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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 4.4 參數(shù)方程 9 參數(shù)方程的意義學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 1．如圖442，OB是機器上的曲柄，長是r，繞點O轉(zhuǎn)動，AB是連桿，M是AB上一點，MA＝a，MB＝b(2r＜a＋b)．當點A在Ox上做往返運動，點B繞著O做圓周運動時，求點M的軌跡方程． 圖442 【解】　如題圖，設(shè)點M(x，y)，θ＝∠BAO，由點B作BC⊥Ox，交Ox于點C，由點M作MD⊥Ox，交Ox于點D，由點M作ME⊥BC，交BC于點E，那么y＝DM＝asin θ， x＝OD＝OC＋CD＝OC＋EM ＝＋EM ＝＋bcos θ， 得到點M(x，y)的坐標滿足方程組 即為點M的軌跡方程． 2．動點M作勻速直線運動，它在x軸和y軸方向上的分速度分別為9 m/s和12 m/s，運動開始時，點M位于A(1,1)，求點M的軌跡方程． 【解】　設(shè)t s后點M的坐標為(x，y)， 則所以點M的軌跡方程為 (t≥0)． 3．以橢圓＋y2＝1的長軸的左端點A與橢圓上任意一點連線的斜率k為參數(shù)，將橢圓方程化為參數(shù)方程． 【導學號：98990028】 【解】　橢圓＋y2＝1的長軸的左端點A的坐標為(－2,0)． 設(shè)P(x，y)為橢圓上任意一點(除點A)，則點P的坐標滿足 將＝k代入＋y2＝1，消去x， 得(＋4)y2－y＝0. 解得y＝0，或y＝. 由y＝，解得x＝； 由y＝0，解得x＝2. 由于(2,0)滿足方程組 所以橢圓＋y2＝1的參數(shù)方程為 4．△ABC是圓x2＋y2＝1的內(nèi)接三角形，已知A(1,0)，∠BAC＝60，求△ABC的重心的軌跡方程． 【解】　因為∠BAC＝60，所以∠BOC＝120. 設(shè)B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜240)， 則有C(cos(θ＋120)，sin(θ＋120))．設(shè)重心坐標為(x，y)，則 所以 即 消去θ＋60，得(3x－1)2＋9y2＝1， ∵0＜θ＜240， ∴－1≤cos(θ＋60)＜， ∴0≤＜， 即0≤x＜. ∴△ABC的重心的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(0≤x<)． 5．如圖443，過拋物線y2＝4x上任一點M作MQ垂直于準線l，垂足為Q，連接OM和QF(F為焦點)相交于點P，當M在拋物線上運動時，求點P的軌跡方程． 圖443 【解】　設(shè)直線OM的方程為y＝kx(k≠0)， 由得或所以M(，)， 則Q(－1，)，于是直線QF的方程為 y＝(x－1)，即y＝－(x－1)． 由 消去k，得2x2＋y2－2x＝0. 所以點P的軌跡方程為2x2＋y2－2x＝0(y≠0)． 6．如圖444所示，OA是圓C的直徑，且OA＝2a，射線OB與圓交于Q點，和經(jīng)過A點的切線交于B點，作PQ⊥OA，PB∥OA，試求點P的軌跡方程． 圖444 【解】　設(shè)P(x，y)是軌跡上任意一點，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ， y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以P點軌跡的參數(shù)方程為 θ∈(－，)． 7．已知點P(x，y)是曲線C：上的任意一點，求3x＋y的取值范圍． 【解】　設(shè)P(3＋cos θ，2＋sin θ)， 則3x＋y＝3(3＋cos θ)＋(2＋sin θ) ＝11＋3cos θ＋sin θ＝11＋2sin(θ＋)， ∴3x＋y的最大值為11＋2，最小值為11－2，取值范圍是11－2，11＋2]． 能力提升] 8．如圖445，已知曲線4x2＋9y2＝36(x＞0，y＞0)，點A在曲線上移動，點C(6,4)，以AC為對角線作矩形ABCD，使AB∥x軸，AD∥y軸，求矩形ABCD的面積最小時點A的坐標． 圖445 【解】　∵橢圓方程為＋＝1(x＞0，y＞0)， 設(shè)A(3cos θ，2sin θ)，θ∈(0，)， 則B(6,2sin θ)，C(6,4)，D(3cos θ，4)， 所以SABCD＝ABAD＝(6－3cos θ)(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ. 令t＝sin θ＋cos θ，則t∈(1，]，sin θcos θ＝， 則SABCD＝3(t－2)2＋9. 因為t∈(1，]，所以當t＝時， 矩形面積最小，即t＝sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)＝， 此時，θ＝. 所以矩形ABCD的面積最小時點A坐標是(，)．