ的范圍[0，π]確定θ的大?。虼饲笙蛄康膴A角先轉化為求向量夾角的余弦值，再結合夾角的范圍確定夾角的大?。? 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則cos θ＝＝. 2．垂直問題 這類問題主要考查向量垂直的條件：若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3．向量的模 (1)|a|2＝a2，|a|＝. (2)若a＝(x，y)，則a2＝x2＋y2， |a|＝. 　(1)已知向量a與b的夾角為120，|a|＝3，|a＋b|＝，則|b|＝________. (2)已知向量a，b滿足(a＋2b)(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，則a與b的夾角為________． (3)若|a|＝1，|b|＝，(2a－b)⊥b，求a與b的夾角． 【精彩點撥】　(1)利用模與數量積進行轉化求解． (2)結合已知條件利用向量的夾角公式計算． (3)利用垂直關系結合數量積運算求解． 【規(guī)范解答】　(1)因為|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝13， 即(a＋b)2＝13，|a|2＋2ab＋|b|2＝13.又因為a與b的夾角為120，|a|＝3，所以9＋23|b|cos 120＋|b|2＝13，|b|2－3|b|－4＝0，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍)． (2)設a與b的夾角為θ，依題意有(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝，因為0≤θ≤π，所以θ＝. 【答案】　(1)4　(2) (3)由(2a－b)⊥b，則(2a－b)b＝0， 即2ab－b2＝0，所以2|a||b|cos θ－|b|2＝0， 即2cos θ－2＝0，所以cos θ＝. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. [再練一題] 2．已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b與c的夾角為π，bc＝－4，|a|＝2，求實數m，n的值及a與b的夾角θ. 【解】　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4. ∵a⊥c，∴ac＝0. ∵bc＝|b||c|cos π＝|b|4＝－4. ∴|b|＝2. ∵c＝ma＋nb，∴c2＝mac＋nbc， ∴16＝n(－4)，因此n＝－4. 在c＝ma＋nb兩邊同乘以a， 得0＝8m－4ab.① 在c＝ma＋nb兩邊同乘以b，得mab＝12.② 由①②，得m＝， ∴ab＝2， ∴cos θ＝＝. ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝或π. 向量的實際應用 1.向量在平面幾何中的應用，向量的加減運算遵循平行四邊形法則或三角形法則，數乘運算和線段平行之間、數量積運算和垂直、夾角、距離問題之間聯系密切，因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關問題． 2．向量在解析幾何中的應用，主要利用向量平行與垂直的坐標條件求直線的方程． 3．在物理中的應用，主要解決力向量、速度向量等問題． 　已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有動點P從P0(－1,2)開始，沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運動，速度為|e1＋e2|；另一動點Q從Q0(－2，－1)開始，沿著與向量3e1＋e2相同的方向做勻速直線運動，速度為|3e1＋2e2|，設P，Q在t＝0 s時分別在P0，Q0處，問當⊥時，所需的時間為多少？ 【精彩點撥】　求出t s后，P，Q兩點坐標由數量積為0建立方程求解． 【規(guī)范解答】　e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其單位向量為；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其單位向量為，如圖． 依題意，||＝t，||＝t， ∴＝||＝(t，t)， ＝||＝(3t,2t)． 由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)， 得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)， ∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)． 由于⊥，∴＝0， 即2t－1＋3t－9＝0， 解得t＝2， 即當⊥時，所需時間為2 s. [再練一題] 3.已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90，D是BC邊的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC. 圖2－2 【證明】　如圖，以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系，設A(0,2)，C(2,0)，則 D(1,0)，＝(2，－2)． 設＝λ， 則＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又因為＝(－1,2)， 由題設⊥，所以＝0， 所以－2λ＋2(2－2λ)＝0，所以λ＝， 所以＝， 所以＝－＝. 又因為＝(1,0)， 所以cos∠ADB＝＝， cos∠FDC＝＝. 又因為∠ADB，∠FDC∈(0，π)， 所以∠ADB＝∠FDC. 待定系數法在向量中的應用 1.待定系數法是數學中一種非常重要的方法，對于一些數學問題，若已知所求結果具有的某種形式，則可引入一些尚待確定的系數(參數)來表示該結果，通過變形比較，建立含有參數(待定字母)的方程(組)進行求解． 2．待定系數法在向量中有著廣泛的應用，如兩向量平行，垂直或平面向量基本定理等就是這種形式的體現． 　如圖2－3，在△ABC中，M是BC的中點，N在AC上且AN＝2NC，AM與BN交于點P，求AP∶PM的值． 圖2－3 【精彩點撥】　本題主要考查三角形法則、平面向量共線基本定理，適當選取基底表示出，，因為點A，P，M共線，若有＝λ，則λ為AP∶PM的值． 【規(guī)范解答】　設＝e1，＝e2， ∴＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2. ∵A，P，M與B，P，N共線， ∴＝λ＝－λ(e1＋3e2)，＝μ＝μ(2e1＋e2)． ∵＝＋＝＋， ∴μ(2e1＋e2)＋λ(e1＋3e2)＝2e1＋3e2， ∴? ∴＝， ∴AP∶PM＝4∶1. [再練一題] 4．設平面內給定的三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求滿足a＝mb＋nc的實數m，n的值． 【解】　∵a＝mb＋nc， ∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(4n－m,2m＋n)， ∴解得 1．(2015陜西高考)對任意向量a，b，下列關系式中不恒成立的是(　　) A．|ab|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 【解析】　根據ab＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|ab|≤|a||b|，A恒成立．當向量a和b方向不相同時，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根據|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根據向量的運算性質得(a＋b)(a－b)＝a2－b2，D恒成立． 【答案】　B 2．(2015安徽高考)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論正確的是(　　) A．|b|＝1　　　　　 B．a⊥b C．ab＝1 D．(4a＋b)⊥ 【解析】　在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2.又|a|＝1，所以ab＝|a||b|cos 120＝－1，所以(4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2＝4(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故選D. 【答案】　D 3．(2015福建高考)已知⊥，||＝，||＝t.若點P是△ABC所在平面內的一點，且＝＋，則的最大值等于(　　) A．13 B．15 C．19 D．21 【解析】　∵⊥，故可以A為原點，AB，AC所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，不妨設B，C(t,0)， 則＝＋＝(4,1)，故點P的坐標為(4,1).＝(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13. 當且僅當4t＝，即t＝時(負值舍去)取得最大值13. 【答案】　A 4．(2015天津高考)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60.動點E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，則的最小值為________． 【解析】　在等腰梯形ABCD中，由AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60 可得AD＝DC＝1. 建立平面直角坐標系如圖所示，則A(0,0)，B(2,0)，C，D， ＝－(2,0)＝， ＝－＝(1,0)． ∵＝λ＝，∴E. ∵＝＝，∴F. ∴＝ ＝＋λ＝＋＋λ ≥＋2＝. 當且僅當＝λ，即λ＝時取等號，符合題意． ∴的最小值為. 【答案】